在数学生态智慧课堂中培育学生的直观想象素养——利用“鳖臑”探索和巩固空间中的垂直关系

李 佳

(北京一零一中学 100091)

1 问题的提出

数学生态智慧课堂将数学课堂视为有生命力的生态系统,师生在这一和谐的生态系统中获得生命的成长和智慧的生成.数学生态智慧课堂吸收了和谐课堂、兴趣促学课堂、启迪智慧课堂等课堂教学的优点,体现了数学教学的发展需求,凸显了教育的本质属性,关注教学主体的生命成长、教学活动中的智慧生成、课堂环境的生态和谐、课堂教学的长期效益;数学生态智慧课堂的价值目标是数学学科核心素养培育[1]．

高中立体几何的学习能够提升学生的直观想象素养．事实上,通过高中数学课程的学习,学生能提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质[2]．利用何种素材来培育学生的直观想象素养,一直都是一个值得探索的问题．四个面都是直角三角形的四面体中,存在着多组线线垂直、线面垂直、面面垂直关系,能够很好地帮助学生理解空间中的垂直关系,进而培育学生的直观想象素养．另外,考虑到继承和弘扬中华优秀传统文化的要求,也为了让学生充分了解我国古代数学家在立体几何方面取得的成就,培养民族自信心和自豪感,笔者以我国古代数学名著《九章算术》中的“鳖臑”为素材,基于数学生态智慧课堂的理念设计了一节探索和巩固空间中垂直关系的课,并进行了实践和反思．

2 主要教学过程

课堂伊始,为了启发学生动脑思考、调动学生积极性,笔者向学生们提出了一个具有一定开放性的问题．

问题1一个四面体的四个面中,可能有几个直角三角形?请分别画出示意图．

这个问题的部分答案是容易得到的,绝大多数学生都能顺利地说出来,可能有一个、两个、三个直角三角形,并且作出对应的示意图．然而有意思的是,很多学生都不能顺利地指出来可能有四个直角三角形．甚至有学生断言不可能有四个直角三角形,给出的理由是:如图1所示,如果∠PAB,∠PAC,∠BAC都是直角,那么感觉△PBC不太可能是一个直角三角形．无疑,学生其实提出了一个非常好的问题:能否严格证明图1中的△PBC一定不是直角三角形?不过,为了不冲淡本节课的研究主题,笔者将证明留作课外思考题,并提醒学生可以利用解三角形的有关知识去说理．

图1

随后,笔者分享我国《九章算术》“商功”中的记载:斜解立方,得两堑堵．斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也．并且利用图2进行了简单的解释和说明,并且提出了如下问题．

图2

问题2图2中鳖臑的四个面是否均为直角三角形?说明理由．

由于上述鳖臑是通过分割正方体得到的,学生对正方体中的垂直关系比较熟悉,因此很多学生都能正确地得出结论:鳖臑中的四个面都是直角三角形,而且利用直线与平面垂直的概念和性质,能够给出证明．这当然也就达到了帮助学生复习有关知识的目的．

随后,笔者提出了如下问题和任务．

问题3你能用斜二测画法画出图2中的鳖臑吗?要求将鳖臑中的一个面水平放置．

设计这样的环节无疑是为了培养学生的作图能力．有学者认为,作图是立体几何学习的“第一大事”,画好了图形的导学案,不利于培养学生的空间想象能力[3]．实际上,笔者在教学过程中发现,把立体几何图形换个角度呈现,这一任务看似简单,但对学生来说还是有一定难度的．有些学生在完成这个任务时明显遇到了困难,这也说明学生还没有充分理解构成鳖臑的关键．为了帮助学生突破这一难点,笔者提出了如下问题．

问题4已知如图3中的两个四面体都是鳖臑,其中哪些角是直角?试总结一个四面体是鳖臑的充要条件．

图3

因为所给的图形是常见的形式,而且学生对斜二测画法中哪些角表示的是直角也是熟悉的,所以在指出哪些角是直角方面学生基本没有困难．然而,在尝试总结四面体是鳖臑的充要条件时,出现了很多有意思的答案．例如,有三条棱两两互相垂直,有三个面两两互相垂直,每一个面都与另外一个面相互垂直,有三条不共点的棱两两相互垂直,有两条异面的棱分别垂直于一个平面等．当然,这些答案中有些是不正确的．不过,由于有了前面图1等的铺垫,为错误的答案找到反例也并不是一件非常困难的事情．学生在这个环节的教学过程中都能积极主动地思考和总结．在此基础上,笔者又向学生提出了如下问题．

