初中数学例题变式教学的实践与认识

高永强

【摘要】初中数学教学中，例题变式训练是解题教学中的一大重点，通过例题变式训练可以有效培养学生的创新精神、拓展学生的思维广度，同时优化解题思路、提高解题效率.基于例题变式训练的重要性，教师在课堂上要巧妙使用例题变式教学，培养学生多方面的学习能力，实现培养数学核心素养的目标.文章先简单介绍了初中数学例题变式教学的变式原则，然后系统地分析了初中数学例题变式的分类及教学优势，最后列举了初中数学例题变式教学的常见形式.

【关键词】初中数学；例题变式；变式训练

例题变式训练有多方面的作用，通过对例题进行变换、组合，学生在训练的过程中可以有效活跃思维，减少思维的惰性、僵化，提高解题能力.教师开展例题变式教学，有助于学生挖掘数学知识的本质和内在联系，最终实现知识点的融会贯通，更为有效地应用所学知识.也正是基于例题变式教学的重要性，教师更应该进一步将其融入初中数学课堂，以求达成更好的课堂教学成效.

一、初中数学例题变式教学的变式原则

在例题变式教学中，知识的本质不会改变，只是呈现形式发生变化，均围绕概念、定义、公式.在初中数学的例题变式教学中，主要有三点变式原则，一是系统性原则，二是目的性原则，三是深入性原则.

在系统性原则中，因为学生刚开始学习初中数学知识时，主要学习的是概念、定义、公式，所以教师要坚持循序渐进的原则，向学生延伸知识点，帮助他们掌握更多的学问.在此基础上，学生要逐渐建构起系统的知识网络体系，对知识点有系统性的理解，并掌握类似知识概念中的微妙变式.在目的性原则中，每个知识点的教学均要有目的性，避免盲目性或低效化，尤其是要注重例题变式训练的目的性.比如在引导学生学习人教版八年级下册“勾股定理”知识时，教师要多进行例题变式训练，着重对各种不同直角三角形进行变式，便于学生直接应用“勾三股四”解题.另外，教师还可以引导学生尝试从普通的三角形中分割出直角三角形，进一步应用勾股定理.在深入性原则中，进行例题变式教学和训练时，教师要关注学生当前的学习情况和能力，将新旧内容联系起来，逐步带领学生掌握新知识，还要注意不能出现超过学生当前能力水平的情况.教学过程中，教师可以多引入学生已经掌握的知识点，进行适当的变式，与新知识联系起来，以此激活学生的思维，让学生从中总结经验，掌握例题变式后的解题思路与方法.

二、初中数学例题变式的分类及教学优势

（一）初中数学例题变式的分类

当前的初中数学例题变式主要有两种类型，一是“一题多变”，二是“一题多解”.

“一题多变”强调培养学生的数学思维，提升学生思维的创造性.在进行“一题多变”的教学时，教师要坚持以教材上的例题为基础，由学生尝试着去改变例题中的条件、背景、结论，促使他们的数学思维处于发散状态.比如在人教版九年级上册“二次函数”的教学中，教材上有这样的一类例题，即明确给出抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的符号，要求学生完成四个解题任务：一是判断抛物线的开口方向，二是确定对称轴在坐标轴的哪一侧，三是判断抛物线是否与x轴存在交点，四是在草图上画出大致图像.对于这一类题目，教师可以引导学生使用不同的数学方法尝试揭示出二次函数问题的基本解题规律，继而使用已知的规律解决例题变式问题，这里使用的解题方法主要包括综合方法、归纳方法、比较方法和分析方法.这一过程可以较好地培养学生数学思维的广阔性和创造性，

“一题多解”可以提高学生数学思维的发散性，使学生数学思维的广度得到拓宽.在初中数学课堂上，教师要引导学生进一步分析例题，从不同的角度剖析例题，找出解题的思路和方法，提出解题的多个方法.这一过程一方面可以将学生已经掌握的知识点有效调动，提高他们应用知识的能力，另一方面可以锻炼学生的数学思维，提高学生数学思维的灵敏度，让其更为灵活地应用自己所掌握的数学知识.

（二）初中数学例题变式教学的优势

初中数学例题变式教学的优势体现在多个方面，但均可以指向学生的数学核心素养，帮助他们提高数学学习和解题的能力.详细言之，初中数学例题变式教学主要有四个方面的优势.

