一道抛物线联考题的变式与推广

龙伟

1 试题再现

题目 （2023届江西省“新八校”高三上学期第一次联考理数第8题）如图１，抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于N，若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为（）.

3 结论推广

将上述各变式推广到一般形式的抛物线，可有下面相应的结论.

结论1 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l2，l2与E分别交于A、B和D、H，则|AB|+|DH|的最小值為8p.

结论1的证明仿照变式1的证明过程.

结论2 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l2，l2，直线l2，l2与分别交于A、B和D、H，则1|AB|+1|DH|=12p.

结论2的证明仿照变式1、2的证明过程.

结论3 已知抛物E：y2=2px（p＞0）线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l2，l2，直线l2，l2与E分别交于A、B和D、H，则|AB|·|DH|的最小值为16p2.

结论3的证明仿照变式1、3的证明过程.

结论4 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l2，l2，直线l2，l2与E分别交于A、B和D、H，则四边形ADBH的最小值为8p2.

结论4的证明仿照变式3的证明过程.

结论5 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过作两条互相垂直的直线l2，l2直线l2，l2与E分别交于A、B和D、H，若AB的中点为M，线段DH的中点为P，则△FMP面积的最小值为p2.

结论5的证明仿照变式5的证明过程.

结论6 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l2，l2，直线l2，l2与E分别交于A、B和D、H，若AB的中点为M，线段DH的中点为P，则直线MP恒过定点（3p2，0）.

无论是同步教学还是在高考复习中，要常态化地指导学生通过对一些典型问题的探讨和拓展，及时归纳、总结出一些常用的“二级结论”，这对于学生解题能力的提高和数学素养的提升是颇有裨益的.