混合哈里斯鹰优化算法求解带模糊需求的低碳多式联运路径规划问题

黄琴　张惠珍　马良　杨健豪

摘 要：针对带限制的低碳多式联运路径规划问题的研究，在考虑模糊需求和碳排放量约束的条件下构建了路径成本、碳排放量等目标最小化的多目标多式联运数学模型。首先，根据模型特点使用机会约束规划处理用梯形模糊数表示的不确定需求；其次，改进了哈里斯鹰算法，采用路径重连算法、两种交叉算子和两种变异算子代替原算法中的搜索过程，在保留算法原有特性的前提下使其成功应用于离散优化问题。最后，以广西省南宁市到黑龙江省哈尔滨市的多式联运网络进行路径优化分析，给出了多个合理的路径方案。HHHO与其他算法进行对比结果显示，HHHO、NSGA-Ⅱ、GA、SA和PSO均在规定时间内得到了一组含有5个解的近似最优解集，HHHO的解集更加接近最优解集；HHHO及其他四种算法运行时间分别为86.50 s、118.26 s、101.67 s、81.22 s和68.40 s，HHHO在运行时间上比GA和NSGA-Ⅱ更快，验证了模型的正确性以及混合哈里斯鹰算法的有效性。

关键词：低碳多式联运； 模糊需求； 多目标； 路径优化； 哈里斯鹰算法

中图分类号：TP301.6 文献标志码：A 文章编号：1001-3695（2023）10-015-2978-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.03.0061

Hybrid Harris hawks optimization algorithm for solving low-carbon multimodal transportation problem with fuzzy demand

Huang Qin， Zhang Huizhen， Ma Liang， Yang Jianhao

（School of Management， University of Shanghai for Science & Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：For the low-carbon multimodal transportation planning problem with fuzzy demands and carbon emission limit， this paper proposed a multi-objective multimodal transportation mathematical model to minimize the path cost and carbon emission. Firstly， it used the chance constrained programming to deal with the uncertain demand represented by trapezoidal fuzzy number according to the characteristics of the model. Secondly， it designed the path relinking algorithm， multiple crossover operators， and mutation operators to replace the search process of original Harris hawks optimizer algorithm. It successfully applied the algorithm to the discrete optimization problems on the premise of preserving the original characteristics of this algorithm. Finally， it studied the multimodal transportation from Nanning city to Harbin city as a case， which gave multiple reasonable route scheme. HHHO was compared with other algorithms. The results show that HHHO， NSGA-Ⅱ， GA， SA and PSO all obtain a set of near-optimal solutions with five solutions in an ideal time， and the solution set of HHHO is closer to the optimal solution set. The running time of HHHO and the other four algorithms are 86.50 s， 118.26 s， 101.67 s， 81.22 s and 68.40 s， respectively. HHHO is faster than GA and NSGA-Ⅱ in running time. Therefore， these results verify the feasibility of the model and the effectiveness of hybrid Harris hawks optimizer algorithm.

Key words：low-carbon multimodal transportation; fuzzy demand; multi-objective; routing optimization; Harris hawks optimizer algorithm

0 引言

在全球碳排放統计中，交通运输的碳排放量高达14%，而道路碳排放量占整个交通运输部门碳排放量的70%，在多式联运过程中考虑碳排放因素是十分必要的［1］。此外，随着国家号召人们调整运输结构，推动多式联运，健全绿色低碳循环发展的流通体系，低碳多式联运规划问题（low-carbon multimodal transportation planning problem，LCMTPP）［2］成为了物流企业和学术界重点关注的对象。低碳多式联运是指在一次货物运输中，在充分考虑碳排量对环境影响的前提下，采用多种运输方式组合运输将产品从运输起点，途经若干个运输模式中转节点，运往目的地的过程［3］。多式联运通过选择较环保的运输方式组合和路径规划，有利于实现能源充分利用的低碳多式联运。为了双碳目标的实现，国内外的相关研究者将碳排放量作为路径优化的评估指标，以促进货物运输的低碳化和经济性。Zhang等人［4］考虑了需求和时间的双重不确定性，建立了混合鲁棒随机优化的低碳多式联运模型。程兴群等人［5］在不同碳排放政策下，构建了考虑道路拥堵情况下的低碳多式联运路径选择模型，并设计了基于保优策略和移民策略的遗传算法进行求解。