首先，例题变式教学可以拓展新的知识点或问题，对培养学生数學思维的广度和深度大有裨益.当例题变式坚持从一个基本问题出发，与相关知识联系后向外拓展，层层递进，就可以促使学生的思维向纵深发展.在此过程中，学生还可以使用数学思想，比如知识类比思想、数形结合思想、分类讨论思想，既掌握了更多新的知识，也开阔了解题时的思路.

其次，在例题变式中适当地隐去某一条件，有助于培养学生的发散性思维.将例题中的某一条件隐去，可能导致题目意思发生较大的变化，题目难度可能增加，也可能减小，但均容易吸引学生积极探究、解题.长时间进行这样的例题变式训练可以培养学生的观察能力，学习态度和解题思维也会变得更加严谨，对数学思维的发散性发展意义重大.

再次，改变例题中的某一条件，有助于锻炼学生的逻辑思维，促使其逻辑思维变得富有严密性.在例题变式教学中，教师可以结合学生的解题能力适当改变题目中的条件，但应该努力不让学生轻易察觉.进行这样的例题变式训练，可以有效培养学生的审题能力，提高其数学思维的灵活性.如果学生的数学学习能力较好，教师就可以让他们自己改编例题，如添加条件或改变某一条件，以此有效培养学生数学逻辑思维的严密性.

最后，教师可以将例题中的结论和条件互换，以此培养学生的逆向思维.应该说，这样的例题变式训练，更容易激活学生的求知欲和解题兴趣，让学生从多个角度尝试解决问题，这样无论是发散性思维还是创造性思维均可以得到培养.以初中数学中的几何题目为例，在做证明题时，学生可以多使用逆向思维法：如果要证明某两条边是相等的，就可以证明两个三角形全等；如果要证明两个三角形是全等的，就要分析题目中给出的条件，确定还需要什么样的条件，这样的条件通常是做辅助线创造出来的.通过这样一系列的思考，学生解题过程中的逆向思维可以得到有效激活和发展.

三、初中数学例题变式教学的常见形式

（一）变换例题的条件或结论

在初中数学的例题变式训练中，将例题中的条件或结论加以变换是常见操作，可以很好地培养学生的解题能力.有这样一道例题，即“已经知道a2-a=5，求a2-a+7的值.”在解这道一元二次方程的例题时，教师要引导学生认真观察条件，找准例题的特征.具体来说，两个式子中均有相同的项，即“a2-a”，所以可以将其视为一个整体，并替换為5，便可以轻松解题.在此基础上，教师可以对例题进行变式，设计新的问题.教师可以设计四个变式，一是“已经知道a2-a=5，求解出2a2-2a-6的值”；二是“已经知道a2-a-11=0，求解出a2-a-6的值”；三是“已经知道a2-a-11=0，求解出（a-3）（a+2）的值”；四是“已经知道a2+4a-4=0，求解出2（a-2）2-4（a-1）（a+1）的值”.以变式一为例，与原例题相比改变了问题，两个式子的相同项发生变化，不再是一倍的关系，解题时需要变形，将“2a2-2a-6”变形为2（a2-a）-6，此时学生发现需要整体代入乘2，两个式子之间就是两倍的关系.再以变式三为例，学生刚开始审题时可能会发现式子和整体代入思想并没有紧密的联系，但仔细研究题目可以发现，能将条件变形为“a2-a=11”，再对问题进行变形处理，利用好已经学习的“多项式乘多项式法则”，可以将（a-3）（a+2）这一式子变形为“a2-a-6”.在此基础上，教师再引导学生使用整体代入思想解题，就可有效降低解题的难度.

再比如解决几何问题时，有这样的一道例题，即“有一条线段AB的长度为7cm，点P在线段AB上，已知AP的长度是3cm，求解BP的长度.”在解决这一题目时，学生可以先画出草图，借助草图对题目的条件有一个更为深刻的理解.当学生顺利解题后，教师可以进行例题变式设计，可以设计两类变式训练题目：一是“已经知道线段AB的长度为7cm，点P在直线AB上，AP的长度为3cm，求BP的长度”；二是“已经知道线段AB的长度为7cm，点P在射线AB上，AP的长度为3cm，求BP的长度”.与原例题相比，变式一和变式二均是对题目中的“线段”这一关键词进行了变形，分别变为“直线”和“射线”.在这样的例题变式训练过程中，学生不仅需要画草图解题，还需要分析题目中的关键词，能够逐渐意识到关键词在一道数学题目中的重要性.

