数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析

朱大艺

在新课程标准理念指导下，数学教师在传授学生基础知识与基本技能的同时，还要重视学生活动经验的积累及数学思想的形成。数学思想在促进学生综合发展方面具有重大意义，因此教师愈发关注数学思想教学工作。“数”和“形”作为高中数学中的主要研究对象，数形结合思想扮演着连通两者的桥梁角色，在教学实践中起到举足轻重的作用。基于此，本文立足数形结合思想，分析高中数学课堂教学中渗透、运用数形结合思想方法的相关建议，以期为高中数学教师发挥该数学思想的作用提供参考。

一、数形结合思想的基本内涵

数形结合思想是数学思想的重要构成部分，既是一种思维方法，又是一种解题的基本策略。“数形结合”是将抽象的数学语言和直观的几何图形有机地结合起来，通过分析、观察图形，运用数与形的相互关系，将复杂问题简单化，使抽象问题具体化。数形结合的思想方法主要有这几种：（1）以形助数：将抽象的数学语言和直观图形结合起来，借助图形理解数学语言。（2）以数解形：用数字验证图形或直观地反映函数关系，在几何直观的基础上进行数量关系分析。（3）以形助数：通过形象直观地描述问题，引导学生把抽象问题具体化。（4）以数解形：在图形上表示数量关系或变化过程，借助图形揭示数量关系。

“数形结合”从字面上理解，是将“数”和“形”结合到一起。从不同角度出发对“数”和“形”的内涵理解各有不同。基于广义视角，“形”为现实世界客观存在的事物，“数”则被视为用于对客观事物进行研究的手段；基于狭义视角，“数”指代数，而“形”指几何。

有关“数形结合”本质内涵的理解，虽然不同学者和研究者具有不同的理解，但在数形结合作用和价值方面比较一致，都认识到需要对高中阶段的学生进行渗透，让学生理解这种重要的数学思想方法，并将其作为解题技巧和创新思考的方法融入数学知识体系。在培养学生数形结合能力方面，大部分研究者意识到采用渗透教学法进行培养，让学生灵活思考，尊重学生的主观能动性，确保学生主动理解、运用这种重要思想方法。

结合不同学者和研究专家的主要观点，本文认为“数”和“形”联系密切，属于某一事物的两大属性，双方各有优劣。比如“数”的优势在于可运算，有规律，不足则是难以直观形象地体现也不易于理解，但这恰恰是“形”的优势。基于此，数形结合思想应为利用“数”和“形”的相互转化，让数学对象不仅形象直观而且具备可运算性，进而有效解决相应的数学问题。

二、数形结合思想方法在高中数学教学中的应用意义

（一）培育核心素养，提高数学成绩

高中数学是高中教育阶段重要组成部分，也是高考考查的重点对象，需要学生学习知识，具备数学思维。代数和几何是高中数学的两个重要教育维度，教师需要将两者有机结合，利用“数形结合”数学思想将教材中各单元教学内容进行贯穿，促进教学模式的转变，提升课堂效率。学生深入研究数形结合的解题思想，有利于在学习数学知识中逐渐培育数学素养，对各种步骤繁琐、难度较大的题目进行高效解题，提高做题效率。

（二）贯穿教学模块，构建知识体系

高中数学是研究空间、结构和数量等方面的学科，用抽象数学概念揭示事物规律，解决现实生活中的问题。数形结合思想具有间接性、直观性和有效性的特点，能将代数与几何两大教学内容联系起来，以形助数，以数解形，从不同角度分析数学问题，解决各种难题，体现了数学思想的先进性和思维的逻辑性。在高中数学课堂教学中渗透数形结合思想，有利于学生认识数学学科的本质，提升探究能力。同时，高中数学知识作为有机整体，数形结合有利于学生在学习过程中综合考虑，把握不同单元之间的联系，最终构建严密的高中数学思维框架，在数形结合的思考维度中学习数学知识，获得能力的突破。

（三）拓展思考维度，培养创新精神

数形结合思想是从数学本质规律出发，培养学生解决抽象试题的能力，在熟悉教材原理和概念的基础上，对数学知识产生直观理解，在头脑中构建数学知识体系，有效培养数学思维。学生在数形结合思想的长期熏陶感染下，可以根据图形将各种知识点进行串联，培养独立思考能力。