现有文献中对带不确定性且涉及多个目标的低碳多式联运规划问题研究甚少，对不确定条件下的货物多式联运路径优化研究具有较强的实际工程意义［6］。随着运输工具的不断改进、消费群体的服务需求更加个性化和精细化，并且在实际运输中，大多数企业都是以企业收益为目的，在确定的环境中制定一个可行方案，该方案对于实际运输中不确定性突发状况缺乏灵活性。因此，为了提高企业对于环境变化的灵活性以达到增强企业核心竞争力，企业在运输作业前根据不确定性因素以多个目标为衡量标准，制定不同偏好的计划方案才能更好地响应环境变化、抢占先机。鉴于此，本文考虑了带模糊需求的多目标低碳多式联运规划问题（multi-objective low-carbon multimodal transportation planning problem with fuzzy demand，MOLCMTPP-FD）。该问题有效地考虑了企业成本和绿色环保两个方面，使决策者能根据实际情况变化选择较好的方案。

多目标多式联运规划问题属于NP-hard难题［7］，随着中转节点的增加，不同运输方式的组合路径呈指数级增加，使得计算难度加大［8］。精确算法仅可以求解小规模的组合优化问题，难以在有限计算时间内给出大规模问题的解决方案［9］。为此，能在理想时间内为研究问题给出近似最优解的智能优化算法已成为国内外诸多学者常用的求解方法，如遗传算法［10～12］、模拟退火算法［13，14］和改进型粒子蚁群算法［15］等在求解多目标多式联运问题均取得了较满意的结果。

哈里斯鹰优化算法（Harris hawks optimizer，HHO）是Heidari等人［16］于2019年提出的一种新颖的智能优化算法，已被成功应用于物流管理的旅行商［17］、车辆路径［18］等研究方向，但在多式联运方向鲜有应用。本文根据构建的多目标多式联运模型对HHO算法进行了改进，设计了求解该模型的混合哈里斯鹰优化算法（hybrid Harris hawks optimizer，HHHO）。在实际案例中，与其他智能优化算法求解结果进行对比分析，验证了模型与算法的正确性与有效性。

1 问题描述和数学模型

1.1 问题描述

假设某物流企业在考虑碳排放量的前提下计划将需求量不确定的货物从生产地，途径若干中转城市，将货物运至目的地，且在成本和碳排放量都尽可能低的情况下，使运输对环境的负面影响最小。其中两个中转城市之间可以选择两种及以上的运输方式。由于不同运输方式间的差异化，其单位运输成本、中转成本、速度和碳排放量均不相同，所以，为了完成货物运输，不同的运输方式组合产生的成本和碳排放量是不同的。本文假设：a）产品不可拆分；b）两个中转城市间至多选择一种模式运输；c）在每个中转城市至多进行一次模式转换；d）运输和中转容量充足；e）运输产生的碳排放量满足碳排放总量的要求。

1.2 数学模型

1）集合：O为生产地的位置；D为目的地的位置；E为多式联运中节点集合{O，D}E；E－（i）为城市i的前向节点的集合，且有E－（i）E；E+（i）为城市i的后向节点的集合，且有E+（i）E；A為两中转城市间有向弧的集合；R为运输模式的集合；Rij为有向弧（i，j）上运输模式的集合，且有RijR；Ri为连接城市i及其前后向节点运输方式的集合，且有RiR。

2）参数：drij为运输模式r从城市i到城市j的距离；q为实际需求；cr为运输模式r的单位运输成本；crh为运输模式由r转换为h的单位中转成本；er为运输模式r的单位碳排放量；erh为运输模式r和h之间转换的单位中转碳排放量；Q为碳排放量的限制总量；n为多式联运网络中所有节点的个数。