问题5为了确定鳖臑的表面积或者体积,最少需要确定鳖臑的几条棱长?说明理由．

这个问题抛出来之后,绝大多数学生有些无所适从．经过与部分学生交流,发现学生的典型反应是,鳖臑中共有6条棱,但是由于直角三角形的限制,棱与棱之间的关系显得比较复杂,因此不知道该从何入手．此时,笔者抓住了学生所提到的直角三角形的限制,提示学生能否从这个角度出发去思考可以减少哪些棱长信息．有学生根据这个提示很快指出,根据勾股定理,每个直角三角形对应的斜边长信息可以减少,因此最少的棱长数不会超过3．那么,最少的棱长数是否可能是2呢?针对这个问题,笔者提示学生可从鳖臑的构造方式去思考,学生借助长方体得到了正确的答案．接下来,笔者给出了一个挑战性更大的问题．

问题6能否从鳖臑分割出新的鳖臑?

这个问题的设计,一方面是为了引导学生巩固利用割补的思想继续研究空间中的垂直关系,另一方面也是测试学生是否能利用问题4所探究到的结果去构造鳖臑,以此提升学生利用已有信息解决复杂问题的能力,让学生感受到发现的乐趣,感受到发现的惊喜．鉴于这个问题的综合性,笔者要求学生采用合作的方式解决相关问题,并且尝试总结出所有的分割方法．

基于前面已有知识,不难看出,问题6有多种不用的解答方式．如图4所示,过点A在平面PAB中作PB的垂线AE,然后连接EC,就可知四面体E-ABC也是一个鳖臑;或者过点B在平面ABC中作AC的垂线BF,然后连接PF,就可知四面体P-ABF也是一个鳖臑．

图4

最后,笔者尝试让学生自行总结鳖臑中所涉及的垂直关系．

问题7鳖臑中存在哪些垂直关系?尝试用符号列出其中的垂直关系,并指出它们之间的关系．

设计该问题的目的,一方面是帮助学生巩固怎样用符号表示线线、线面、面面垂直关系,另一方面也是引导学生得出经典的怎样借助线线垂直研究线面垂直、面面垂直等内容．实践表明,学生能够较好地完成相应的任务．

3 总结与反思

不难看出,上述教学过程是以“问题串”的形式展开的．“问题串”是指在一定的学习范围和主题之内,教师围绕一定目标或某一个中心问题,按照一定的逻辑结构而精心设计的一组问题[4]．在这一教学实践中,笔者事实上是围绕鳖臑这个四面体的特征设计了7个层层递进的问题,组成了一个力图能够激发学生思考、增强学习兴趣、帮助理解和应用知识、培育直观想象核心素养的问题串．

还要特别强调的是,本节课所采用的巩固空间中垂直关系的方式与一般的做法是不同的．传统上,为了巩固某个特定的知识点,一般的做法是找一些与该知识点有关的、答案具有封闭性的例习题,然后按照一定的逻辑进行组织和教学．本节课所采用的问题实际上都具有一定的开放性．近些年来,随着数学课程改革和评价的深入,结构不良问题(也称为劣构问题)已经出现在了高考试题中,这类问题的解决往往需要考生有更高的思维能力和素养．因此,日常的教学过程中,应重点关注对试题条件的挖掘、辨识和选择,如果条件有隐藏信息,也要及时发现和利用[5]．无疑,在日常的教学过程中,采用开放性问题进行教学有利于培养学生发现结构不良问题中隐藏的信息等．

教学的进程也就是问题串中问题逐步解决的过程,其中采用了数学生态智慧课堂的理念．需要注意的是,在这个过程中,教师扮演的不是传统的知识传授者角色,而是一个引导者和指导者．也就是说,教师要不断地提出学生能够理解和解答的问题,引导学生独立思考或者进行合作交流与学习,并且在必要的时候进行恰到好处的提醒,从而真正有利于学生能够自主地经历知识的产生过程,使得知识真正的“生长”出来．

当然,任何一种新的教学尝试都会存有遗憾和可以改进的地方．实际教学的实践表明,本节课所设计的内容还是偏多,导致教学过程中有些可以进一步探究的问题没有时间展开．