巧解方程 事半功倍

文／季承洁

我们在遇到某些特殊的一元二次方程时，如果能根据其特征，采取特殊的方法，便可以迅速地解决问题。

一、巧用整体思想

例1若方程x2-4092529=0 的两根为±2023，则方程x2-2x-4092528=0 的两根为________。

【解析】两个方程中常数项的数字都特别大。我们整体来看，两个方程有关联，第二个方程可变形为（x-1）2-4092529=0，把第二个方程中的（x-1）看成一个整体，则两个方程一样，所以x-1=±2023，易求出原方程的解是x1=2024，x2=-2022。

【点评】整体代入思想是数学中非常重要的思想方法，用整体思想求解一元二次方程，就是把方程中的某些式子看成一个整体，寻找式子与方程之间的关联，通过有针对性的整体处理，简便快捷地求出方程的解。

二、巧用根与系数的关系

例2解方程：2023x2-1011x-1012=0。

【解析】方程中各项的系数的绝对值都很大，但仔细观察，我们不难发现，方程的各个系数之和等于0，即2023-1011-1012=0，所以原方程必有一个根等于1。根据一元二次方程根与系数的关系，有，所以

【点评】对于形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，当a+b+c=0 时，方程必有一个根等于1；当a-b+c=0 时，方程必有一个根等于-1。

三、巧用ab=0

例3解方程：（19-x）2+x2=361。

【解析】观察方程，发现（19-x）2+x2=［（19-x）+x］2。联想完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，令其中的ab=0，则a2+b2=（a+b）2，所以（19-x）x=0。所以x1=0，x2=19。

【点评】观察发现规律：如果a2+b2=（a+b）2，则ab=0。应用到一元二次方程中，一元二次方程右边幂的底数与左边两项的幂的底数的和相等时，此时存在ab=0。