目标函数式（1）表示最小化总成本，包括运输成本和中转成本，其中中转成本中包括中转的时间成本及货物的储存成本等；目标函数式（2）表示最小化碳排放量，分别包括运输和中转过程中产生碳排放量；约束式（3）为流量守恒；约束式（4）保证两节点间至多选择一种运输模式；约束式（5）表示每个中转点至多进行一次模式转换；约束式（6）（7）表示决策变量之间的兼容约束，保证每个销售点货物在节点的运输转换模式的选择需要与后续弧及相应运输模式的选择匹配，达到点弧连续的合理性与完整性；约束式（8）表示总碳排放量限制；约束式（9）（10）是0-1决策变量。

2 模糊机会约束规划

1965年后，模糊集理论［19］已被应用于运筹学、管理科学、人工智能系统、控制理论、统计学等多个领域。但是诸多研究者在研究多式联运问题时，通常会把需求假设为确定常量，而在实际决策时由于外部环境和人的主观性等诸多因素促使需求量是不确定的。针对不确定规划的模型主要有期望值模型和机会约束规划，期望值模型是以模糊参数的数学期望值表示该模糊参数。机会约束规划是一种基于可信度理论去解决约束条件和目标函数中涉及随机变量的不确定性数学规划［20］，其原则是要求满足约束条件的概率不低于某一置信水平α∈［0，1］。由于多式联运的决策者考虑到指定的方案可能不满足实际运输条件，本文将采用机会约束规划处理不确定的需求。

在路径优化中处理不确定性问题经常使用三角模糊变量和梯形模糊变量表示。Zhang［21］的研究证明梯形模糊变量与三角模糊变量相比梯形模糊变量在进行决策时更具灵活性，允许存在多个最可能值，满足了不同决策者和专家对最可能值持有不同意见的实际情况。此外，梯形模糊变量通过显著减小上下界范围，梯形模糊变量可以很容易地近似为三角形模糊变量。因此，本文将不确定的需求使用梯形模糊变量表示为q=（q1，q2，q3，q4），其中q1、q4分别表示需求量的上下界，［q2，q3］为最有可能的需求量区间，并且这四个数一般根据以往数据或经验获得。隶属度函数uq～（q）如图1所示，可信度表示为式（11），其中q为实际需求量。

3.2.1 解的表示

多式联运规划问题涉及到中转节点的选择、在中转节点是否进行模式转换以及两节点之间运输模式的选择。因此，本文采用两段式自然数编码方式进行编码，每个个体长度为2n－1。第一段是长度为n的路径编码，最大最小的自然数1和7分别是多式联运路径的运输起点和目的地，即1表示运输起点，7表示目的地，遍历过的节点分别用这两个数之间的自然数依次对应表示，未遍历的节点用0代替；第二段是长度为n－1的运输方式编码，1、2和3分别表示公路、铁路和水路。图2给出了总节点数n=7的多式联运网络图。为了便于理解，图3给出了图2多式联运网路中的一个可行解的编码。

对于一个多式联运路径规划来说，需要确定遍历的节点以及节点间采用何种运输方式。因此，多式联运路径中每个确定遍历的节点用两个自然数表示（即两列），第一列表示遍历的节点，第二列表示该节点到下一节点采用的运输方式。图3中的路径可解码为：起点—铁路—3—水路—4—公路—5—铁路—终点，如图4所示。

3.2.2 搜索操作

本文求解的是多目标离散问题，根据问题的特性设计算法得到的效果更好。本文采用路径重连算法［24］进行探索阶段的全局地搜索猎物；再分别采用两种交叉算子和两种变异算子进行开发阶段四种策略局部地捕捉猎物。以图1的多式联运网络为例，分别对上述的路径重连算法和多种算子进行阐述。

