一道人教A版教材习题的变式拓展

周鸿高

题目（选择性必修第一册P89习题2.4·题8）长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

此题的求解过程很简单.设中点Px，y，坐标原点为O，由题可得|OP|=|AB|2=a，则x2+y2=a2，即为线段AB的中点的轨迹方程，表示圆心为原点O，半径为a的一个圆．

事实上，此题说明了产生圆的另一种方法，即定长线段的两个端点分别在夹角为直角的相交直线上滑动，线段中点的轨迹是一个圆．据此，若改变一些条件，其轨迹又是什么呢？笔者进行了一些变式拓展，得到如下一般性结论．

1．变式一 改变中点为定比分点

问题1 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB上的点P满足APPB=λ（λ>0），求点P的轨迹方程．

由此可知，当λ=1时，点P的轨迹方程为x2+y2=a2，表示一个圆；当0<λ<1时，点P的轨迹为焦点在x轴上一个椭圆；当λ>1时，点P的轨迹为焦点在y轴上一个椭圆．

2．变式二 改变直角为定夹角

问题2 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在夹角为θ（0°<θ≤90°）的相交直线l1与l2上滑动，求线段AB的中点P的轨迹方程．

解析：由于问题1得到的轨迹方程是标准方程，容易讨论轨迹，本题如何建系很关键．

参考文献

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书A版·数学（选择性必修第一册）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

［2］朱清波．回歸教材习题，反思问题本质——一道轨迹问题的溯源和拓展［J］．中学数学研究（华南师大），2021（9）：29-31．