圆锥曲线定点的存在性问题探析

王伟杰

【摘  要】圆锥曲线具有独特性质，因此解决定点及存在性问题可以通过假设存在特殊点或特殊情况，以特殊来证实给出结论，再由特殊到一般去论证求解；还可以将所要证明的点或量表示为其他参变量的函数方程，通过化简变形证明结果与参变量无关.本文以存在性问题解析为例，通过假设情况存在为前提，倒推出求解问题.

【关键词】圆锥曲线;高中数学;定点问题

1  解题方法探究

1.1  直接法

圆锥曲线问题中，经常会碰到直线和曲线过一未知坐标的定点.这时只需要应用直接法根据直线和曲线方程联立，直接就可求得定点或存在性问题.

1.2  逆推法

与直接法对应的逆推法则用于题目給出确定点，或是一些特殊关系，来证明一般规律的确定性.若只给出条件，且题干中包含求“是否存在”等表述语句时，要先结合结论，假设存在这类关系，进行逆推.此时可将要证明的结论假设为条件逆推回去，若得到使条件成立的结论，则能证明存在这类关系.

1.3  参数法

首先要分清题中哪些是变动的关系，哪些是固定的关系；然后时刻记住“设而不求”、“参数必消”，引入参数，看看是否能将参变量消除.先猜想，后证明，即利用考虑特殊情况的点先验证，这样就可以基本确定关系式，再来由一般情况去证明关系式.

解题步骤如下：第一步解题步骤设方程、联立方程、化简并根据韦达定理得到两根之和、之积；第二步则是要进一步和条件对接，将题目中提供的条件转化为可以用x₁、x₂来表达的式子，通过代入化简得到双参数关系式，然后将双参数转化为仅含一个参数的表达式.

2  存在性问题例题解析

例题已知椭圆的离心率为，焦距为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

解析 （1）解题思路：由椭圆的基本性质可得关系式为：求出，再根据求出，可得结果.

由题意可知，，

解得，

所以，

所以椭圆的方程为.

（2）解题思路：先假设t存在，设，，联立直线与椭圆方程，

由韦达定理得到与，

将化为，

即，

再结合韦达定理可得对恒成立，从而可得.

直线的方程为，

联立，

消去并整理得，

则，

得，

设，，

则，

，

依题意可得，

因为在，之间，所以，

所以，

因为，

所以 得，

得，

得，

将，代入上式并整理，

得，对恒成立，

所以，即，

故存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有.

解题点睛利用平面集合知识将化为后，再结合韦达定理求解是解题关键.

3  结语

从本题中我们可以看出，解析几何存在性问题的解法是基于其存在的情况下进行推理和计算的，在根据得出的结果看是否合理，确定其是否存在.定点问题也同样，假设定点存在，再利用特殊情况推导出特殊关系，再有特殊转化为一般.