一类无界时变时滞血红细胞模型的μ-稳定性

唐旭勇,龙志文

(1.安徽理工大学 数学与大数据学院,安徽 淮南 232001;2.湖南人文科技学院 数学与金融学院,湖南 娄底 417000)

1976年,Wazewska-Czyzewska和Lasota两位学者在文献[1]中用如下非线性时滞微分方程来描述动物体内血红细胞的存活模型:

x′(t)=-ax(t)+pe-qx(t-τ)

(1)

其中:x(t)表示在t时刻血红细胞的数量,a>0是血红细胞的死亡率,p和q是与单位时间内血红细胞产量呈正相关的常数,τ是产生一个血红细胞所需的时间.此后,诸多学者对Lasota-Wazewska模型(1)及其推广形式进行了深入研究,特别是各种Lasota-Wazewska模型的稳定性问题受到了广泛关注,关于Lasota-Wazewska模型及其推广形式的稳定性结果,可以参考文献[2-3].

众所周知,时滞在生物活动中频繁出现,如在文献[4]中作者发现时滞能够破坏Logistic模型正平衡点稳定性并引起周期振动.鉴于时滞对生物种群活动的影响,诸多学者在模型(1)中通过引入时滞来研究其动力学性质.例如,K·Gopalsamy在文献[5]中研究了一类具有常离散时滞的Lasota-Wazewska型时滞微分方程概周期解的存在性与全局吸引性问题;J·Shao在文献[6]中考察了一类具有时变离散时滞的Lasota-Wazewska模型的伪概周期解的存在性与稳定性;姚慧丽等[7]建立了一类具有可变时滞Lasota-Wazewska模型的渐近概周期解的充分判据,L·Duan 等[8]研究了具有多个时变时滞并含有不连续捕获项的Lasota-Wazewska模型周期解的全局指数稳定性;王晓等[9]研究了具有多个时滞的离散型Lasota-Wazewska模型的全局动力学.然而,上述文献中关于时滞Lasota-Wazewska模型稳定性结果多关注于离散时滞是常数,或者是时变的并赋予有界性假设.另一方面,T·Caraballo在文献[10]中指出时滞可能是时变的,有时无法精确测量,并且在某些物理或生物模型中,时滞的界限可能是预先未知的,甚至是无界的.因而,生物数学模型中考虑无界时滞在现实生活中是常见且有意义的,一个自然的问题是:如果考虑时变时滞是无界的情形,Lasota-Wazewska模型(1)会呈现出与有界时滞有何不同的动力学现象?

基于上述讨论和文献[11-12]的启发,本文将研究如下具有无界时变时滞的Lasota-Wazewska血红细胞模型:

x′(t)=-ax(t)+pe-qx(t-τ(t))

(2)

鉴于模型(2)的生物学背景,只有正解才符合实际意义,所以我们赋予以下初始条件:

(3)

其中:C+={φ∈C∶φ(θ)∈R+,θ∈(-∞,0]}是C的一个正锥,R+=[0,∞).

0 预备知识

类似于文献[8]中的引理2.4和引理3.1,可得如下引理.

引理1[8]对于φ∈C+,问题(2)～(3)的每个解x(t)在[0,+∞)是存在的,且是正的.此外,设

K1=p/a,K2=pe-qK1/a

则集合C0={φ∈C∶K2<φ(s)

下面给出μ-稳定性的定义.

定义1[12]设μ(·)∶(0,∞)→(0,∞)为连续函数,且当t→∞时有μ(t)→∞成立,E*是模型(2)的正平衡点,若对模型(2)的任意非平凡解x(t)满足

则称平衡点E*是μ-稳定的,其中M>0是一个依赖于x(t)的常数.

1 主要结果

下面给出本文的主要结果.

定理1 在引理1的条件下,假设存在一个非负连续可微函数μ(t)满足以下条件:

(4)

其中:α,η为非负常数,进一步,若

-a+α+pq(1+η)<0

(5)

成立,则模型(2)有唯一μ-稳定的平衡点.

证明：首先证明模型(2)平衡点E*的存在性.

易见,模型(2)的平衡点E*满足

aE*=pe-qE*.

设

f(λ)=-aλ+pe-qλ,

容易计算

f′(λ)=-a-pqe-qλ<0,
f(0)=p>0,
f(+∞)=-∞.

因此,方程f(λ)=0存在唯一解E*,即为模型(2)的平衡点.

下面证明平衡点E*是μ-稳定的.

