点到直线距离公式在椭圆和双曲线中的推广

杨勇军　纪定春　周其祥

一、问题提出

距离是一种刻画研究对象在时间、空间上的相隔长度，亦或是人的认知、情感等方面的差距．在中学数学中，距离是一种定义在欧氏几何中的标量，它没有方向、只有大小且非负．点到直线的距离公式是高中数学的重要教学内容，也是高考数学的重点考察对象，即对于平面直角坐标系中的任意点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0（其中A2+B2≠0），则点P到直线l的距离为d=|Ax0+By0+C|A2+B2．既然点到直线的距离有统一的公式，那么直线到椭圆和双曲线，是否也有类似形式的公式呢？经过我们探究，确实存在形式统一的公式．

作仿射变换x′′=x－x0a2，y′′=y－y0bi，将双曲线化为“单位虚圆”：x′′2+y′′2=1，此时单位虚圆的内部为双曲线的外部，而外部为双曲线的内部．根据仿射变换的点列变换特征，并结合引理可知：当d>1时，直线与单位虚圆相离，即直线与双曲线相交；当d=1时，直线与单位虚圆相切，即直线与双曲线相切；当0

在拓广平面内，即在欧氏平面的基础上，增加无穷远直线和无穷远点．椭圆和双曲线在拓广平面内，同属于封闭图形，但是椭圆和双曲线在无穷远直线（或点）处的性质又有细微的差异．在距离无穷远直线处，椭圆与无穷远直线相离，而双曲线与无穷远直线相交，即有两个不同的实无穷远交点，这两个点将拓广平面内封闭的双曲线分割成两支，即为欧氏平面内的双曲线．上述性质2中的仿射变换，是将双曲线的外部变换成一个单位虚圆，而经过该圆内部的任意线段的长度是无穷的，因此有上述性质2的第（3）．

但是，对于d=0时的特殊情况，直线与双曲线是相交或相离的．其中相交是很好理解的，即连接拓广平面内双曲线被无穷远直线分割的兩个部分，其必有交点，在欧式几何中表现为连接双曲线的两支的任意两点，其必定经过纵坐标．相离可以理解为直线即为拓广平面内的无穷远直线，在欧氏平面内为双曲线的两条渐近线之一．

参考文献

［1］王敬赓，岳昌庆．关于双曲线的“内部”和“外部”的对话［J］．数学通报，2014，53（12）：48-51．