路径重连算法：在（0，1）随机产生一个数δ，若δ≥0.5，则从非支配解中随机选择一个解Ik与当前需要更新的支配解Ij进行信息交换；若δ<0.5，将从其他支配解中选择一个解Ik与其进行信息交换。算法步骤如下：

a）计算解Ik与解Ij路径编码编号不为零的所有位置的汉明距离HD，并令I=Ik。

b）若HD=2i－1（i=1，2，3，…）时，依次从位置1到位置n比较Ik和Ij相同位置的编码，并对不同的位置进行交换；若HD=2i（i=1，2，3，…）时，依次从位置n到位置1比较Ik和Ij相同位置的编码，并对不同的位置进行交换；若HD=0，则输出I*。

c）HD=HD－1，交换Ij与Ik（IjIk）后转b）。

交叉算子1：随机取一个非支配解I1与当前的支配解I2进行路径交叉，即随机从两个个体路径编码中选择两个点（两个点不能同时为起点和终点）之间的局部路径进行交叉。如果路径不存在，则根据多式联运网络对子代个体进行可行性调整，最后，选择成本较小的子代个体作为支配解更新后的新解。如图5所示，将I1、I2两个个体的第2个节点和第5个节点之间路径 ［0 3 4 5］和［2 0 0 5］进行交换得到两个可行子代解I11、I12。

交叉算子2：随机取一个非支配解I1与当前的支配解I2进行运输方式交叉，即随机从两个解的第二段编码中选择两个节点的运输方式进行对应交换；然后监测子代解中的路径是否存在，如果存在，选择碳排放量较小的子代个体作为支配解更新后的新解；否则进行途径模式调整后再比较两个可行子代解的碳排放量。如图6所示，将I1、I2两个个体的第3个节点和第5个节点的输出方式进行交叉。

变异算子1：对当前的支配解I2进行路径变异，即随机从第一段编码中选择一个确定经过的中转节点（即编号不为0）和一个不经过的节点，把不为0的点变化为0，另一个变化为对应节点的自然数，然后根据多式联运网络对子代个体进行可行性调整，得到更新后的支配解。如图7所示，对支配解I2的第3个节点和第5个节点进行上述操作，最后I12为I2更新后的支配解。

变异算子2：对当前支配解I2进行模式变异，即随机从第二段编码中选择一个在路径编码中不为0的节点模式进行突变，然后根据多式联运网络对子代个体进行可行性调整，最后，得到支配解更新后的新解。如图8所示，选择I2第6个中转节点的输出模式从1→3，经可行性判断调整后得到I12作为I2更新后的支配解。

3.2.3 算法流程

根据上述步骤，假定每次迭代的非支配解个数为m1，HHHO的伪代码如算法1所示。

算法 Pseudocode for HHHO

输入：种群规模M，最大迭代次数T，初始t=0。

输出：非支配解集Ik（k=1，2，…，m1）。

begin

1 初始化可行种群Ik，k=1，2，…，M

2 对种群进行非支配排序，得到非支配解集Ik（k=1，2，…，m1）和支配解集Ik（k=m1+1，…，M）

3 while t

4 生成父代

5 a1=rand（）;J=t/T

6 if J>a1 do

7 a2=rand（）;

8 if a2≥0.5 do

9 重新生成新种群后进行非支配排序，得到新的非支配解集Jk（k=1，2，…，m1），合并非支配解Ik（k=1，2，…，m1）和Jk（k=1，2，…，m1）后对合并种群进行非支配排序，得到新的非支配解Ik（k=1，2，…，m1）作为父代