数形结合思想不只是科学严密的思考维度，也是创新的重要指导方向，可以潜移默化地引导学生深入思考数学问题，利用创造性思维对数学题型进行不同解法的尝试，提升其数学素养。总之，数形结合是数学学科中创新精神的重要体现，能让学生站在不同角度思考问题，发散思维，为终身发展奠定基础。

三、数形结合思想方法在高中数学教学中的案例分析

（一）集合问题中数形结合思想方法的应用

学生进入高中后，首先学习的便是集合知识。集合作为高中数学的一大重要理论基础，对抽象思维能力要求较高，这也导致部分学生难以理解集合问题，解题时也往往无从下手。

数形结合思想可以把数字语言先转化成符号语言，再转换为图像语言进而得出结果，并在此基础上将图形语言转换为数字语言。学生通过高中集合知识的学习，可以发现数形结合是一种常见的方法，既能化复杂为简单，也能更直观地体现集合的交、并、补关系，能更准确地理解相关知识。

针对部分学生习惯通过用未知数解方程的形式求解的现象，教师可以要求学生通过数形结合思想进行解题，以降低錯误率，结合“Venn图”求解提高学习效率，让集合更加清晰地展示出来。在数形结合思想下，韦恩图不仅在帮助学生理解集合概念方面起到重要作用，还有利于培养学生的数学抽象素养与直观想象素养。为此，教师可以利用数形结合思想将已知条件通过“Venn图”或数轴表示出来，由此明确解题的切入点。

（二）三角函数问题中数形结合思想方法的应用

三角函数在高中数学教学中是极为关键的知识模块之一，也是描述一般周期函数的基础，并且三角函数也属于典型的数形结合产物。三角函数是教学的重点难点内容，也是学生理解比较困难的知识模块。在三角函数教学时，教师可以借助数形结合，将坐标系带到学生的思考维度中，使其通过结合坐标系、函数曲线的各种变化、数学公式的方式厘清图像和公式之间的对应关系，厘清奇偶性、单调性和象限之间的联系，提升学习质量。在数形结合思想辅助下，学生最终理解三角函数，也提高了对数形结合思想的兴趣，能够举一反三学习数学知识。

四、高中数学教学中应用数形结合思想方法的相关建议

（一）概念教学中应用数形结合思想的建议

1.体验“数形结合”，关注概念形成。

数学概念的形成绝非毫无依据，多数具备相应的几何背景，如向量的产生背景为位移、力等相关物理量，可见“数形结合”在概念形成方面所起到的重要作用。但部分教师为了数学课堂扩容或提高教学速度，往往忽视概念形成过程，这种授课模式不利于学生的学习及发展。“数形结合”是高中阶段数学学习中使用到的关键思想方法之一，无论是渗透还是运用均应建立在完整探究知识的基础上，若忽视数学知识的探究过程，讲授其包含的数学思想可谓“天方夜谭”。

在数学概念教学中运用数形结合思想时，教师需要时刻关注概念的形成，有效引导学生参与概念的形成过程中，自主深度挖掘及体会“数形结合”，这样才会真正理解数学概念，体会到“数形结合”在概念形成中起到的重要作用，最终提升学生的数学抽象素养。

2.强化“数形结合”，关注概念理解。

数学家华罗庚先生曾提出这样一个观点“数和形本相依，焉能分作两边飞”，这说明数学作为研究空间形式及数量关系的学科，若借助“形”的形象直观构建“数”和“形”之间的联系，会降低理解复杂、抽象数学概念的难度，体现了在数学概念理解上应用数形结合思想方法的重要性。特别是高一年级的学生在接触到大量抽象的数学概念后，往往出现信心不足、感觉数学知识枯燥无味的现象，如果在概念理解环节上“困难重重”，则在后续学习中的难度可能会更大。

例如，学生在除此接触“集合”这一知识板块时，往往会混淆子集、真子集等抽象性概念，若教师在概念教学环节把原本抽象概念变得直观化，达到“以形助数”的效果，则有利于学生更轻松地理解概念。这在课本教材中也有所体现，如通过“Venn图”辅助理解集合之间的关系。同样，在函数概念教学时，教师也可以利用直观图像或具体例子，辅助学生理解函数概念，既可以是常用的教学方法，也可以是数形结合思想，从而更好地落实对学生核心素养的培养。

