深度学习视域下数学教材内容整合的实践路径

康 倩

（江苏省徐州市九龙湖小学）

深度学习强调整体学习，以整合的知识为内容，关注学习过程中的多维表征。深度学习视域下的课堂变革，需要教师对学科、学生、教学有全新的、正确的理解，需要教师具备整合观和整体思想。学习内容的有机整合是促进学生深度学习，发展高阶思维的重要途径。笔者积极尝试对数学教材内容进行有机整合，生成学习主题，并以问题为切入点，引导学生经历数学问题的完整研究过程。

一、教材内容的横向和纵向整合

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下通称“新课标”）指出，数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。教师是教材的理解者、参与者、实践者，在组织教学时，应依据新课标的要求和学生的身心发展特点及认知规律，按照数学学科的知识特点和体系特征，对既定的教材内容进行适度的整合与重组，充分发挥教材内容的价值，促进学生深度学习。

（一）教材内容的横向整合

横向整合是一种基于结构、基于关联的整合，即将同一个结构单元或者是不同单元但结构、知识点类同的内容通过优化、重组、统整、融合，生成更有利于学生深度学习的主题资源。

例如，北师大版数学教材四年级上册“生活中的负数”单元，由于学生对负数不仅不陌生，而且有着较丰富的生活经验积累，并且这两课时的教材内容关联性非常强，所以教师可以将教材内容进行有机整合，设计富有层次的数学活动，引导学生经历深入认识正负数的过程。首先，教师请学生说说自己对于正负数已经有哪些认识，并随机在黑板上写出了一些数，请学生来分类，激活学生原有认知经验。其次，教师以-2 为例，请学生结合自己看到的例子，用喜欢的方式在纸上表示出它的意义（可以画图、列式、写话）。教师选取并呈现几位学生的思维过程，自然而然地借助典型实例通过直观的板书将+2、-2这两种意义相反的量加以区分。同时，教师将教材中温度计的情境巧妙融入学生所举的实例中，借助温度计这个有效的工具，以对0摄氏度的解读来凸显0的作用以及正数、负数分别表示零上和零下温度的含义，使学生对正负数意义的理解更进了一步。最后，教师组织一个排序的活动，将黑板上原本提供给学生按正、负数分类的数依照从小到大的顺序排列。学生在操作中生成了一个数轴，观察数轴能够看到正数和负数的排列方向、大小关系，正数和负数以“0”为分界等重要信息，拓宽了已知的数的领域的外延。

（二）教材内容的纵向整合

纵向整合是指教师沿着知识发展的内在脉络，将不同学段的某一领域数学知识以纵深的串联形式重组，使学生从更宽阔的视野认识和建构知识体系，洞察数学知识的发展生长点和延伸点。

例如，教学北师大版数学教材四年级上册“用数对确定位置”一课时，教师可将本节课的知识放在“确定位置”整体知识体系中。学生在低年级时已学过用一个数表示一维直线上某个物体的位置，如电影院排队买票，从前往后数，淘气是第3 个。教师可利用学生已有的认知经验，创设“找找我的好朋友”游戏情境，先请学生写一写自己最好的一个朋友在教室的位置，然后全班开展猜谜活动。学生对自己好朋友位置的描述彰显了不同的思维水平，教师将学生的几种典型原始思维一一呈现，引导学生在猜谜的过程中发现：仅凭一个数（即一个方位词）不能准确判断出好朋友的位置，没有说清数的方向，就会有不同的可能；观察的角度不同也会带来争议；从而引发学生用一致的标准表示位置的需要，自然而然地生发出学习新的确定位置规则的需求。学生通过自学，了解到数学中对于“行”和“列”的规定，明确了需要用一对数（数对）才能表示出二维平面上某个物体的位置，如在教室里，淘气坐在第2列第4行，用数对表示是（2，4）。教师请学生用数对重新表示自己好朋友的位置，再请学生来猜。这样前后两次游戏活动的对比，使学生进一步感受到用数对确定位置的意义和价值。此时，教师并没有停止引导学生探索的脚步，而是借助多媒体课件，引发学生思考，“在平面上，我们是用一对数，也就是数对表示某个物体的位置，如果平面再高一些，变成一个立体图形，还能用数对表示某个物体的位置吗？”学生纷纷提出“三维空间中物体的位置该如何表示”的猜想，此时恰当的留白给了学生更多探索的时空，更多自由的体验。这样循着“点、线、面、体”的发展脉络将“确定位置”的知识进行纵向整合，便于学生从更宽阔的视野认识和理解知识体系，使学生的思维得到跨越性的发展。

二、教材内容与教学资源的整合

数学教材是主要的数学教材资源，除此以外，充满趣味的数学绘本、操作探究的《数学实验手册》等都是具有整合价值的优质资源。

（一）教材内容与数学绘本的整合

数学绘本将数学知识巧妙地蕴藏在生动有趣的故事情节中，图文并茂、贴近儿童，尤其适合中低年级的数学教学。教师将数学绘本与现有的数学教材内容巧妙融合在一起，能顺应小学低中段儿童的身心发展特点和认知规律，营造生动活泼的课堂氛围。