（二）变换例题的内容或形式

以人教版七年级下册“平行线的性质”为例，学生求解一些题目时会遇到困难，此时教师要多加引导，重视例题变式训练.有这样一道题目，即“如图1所示，已经知道AB∥CD，求∠A，∠C和∠APC的数量关系”.通过分析题目学生可以发现只有“AB∥CD”这一个已知条件，且∠A，∠C和∠APC并不是平行线“三线八角”中的角.为此，学生在解题时需要画辅助线自行构造出“三线八角”模型，可以过点P构造条件，即PM∥AB，如图1所示，这样便可以顺利解题.

在学生顺利解题后，教师可以结合学生的解题情况进行例题变式训练，可以设计两道变式训练题目，一是不改变题目条件，只单纯改变例题的图形，依然求∠A，∠C和∠APC的数量关系，如图2.

二是已知AB∥CD，结合图形条件求∠A，∠C，∠APE和∠PEC之间的数量关系，如图3.

所设计的变式一，是对原例题的内容进行了变换，即∠APC既可以外凸，也可以内凹，在利用平行线中的“三线八角”时，必须先画出辅助线.在求解变式二时，教师要引导学生感受到一点，即两条平行线之间有一个点时，应该优先考虑去画辅助线，如果是更多的点，甚至是有n个点，也可以考虑画辅助线，借助辅助线分析角度之间的数量关系.可以说，通过求解这三道例题，学生可以意识到辅助线的重要性，并学会正确画辅助线，利用辅助线将没有太多关系的角有效串联成“三线八角”模型中的角.

（三）变换例题的应用环境

在每一个章节或最终的整体复习时，教师应该注重解题教学，利用不同种类的例题引导学生思考和解题，掌握更多的数学解题思想和方法.当成功掌握这些数学解题思想和方法后，学生便可以将已经学习过的知识点融会贯通，这对提高解题效率和能力助力良多.比如在几何题的变式训练中，教师可以借助具体的题目帮助学生理解和掌握转化思想.有这样的一道例题，即“如图4，一段楼梯每个台阶的长度是45cm，宽度和高度分别是30cm和15cm.有一只蚂蚁现在处于楼梯的最低端A点，如何爬上B点，且路程最短？”解决这样的题目时，关键之处是将立体图形转化成平面图形，学生需要有良好的转化思维.

在成功解答例题后，教师可以进行例题变式训练.变式一是不改变例题的条件，只是将“爬上B点”变换为“爬上C点”，继续训练学生的转化思维.变式二是这样的题目：“如图5，已知长方体的长是15cm，宽也是15cm，高是30cm.现在有一只蚂蚁想要沿着长方体的表面由A点爬向G点，如何爬才可以让距离最短？”

在变式一中，学生要想成功解题，必须将立体图形转化成平面图形，需要熟练使用转化思想.在变式二中，涉及的是变换问题的应用场景，长方体有六个面，蚂蚁在爬行时会有很多的选择，不过在求解时依然需要将立体图形转换为平面图形，在此基础上进行对比，分析出哪一路径是最短的.总而言之，在设计这样的变式训练题目时，教师可以变换问题情境，使题目的难度有所增加，这对提高学生的解题能力有重要意义.

结 语

初中数学教学中，解题教学和例题变式教学均应被视为重点，以引导学生在解题过程中掌握知识点.教师在例题变式教学中需要把握要点，一是变式必须在原例题的基础上进行变换，要足够的自然和有效，避免进行牵强的变式训练；二是例题变式训练要有难度，应该突出易错点、突破点，帮助学生掌握解题时的注意要点；三是例题变式训练的数量要有明确的“度”，不能一味地实施“题海战术”，要让学生“做一题会一类”，掌握相关的数学解题思想和方法.总之，教师要将例题变式教学视为一大重点，不断完善例题变式教学的方式方法，帮助学生更好地学习和解题.

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