10 else

11 从支配解中随机选取m1个个体作为父代

12 end if

13 else

14 將初始化后的非支配解Ik（k=1，2，…，m1）作为父代

15 end if

16 for k=m1+1：M then

17 G0=2rand（）－1;G=2G0（1－J）;a=rand（）

18 探索阶段

19 if |G|≥1 do

20 路径重连算法更新支配解Ik（k∈［m1+1，M］）

21 end

22 开发阶段

23 if |G|≥0.5，a≥0.5 do

24 交叉算子1进行软包围策略，生成更新后的可行支配解Ik（k∈［m1+1，M］）

25 else if |G|≥0.5，a<0.5

26 交叉算子2进行硬包围策略，生成更新后的可行支配解Ik（k∈［m1+1，M］）

27 else if |G|<0.5，a≥0.5

28 变异算子1进行软围攻策略，生成更新后的可行支配解Ik（k∈［m1+1，M］）

29 else % 硬包围

30 变异算子2进行硬围攻策略，生成更新后的可行支配解Ik（k∈［m1+1，M］）

31 end if

32 end for

33 合并非支配解Ik（k∈［1，m1］）和更新后的支配解Ik（k∈［m1+1，M］）成新种群后再进行非支配排序

34 t=t+1

35 end while

end

第1行随机生成初始种群，其中包括初始解的可行性监测；第2行是对种群进行非支配排序，筛选出非支配解和支配解；第3～35行表示更新种群，其中第5～15行是生成父代；第16～21行用路径重连算法进行全局搜索；第22～31行表示局部搜索，分别引入两种交叉算子和两种变异算子进行软包围、硬包围、软围攻和硬围攻四种策略的局部搜索，其中17行首次出现的参数a为随机变量，其取值为（0，1），参数a的取值与G值共同决定采用何种搜索策略进行优化；第33行对优化后的种群进行非支配排序，更新非支配解和支配解；第34行表示更新迭代次数。

4 算例分析

为了验证改进的算法求解上述提出模型的有效性，本文以国内南宁市到哈尔滨市的实际运输进行了计算实验。实验环境是在Windows 11家庭中文版系统下的MATLAB 2016a，使用AMD Ryzen 7 5800U with Radeon Graphics 1.90 GHz CPU，16.0 GB RAM的个人笔记本电脑进行的。

4.1 算例简介

以南宁市往哈尔滨市的实际运输为例，根据某一物流公司从南宁市到哈尔滨市涉及的实际多式联运网络，选择了可能经过的贵阳、重庆、南昌、长沙、武汉、合肥、上海、徐州、济南、郑州、太原、北京和大连13个城市作为中转节点，如图9所示。通过轮船票网、火车票网和高德地图获得水路、铁路和公路等运输方式在两两城市间可选择的运输模式及其对应的距离，如表1所示。

此外，不同运输模式的运输单价cr、模式转换单价crh、单位运输碳排放er和模式转换碳排量erh等其他参数参考文献［25］设置，如表2所示。此外，根据全国碳排放交易市场对碳排放配额的分配原则，设置此次碳排放的限制额为10 t（1 t=1×103 kg）。

4.2 参数设置和灵敏度分析

4.2.1 参数设置

参数设置的合理性直接影响算法的效率和有效性。本文根据算法收敛速度将迭代次数T设置为500，需求的置信水平α由决策者根据实际情况确定。此外，由于种群规模M很大程度地影响HHHO算法的优化性能，根据Ishibuchi等人［26］提出的非支配解集合的评价方法进行参数设置和灵敏度分析，其评价指标为

其中：Si表示种群规模为M得到的非支配解集合；S为不同种群规模得到的所有非支配解集合；p2p1表示个体p2支配个体p1；|Si|表示集合Si中的个体数。以VNDS的平均值AVG作为平均响应值，即AVG越大对应M值的效果越好［18］。

4.2.2 置信水平α的灵敏度分析

置信水平α的值按照文献［11］中的隶属度函数水平切割方法进行了设置。α的值从0.1～1不等，步长为0.1。如图10所示，当α∈（0，0.3］时，对两个目标函数影响比较平缓，α∈［0.5，0.9］时对目标1影响较大，对于目标2，α∈［0.6，0.9］时影响较小。当α=0.3时，获得的近似最优解集对于α取值变化的影响较小，近似最优解较为稳定。从式（12）可以看出，在较高置信水平α时，q3、q4对方程的影响更大。这意味着需求对隶属函数的值越高，需求越高，成本和碳排放量越高［11］。

4.3 结果对比分析

根据上述参数设置和算例数据，采用HHHO算法对图9的实际运输进行求解。表4给出了5个不同偏好的可行方案供决策者选择，并给出了每条路径涉及的总成本、总碳排放量和对应的多式联运路径。其中，多式联运路径列中的H、R和S分别表示公路、铁路、水路运输。