例如，北师大版数学教材二年级上册“数学好玩”单元中“寻找身体上的数学秘密”一课就有利用身体上的“尺子”估测物体长度的探究活动。测量概念和测量工具是数学中非常重要的知识点，在日常生活中，学生经常会遇到突然要测量什么东西，手边没有尺子的情况。这时候，学生用手掌、脚印、步子、胳膊等来测量就是非常实用的方法。教师可将教材中的情境与数学绘本《我家漂亮的尺子》相融合，引导学生阅读绘本。绘本的主人公是一个活泼可爱的小女孩，妈妈为她做连衣裙，可是怎么也找不到尺子，于是妈妈不用尺子，用了“妈妈手尺”来量，进而介绍了“一拃”的概念。小女孩尝试像妈妈一样，也用手尺来量东西，电话机两拃、椅背三拃，这时她发现用拃来量沙发长度太费劲，便改用脚来测量，沙发的长度是10 个脚印，于是“一脚”的概念也知道了。到院子里测量，发现院子太大，用脚来量太费劲，小女孩又把两腿分开，用步子来量了，一前一后两个脚印的距离为“一步”。小女孩还想测测庭院中的大树，大树有多粗呢？用两只胳膊紧紧抱住的长度为标准测量就行了，两只手臂合围的量叫作“抱”；树干有多高呢？以两只手臂伸展开的长度为标准测量就行了，两只手臂左右平伸时，从一只手的中指端到另一只手的中指端的长度叫作“庹”。通过阅读绘本，学生不仅了解了身体尺的基本概念，而且激发起浓厚的测量兴趣，他们像书中的小女孩那样用自己的身体尺测量周围的事物，并能根据实际情况选择适当的“身体尺”，课桌长6 拃，宽4 拃；教室长17 步，宽12 步……就在这样自主体验的学习活动中，学生深切地体会到自己身体的神奇之处及具备的数学价值，了解了数学对人们日常生活实践的贡献。

（二）教材内容与《实验手册》的整合

《实验手册》基于数学教材，提炼出适合学生操作探究的实验主题，通过动手动脑相结合的数学实验活动，丰富学生的认知经历，在数学知识“再创造”与“再发现”的过程中，亲身体验数学，亲近数学，理解数学。《实验手册》的常态化使用，最有效的方法就是寻找与数学教材的结合点，将其作为片段融入数学教材的内容设计，弥补教材的思维缺失。

例如，北师大版数学教材六年级上册“百分数的认识”一课，课前经过调查发现，大多数学生在生活中或多或少都接触过百分数，知道百分数用途十分广泛，衣食住行各个领域都有百分数的身影。虽然学生对百分数并不陌生，但对百分数的意义并不清晰，因此这节课上探究百分数的意义是教学重点。为了激发学生的探究兴趣，教师借助多媒体课件将原有的教材情境调整为学生更感兴趣的“姚明投篮”的情境。课件出示姚明三场比赛投篮情况的统计表，请学生比较姚明哪场比赛中的表现最优秀，在学生发现原有知识结构中的各种比较方案行不通后，逐渐思考出更趋理想的比较方案，即比较每场比赛投篮的命中率（投中次数占投篮次数的几分之几）。学生独立试算投篮命中率，再通分成分母是100 的分数，从而自然引出了百分数，并尝试概括出了姚明三场比赛投中的比率“64%、65%和60%”这三个百分数表示的具体意义，即表示投中次数是投篮次数的百分之几。随后，教师将六年级上册《实验手册》中“奇妙百分率”的实验情境融入教学环节，“小明和小华进行投篮比赛，每人都投40 个球。比赛经过了两个阶段，第一阶段小明投篮的命中率为60%，小华投篮的命中率为50%；第二阶段小明投篮的命中率为92%，小华投篮的命中率为90.625%。”请学生预测谁投篮的命中率高，并说说预测的理由。大多数学生利用自己的直觉进行判断，认为“小明两阶段投篮的命中率都比小华高，所以小明最终的投篮命中率一定比小华高”。接着，教师课件出示小明和小华两阶段投篮比赛的相关数据，引导学生进行计算与验证，将两阶段合起来，分别求出小明和小华投篮的总命中率。学生发现，虽然小华两阶段投篮的命中率都比小明低，但是总的投篮命中率却超过了小明。学生通过实验，不仅进一步理解了百分数的含义，增强了数据分析观念，而且体会到直觉有时并不可靠，还需要通过实际验证来加以证明，增强了数学实证的意识。只有将直觉思维与逻辑思维结合起来，才能更好地促进思维能力的发展。