设x(t)是模型(2)的任一解,设

z(t)=x(t)-E*,

则z(t)满足

z′(t)=-az(t)+p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-e-qE*].

(6)

根据式(4)、(5),可得存在一个充分大的T>0,使得对于所有的t>T,有

定义

首先,我们断言M1(t)是有界的,进而V(t)也是有界的.实际上,对于任意t1>T,存在以下两种情况成立.

情形1 |V(t1)|0,使得当t∈(t1,t1+δ)时,有|V(t)|

情形2 |V(t1)|=M1(t1),沿着方程(6)的解轨线计算V(t)在t1处右上Dini导数得:

D+|V(t)||t1=sing{V(t1)}μ′(t1)z(t1)+

sign{V(t1)}μ(t1){-az(t1)+p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-

sign{V(t1)}μ(t1)×p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-

因此,存在δ1>0,使得当t∈(t1,t1+δ1)时,有V(t)≤V(t1),所以当t∈(t1,t1+δ1)时,有M1(t)=M1(t1).

综上所述,可得当t>T时,有M1(t)=M1(T)成立,即|V(t)|≤M1(T),进而有

这意味着,模型(2)的平衡点E*是μ-稳定的.

对于上述μ-稳定性结果,我们给出如下一些推论.

推论1(指数稳定) 如果τ(t)≤τ(其中τ是一个正常数),并且定理1的假设成立,则模型(2)存在唯一指数稳定的平衡点.

证明：根据式(5)和连续性理论可知,存在充分小的δ>0,使得

-a+σ+pqeσt<0,

设μ(t)=eσt,则有

及

根据定理1可知

|x(t)-E*|=O(e-σt).

因此,模型(2)存在唯一指数稳定的平衡点.

推论2(幂稳定) 如果τ(t)≤vt(其中0

证明：类似地,根据式(5)和连续性理论,存在充分小的φ>0,使得

-a+pq(1-v)φ<0,

设μ(t)=tφ,则有

及

根据定理1,可知

|x(t)-E*|=O(t-φ).

所以,模型(2)存在唯一的平衡点且是幂稳定的.

推论3(对数稳定) 如果τ(t)≤t-(t/lnt),并且定理1的假设成立,则模型(2)存在唯一对数稳定的平衡点.

证明：根据式(5)可知

-a+pq<0,

设μ(t)=ln(1+t),则有

及

根据定理1,可知

|x(t)-E*|=O((ln(1+t))-1).

因而,模型(2)具有唯一对数稳定的平衡点.

推论4(对数-对数稳定) 如果τ(t)≤t-tξ(其中0<ξ<1),并且定理1的假设成立,则模型(2)存在唯一对数-对数稳定的平衡点.

证明：同理根据(5)可得

-a+pq<0,

设μ(t)=ln ln(3+t),则有

及

根据定理1,可知

|x(t)-E*|=O((ln ln(t+t))-1).

所以,模型(2)具有唯一对数-对数稳定的平衡点.

注记1 定理1建立了所研究具有无界时变时滞Lasota-Wazewska模型的μ-稳定性判据,一方面可以看出所建立的理论结果蕴含了时滞是有界函数时的指数稳定性结果,同时可以看出,当时变时滞函数受控于不同的无界函数时,只要选取合适的函数μ(t),所研究模型会呈现出多种丰富的稳定性结果;另一方面,作者在文献[13-15]中研究了具有无穷分布时滞的Lasota-Wazewska模型的动力学,然而,本文的无穷时滞类型不同于文献[13-15].因此,本文所建立的所研究模型的μ-稳定性判据是全新的,同时补充并丰富了已有文献结果.

2 数值仿真

本节将用一个例子来说明所建立结果的有效性.

例1 考虑如下时变时滞Lasota-Wazewska模型:

x′(t)=-0.1x(t)+0.4e-0.2x(t-0.5t).

(7)

容易验证

K1=p/a=4>K2=pe-qK1./a≈1.797 3.

取μ(t)=tφ,φ=0.3则

此时有

-a+α+pq(1+η)=-0.1+0+0.4×0.2×1.231 1=-0.001 512<0.

因此,定理1的所有假设成立,进而可知模型(7)存在唯一的正平衡点且是幂稳定的.为仿真方便,选择不同的初值进行数值模拟(见图1),仿真模拟有效支持了所获理论结果的可行性.

图1 模型(7)具有幂稳定的平衡点Figure 1 The model (7) has a power-stable equilibrium point