现在国内诸多物流公司主要是采用公路或铁路的单式运输，比如，圆通快递在该运输网络中则采取单一的模式进行货物运输，其运输路线依次为南宁—贵阳—长沙—济南—北京—哈尔滨，如图11所示。其中在实际的单式运输没有中转成本，需额外考虑货物在途时间占用资金的时间成本［26］。基于此，图11中的路线如果只采用公路进行运输，其总成本为90 052.56，碳排放量为24 458.72。虽然该运输路径成本较低，但是碳排放量严重超标，造成了一定程度的环境污染；如果仅采用铁路进行运输，其总成本为312 001.04，碳排放量为8 070.09。显然，表4中方案3～5的多式联运路径比其更优。基于此，本文提出的多式联运模型有助于降低物流成本并减轻环境负担，促进双碳目标的实现。

此外，为了验证HHHO算法求解MOLCMTPP-FD的有效性，本文选择了现有多式联运文献中常用的遗传算法（genetic algorithm，GA）［4］、非支配排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）［7］、模拟退火算法（simulated algorithm，SA）［13］和粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）［23］等，以及本文提出的HHHO算法，对图9的实例进行求解，并把HHHO算法的求解结果与另外四种算法进行比较分析。由于优化目标为最小化成本（對应y轴）和最小化碳排放量（对应x轴），所以最优解集趋于左下角。如图12所示，将五种算法在同一设备上运行，HHHO、NSGA-Ⅱ、GA、SA和PSO均在规定时间内得到了一组含有五个解的近似最优解集，HHHO及其他四种算法运行时间分别为86.50 s、118.26 s、101.67 s、81.22 s和68.40 s。同时，HHHO获得的近似最优解比GA、SA、PSO的解集都要更优，所需的时间低于NSGA-Ⅱ和GA；与常用于求解多目标多式联运路径优化的NSGA-Ⅱ相比，有三个解相同，NSGA-Ⅱ的其余两个解均次于HHHO。因此，HHHO在求解质量和时间上都具有较强的竞争力。

5 结束语

本文研究了带模糊需求的多目标低碳多式联运路径规划问题，构建了路径成本、碳排放量等目标最小化的多目标数学模型。根据实验结果，可以得到以下结论：首先，本文提出的求解离散优化问题的混合哈里斯鹰算法（HHHO）能有效地避免信息在连续和离散空间转换时的丢失，更好地平衡算法的全局搜索与局部搜索能力，弥补了算法易陷入局部最优的缺陷；其次，构建的MOLCMTPP-FD模型考虑了运输计划的超前性、季节性需求和人为主观性等因素对实际需求的影响，避免了不确定因素造成的损失;与此同时，MOLCMTPP-FD与基于可信度的机会约束规划相结合，使决策者可根据不同的偏好值选择不同的运输方案；最后，通过对南宁市与哈尔滨两城市间的多式联运路径规划进行求解，发现实际采用的公路和铁路的单式运输难以对成本和碳排放量同时优化。相反，多式联运充分利用不同运输方式的优点和特征，同时使两个目标均得到了优化，验证了模型的正确性以及HHHO算法的有效性。

在后续研究中，在算法方面，将进一步探索有效的方法来平衡全局搜索与局部搜索，进一步提高算法的有效性；在构建模型方面，将考虑危险物品、应急物资和易腐食品等特殊物品的多式联运运输，使模型能应用于实际问题中的特殊情况。

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收稿日期：2023-03-20；修回日期：2023-04-21

基金项目：国家自然科学基金资助项目（72101149）；教育部人文社会科学基金项目（21YJC630087）

作者简介：黄琴（1997-），女，四川成都人，硕士研究生，主要研究方向为智能优化；张惠珍（1979-），女（通信作者），山西忻州人，副教授，博士，主要研究方向为运筹学及智能优化等（zhzzywz@163.com）；马良（1964-），男，上海人，教授，博士，主要研究方向为系统工程及智能优化等；杨健豪，男，吉林人，主要研究方向为人工智能.