（二）命题教学中应用数形结合思想的建议

1.创设“数形结合”情境，关注命题引入。

数学命题属于高中阶段数学学习及教学的一大重点难点内容所在。针对抽象难以透彻理解的数学法则、公理、性质等相关知识，学生很容易因为“学不懂”或是“不会做”而失去学习信心。为此，教师需关注命题的引入，为学生创设能够应用数形结合思想的情境，既调动其探究欲，又在学生探究数学命题时自然而然地开启“数形结合”的阀门。

比如，在探究“幂函数的性质”教学时，教师可以列举实例引出常见的幂函数，巧借实例激发学生探究兴趣的同时，也为后续应用数形结合思想探究幂函数性质创设了所需情境，使学生在熟知函数图象的前提下，直观认识函数的基本性质。数形结合作为解决数学问题的常见思想方法，可以画出图像、识别图像，是探究问题的一项必要能力。但从实际教学情况分析，面对高考的激烈竞争及教学压力大等因素，教学进度十分紧凑，一些教师往往对情境创设心有余而力不足，为此存在缺乏情境创设、忽略命题引入的现象。这一点应及时修正，教师需要高度关注命题引入并辅助学生直观感知，创设应用数形结合思想方法的教学情境，使其在“数”与“形”结合的基础上展开高效探究。

2.培养“数形结合”能力，经历命题证明。

与其他学科相比，数学具备极为严谨的逻辑体系，正确的结论需通过严谨的数学逻辑体系推演过程，即对公式、定理等展开证明。在高中数学基础知识板块中，数学命题证明是一项重要部分。实际上，在命题证明的过程中也会体现例如“数形结合”，若教师能在命题证明教学中渗透数形结合思想，不仅能够使学生深入理解这一命题的来龙去脉，还能有效提升学生应用数形结合思想解决实际问题的能力。

总之，将数形结合思想运用于命题证明，有助于数学抽象、数学运算等相关核心素养的发展。当然，经历证明过程的关键在于引导学生发散思维，即组织学生立足于不同角度思考问题，尝试一题多证，以此培养创新思维。

（三）问题解决教学中应用数形結合思想的建议

1.创设教学情境，关注整体感悟。

数形结合思想中的“形”主要体现在现实生活中，但部分学生由于无法熟练建立用于解决问题的数学模型，为此教师需要创设连接实际生活的情境，在培养学生解决问题能力的同时，培养其概念、公式以及方程等建模能力，在构造数学建模中感受数学建模的作用。与此同时，教师需要认识到数形结合思想在数学高考中的占比，在问题解决教学中抓住运用数形结合思想的典型真题，带领学生深入剖析并抓住问题中散落的知识点，一方面加强知识之间的内在联系，另一方面体会如何运用数形结合思想解题，使其在理解内涵的同时增强整体感悟。

2.培养应用意识，关注归纳总结。

本文认为“数形结合”的关键在于“数”和“形”的相互转化，而且很多数学问题会考查学生的数形互化能力。因此，教师在培养学生解题能力的同时，应有意识地提升其“数形”转化能力。一是增强运用数形结合思想的意识。教师需要在课前整体设计“数形结合”在问题解决教学中的实施步骤，并在平时重点关注培养学生的“数形结合”意识；二是关注归纳总结，课后及时展开反思。一些教师在高考压力面前为学生安排大量练习题，旨在提升其解题能力，但仅“刷题”却忽视总结及反思是毫无意义的。因此，教师需要让学生在做练习题时关注“好题”与“错题”，并及时总结、归纳、记录到“积累本”中，在每次翻阅中领悟其背后包含的数学思想。总之，数学学习属于循序渐进的过程，结果虽然重要但是过程也不容忽视。

五、结语

综上所述，随着我国新课改的进一步深入，课堂教学愈发重视对学生核心素养的培养，越来越多的教师认识到数形结合思想在培养学生数学素养方面的应用价值。作为高中数学教师，需依循教学目标，从学生具体情况出发，有效运用数形结合思想方法，引导学生对其产生深入理解并能扎实掌握，在为学生有效运用数形结合思想解决实际问题奠定基础的同时，落实培养数学核心素养的课程目标。