一道圆锥曲线题的解法探究与推广

徐茂林　房元霞

数学的问题从解法来分就是两类：一类方法唯一，多题一解；一类方法两种或两种以上，一题多解.多题一解从通性通法的角度考察对知识的本质性认识；一题多解则要求学生打破常规刻板的解题思路，从不同的思维方向对同样条件进行整合.多题一解重视学生基础，而一题多解，则会培养学生的发散性思维.下文以一道求定点问题为例，探求一题多解奥秘.

1 原题呈现

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，依次连接C的四个顶点所得菱形面积为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆上一顶点A（－2，0），直线l：y=kx+m与C交于两点P、Q，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由.

分析：易求得椭圆C的标准方程为x24+y2=1.第（2）问在AP⊥AQ条件下求解直线经过的定点，解题的关键在于如何从斜率的角度表示出AP⊥AQ，因此，我们要从斜率上寻找突破口.

2 解法探究

思路1 若直线l过定点，可看作过该点的直线系，所以直线l在y轴上的截距m随斜率k的变化而变化.因此，找到二者的变化规律，确定过定点的直线系方程，即可找到定点.

解法1：（一般方法）设两点P（x1，y1），Q（x2，y2）.由AP⊥AQ，得到kAP·kAQ=－1，进而有（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4=0（1），联立直线l与椭圆C的方程，得到（4k2+1）x2+8kmx+4m2－4=0，由韦达定理求出x1+x2、x1x2，代入（1）得到关于m的一元二次方程，方程化简并因式分解得5m－6km－2k=0，又直线l不过A点，得到m=65k，将其代入直线l方程得到过定点的直线系y=k（x+65），求出定点（－65，0）.

思路2 解法1通过韦达定理实现了x1+x2与x1x2的代换，进一步，从斜率的表达形式出发，得到k=y1x1+2=y2x2+2两种形式后，思考能不能直接得到关于这两种形式的方程，运用韦达定理求解呢？这就需要巧妙地构造直线的方程，如解法2；在此基础上，进一步思考能不能得到形如yx简单形式的方程？回想之前学过的换元知识，结合函数图象部分的平移内容，我们将“坐标系平移”.

解法2：（齐次化）设直线l的方程为s（x+2）+ty=1（2），点P（x1，y1），Q（x2，y2），将椭圆方程变形为（x+2）－224+y2=1，化简得到（x+2）2+4y2－4（x+2）=0（3），将（3）中一次项－4（x+2）乘以（2），合并同类项后得到4y2－4t（x+2）y+（1－4s）（x+2）2=0（4），进而将（4）同时除以（x+2）2，得到4（yx+2）2－4tyx+2+（1－4s）=0（5），此时kAP、kAQ相当于（5）关于yx+2的两个根，结合韦达定理，将条件kAP·kAQ=－1化简得到s=54.结合（2）得到y=－54t（x+65），即经过定点（－65，0）.

解法3：（换元、齐次化）令x′=x+2，

y′=y，将其代入椭圆方程，此时点A相当于“新坐标系原点”，变换后的椭圆方程为（x′－2）24+y′2=1，化简得到4y′2－4x′+x′2=0（6）.设变换后直线的方程变为px′+qy′=1（7），将（6）中一次项－4x′乘以（7），合并同类项后得到4y′2－4qx′y′+（1－4p）x′2=0（8），进而将（8）同时除以x′2，得到4y′x′2－4qy′x′+（1－4p）=0（9），此时kA′P′=kAP、kA′Q′=kAQ且kA′P′、kA′Q′相当于（9）关于y′x′的两个根，结合韦达定理，将条件kA′P′·kA′Q′=－1化简得到p=54.结合（7），得到y′=－54q（x′－45），所以变换后的直线经过定点（45，0），可算出原直线经过定点（－65，0）.

思路3 前两种解法以直线的一般式方程进行计算，或最后回归到一般式方程；回想教材中直线方程有几种不同的形式，我们思考能否从直线方程的另一形式运算求解？分析后发现，应该可以利用两点式，P、Q是直线l上的两点，从直线l的斜率或倾斜角两个角度求出定点.

解法4：（斜率角度）設直线AP的斜率为k1，则直线AQ的斜率为-1k1，进而得到直线AP的方程为y=k1（x+2）.联立直线AP与椭圆的方程得到关于x的二元一次方程后，将其分解因式得（x+2）4k12+1x+8k12-2=0（10），由（10）得到P点横坐标xP=2-8k124k12+1，将其代入直线AP的方程得到yP=4k14k12+1.同理，xQ=2k12-8k12+4，yQ=-4k1k12+4.应用两点式表达出直线l的方程y－yPyQ－yP=x－xPxQ－xP，经过化简后（运算过程略）得到y=-5k14k12-4x+65，求出定点（－65，0）.