三、跨学科教学内容的整合

跨学科整合，即多元学科整合。在数学教学过程中，探寻数学学科与其他学科的知识联系点并充分挖掘利用，将相关学科内容有机整合在一起，组成新的学习内容，能实现多维度的学习目标，提升学生综合素养。

（一）数学教材内容与科学学科的整合

从学科视角出发，数学与科学具有许多本质联系。数学和科学都旨在发现客观世界的模式和关系；数学和科学都与真实的生活情境相联系，需要数量推理。从课程的视角出发，两者具有同样的活动，如科学探究和实际问题解决等；两者也具有许多重叠的内容，包括平衡、守恒、恒等、测量、模型、模式、可能性、反射、折射、度量、对称、系统、变量等。两个学科所具有的共同之处越多，对学生而言越有意义，整合也越有效。根据学生学习的需要，数学与科学教材内容的整合，可打破以往泾渭分明的学科间的界限，将统一的主题、问题、概念、基本学习内容加以融合，使学生在此过程中建立系统的思维方式，体验知识之间的联系。

例如，数学综合实践课“怎样滚得远”就可以和科学中“斜面的作用”进行整合。学生都有这样的生活经验，搬运油桶时，搭一个斜坡会省时省力很多。斜面工具是最简单的机械之一，在日常生活和生产中，人们常常利用斜面来运输物体，以达到省力的目的。那么，怎样的情况下才能最大限度地发挥斜面的作用呢？学生首先自主提出想要研究的问题：斜坡与地面成什么角度时，物体会滚得远一些？围绕问题教师引导学生分组进行科学系统的实验，利用实验数据说话。首先，用木板搭一个斜坡，使斜坡与地面分别呈30°，45°和60°的角度，然后将圆柱形物体放在斜坡的顶上，轻轻松开手，让物体自动往下滚，等物体停止滚动后，量出它在地面上滚动的距离，每种角度都反复做三次测量，并记录每次滚动的距离，求出平均数，每个小组还可以自主选择一个其他的角度再来试试。通过比较实验数据，学生发现，斜坡与地面角度不同，物体滚动的距离也不同；一开始斜坡与地面的角度变大，物体滚动的距离也就越远，但当角度呈60°时，物体滚动的距离反而变短了，角度再大一点，物体滚动的距离更短；当斜坡与地面呈45 度角时物体滚动得最远。学生聚焦问题研究，经历利用科学实验收集、分析数据，获得结论的实践探究过程，体会到实验对比是研究问题的一种重要方法，体验到实验研究的价值和乐趣，培养了严谨求实的科学态度。

（二）数学教材内容与信息科技学科的整合

将小学数学教材内容与信息科技教材内容有机整合，就是以数学知识为载体，把信息科技作为工具和手段渗透到数学教学当中，应用信息科技培养学生解决相关问题的综合能力。学生通过网络和其他信息手段自主地获取有价值的信息，学会使用网络工具和信息手段进行信息的搜集、处理、分析，解决数学实际问题，能有效地培养应用意识和创新能力。

例如，北师大版数学教材六年级上册“感受黄金比”一课，“黄金分割比”（以下简称“黄金比”）是第六单元“比的认识”课后的拓展内容，包含的元素非常丰富，涉及的领域十分广泛，而学生对“0.618”也并不陌生。教师充分查阅资料发现，网络中有大量生动鲜活的资源可供学生自主选学，于是将这节课设计成微项目化学习的模式。课上，教师首先引导学生针对“黄金比”提出自己想要了解的问题，学生提出：什么是黄金比？它和我们学过的“比”有什么联系和区别？为什么叫黄金比？黄金比是谁发现的？在数学中有黄金比吗？黄金比在生活中有哪些应用等不同方向？带着这些问题，教师引导学生学习利用网络检索工具搜寻、梳理相关信息的方法，请学生在课前先进行自主研究。第二天的课上，学生纷纷带来了自己的课前研究成果。有的学生将查阅的网络资料梳理整合打印了下来；有的学生手绘了小报或思维导图。教师请学生先在组内交流自己的学习收获，每人选取一个方面。接着，全班进行展示分享，组代表汇报，其他同学适时补充。有的学生用一条简单直观的线段就解释了黄金比的含义；有的学生介绍了古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯发现黄金比的小故事；有的学生揭示了五角星中蕴藏的奥秘——五角星之所以十分美丽，是因为它每条边上相对应的线段之间的长度关系都符合黄金比；有的学生展示了黄金比在艺术领域、建筑领域、日常生活等方面的应用。学生再深入到数学研究领域，又知道了黄金矩形、黄金螺线、斐波那契数列，越发感受到黄金比的神奇之处，体味到其中蕴含的丰富的美学价值。

总之，在整合数学教材内容的研究过程中，教师要注重积累典型课例，营造适合学生思维发展的课堂环境，要探究指向深度学习的整体性教学设计，引导学生经历数学问题的完整研究过程，积累可以迁移的数学学习和研究经验，提升思维品质。