解法5：（倾斜角角度）不妨以点P在一、二象限为例，设直线AP的倾斜角为θ，则直线AQ的倾斜角为θ+π2.可以得到直线AP的参数方程为x=－2+tcosθ，

y=tsinθ（t为参数），将其代入椭圆方程得到关于t的一元二次方程1+3sin2θt2－4cosθt=0，进而求出点P取值的参数tP=4cosθ1+3sin2θ，将其代入参数方程得到P点坐标P4cos2θ1+3sin2θ－2，

4sinθcosθ1+3sin2θ，同理Q4sin2θ1+3cos2θ－2，－4sinθcosθ1+3cos2θ.类似解法4得到直线l方程y=－5sinθcosθ4（sin2θ－cos2θ）（x+65），求出定点（－65，0）.

思路4 在高中阶段，二次曲线系属于拓展内容，圆、椭圆、双曲线、抛物线都属于二次曲线，两条直线也被称为退化的二次曲线.从两条直线出发，我们能否用类似曲线系的方法，求出定点？

解法6：（斜率角度）设直线AP的斜率为k1，AQ的斜率为k2，可得直线AP的方程为y=k1（x+2），移项后得到k1x+2k1－y=0；同理可得直线AQ的方程为k2x+2k2－y=0.两式相乘得k1x+2k1－y·k2x+2k2－y=0，该式可表示直线AP、AQ上所有的点，进一步化簡得k1k2x2+4x+4－k1+k2yx+2+y2=0（11），将x24+y2=1变形为y2=1+x21－x2，代入（11）得－（x+2）2－（k1+k2）y（x+2）+14x+22－x=0（12）.（12）式表示直线AP、AQ与椭圆的所有交点，因为直线l不经过A点，（12）化简为－x+2－k1+k2y+142－x=0（13），满足P、Q两点的坐标，据两点确定一条直线，可将（13）当作直线l的方程，化简为（k1+k2）y=－54（x+65），求出定点为（－65，0）.

解法7：（倾斜角角度）同样以点P在一、二象限为例，设直线AP的倾斜角为θ，则直线AQ的倾斜角为θ+π2.因直线AP过A点，则直线AP的方程为y=tanθ（x+2），化简为tanθx+2tanθ－y=0，同理可得直线AQ的方程为cotθx+2cotθ+y=0，类似解法6求出定点（－65，0）.

3 推广探究

若将题目中A点一般化为椭圆上任意一点，并将两直线AP、AQ的斜率之积一般化，可将结论推广至双曲线与抛物线.

+定理1 如图1，设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A（x0，y0）是椭圆上任意一点，直线l不经过点A且与C交于两点P、Q，若AP⊥AQ，则直线l恒过定点B（－（b2－a2）x0a2+b2，（b2－a2）y0a2+b2）.

证明：应用解法1，直线AP、AQ的斜率都存在，直线l不经过点A（x0，y0）.当直线l斜率不存在时，易得直线l为x=（a2－b2）x0a2+b2；当斜率存在时，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），直线l：y=kx+m，则直线AP、AQ的斜率为kAP=kx1+m－y0x1－x0，kAQ=kx2+m－y0x2－x0.由kAP·kAQ=－1得（k2+1）x1x2+（mk-x0-y0k）（x1+x2）+y02+x02-2my0+m2=0（12），联立直线l与椭圆C的方程得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0.据韦达定理得x1+x2、x1x2的值并将其带入（12），整理得（a2+b2）m2+（2a2kx0-2b2y0）m-a2b2-k2a2b2+a2k2y02+b2y02+a2k2x02+b2x02=0.（13）结合点A在椭圆C上的方程，将（13）分解因式得［m－（y0－kx0）］［（a2+b2）m+（a2y0－b2kx0+a2kx0－b2y0）］=0.解得m1=y0－kx0（不合题意，舍去），m2=（b2－a2）x0ka2+b2+（b2－a2）y0a2+b2.将m2代入直线l的方程化简得l：y=k（x+（b2－a2）x0a2+b2）+（b2－a2）y0a2+b2，因此直线l过点B（－（b2－a2）x0a2+b2，（b2－a2）y0a2+b2）.

定理2 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A（x0，y0）是椭圆上任意一点，直线l不经过点A且与C交于两点P、Q，若直线AP、AQ的斜率之积为s，则直线l恒过定点B（－（b2+a2s）x0b2－a2s，（b2+a2s）y0b2－a2s）.

定理3 如图2，设双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），点A（x0，y0）是双曲线上任意一点，直线l

不经过点A且与C交于两点P、Q，若直线AP、AQ的斜率之积为s，则直线l过点B（（sa2－b2）x0sa2+b2，（b2－sa2）y0sa2+b2）.

定理4 如图3，设抛物线C：y2=2px，点A（x0，y0）是抛物线上任意一点，直线l不经过点A且与C交于两点P、Q，若直线AP、AQ的斜率之积为s，则直线l过点B（x0－2ps，－y0）.

（2020山东省专业学位研究生教学案例库项目：“数学教学设计与案例分析”教学案例库（SDYAL20188）.房元霞教授为本文的通讯作者.）