对作差法求数列通项的几点思考

摘要：求数列的通项公式有很多方法，比如有公式法、累加法、累乘法、作差法、构造法等。“作差法”是应用最普遍的方法，一般求数列通项的题目中只要涉及数列的前[n]和，通常都要考虑作差法。但是一样的方法，真正做起来却千差万别，有的仅仅使用作差法这一种方法就可以应对，有的还需要辅助累加、累乘、构造等方法，形式灵活多变，错综复杂。本文通过思考探究作差法求通项公式的题型，进一步找到解决问题的规律，从而为后续步骤打好基础。

关键词：作差法  通项公式  规律

问题提出：设数列[an]的前[n]和为[Sn]，如何求数列[an]的通项公式？

题型一：[Sn=an2+bn+ca，b，c∈R]型

例1.若 [Sn=3n2+2n]，求数列[an]的通项公式。

解： [a1=S1=5]，当 [n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=3n2+2n-3（n-1）2+2n-1=6n-1]

综上[an=6n-1].

结论1：如果一个数列的前[n]和[Sn]是关于[n]的含有常数项的二次式，即[Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R）]，若[c=0]则这个数列是等差数列；若[c≠0]，则这个数列从第二项起后续各项组成一个等差数列。

题型二：[Sn=kan+1+b（k≠0，且b≠0）]或[Sn=kan+b（k≠0，且b≠0）]

例2.若[Sn=3an+2]，求数列[an]的通项公式。

解：当[n=1]时，

[a1=S1=3a1+2]，解得[a1=-1]

当 [n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=3an+2-3an-1+2=]

[3an-3an-1]

即[2an=3an-1]，  因为[a1=-1≠0]，所以[an≠0]，即[anan-1=32]

数列[an]是以-1为首项，以[32]为公比的等比数列。所以，[an=-32n-1]

结论2：一般地，若[an]，[Sn=3an+1+2，a1=aa≠0]，我們有[an=Sn-Sn-1=kan+1+b-]

[kan+b=kan+1-kan，n≥2] ，

所以[（k+1）an=kan+1]，即[an+1an=k+1k]

当[n=1]时有[a=ka2+b] ，即[a2=a-bk]

当[a2a1=a-bka=k+1k]，即[a=-bk]时，数列[an]为等比数列。

当[a≠-bk且a≠0时]，数列[an]从第二项起为等比数列。

此时，[an=a，n=1a-bkk+1kn-2，n≥2]

题型三：[Sn、n、an]组合型

例3. [Sn=14an+12，且an>0]，求数列[an]的通项公式。

解： [a1=S1=14a1+12]，得到[a1=1]

当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=14an+12-14an+12]

所以[4an=an2-an-12+2an-2an-1]

即[an2-an-12-2an-2an-1=0]

[an+an-1an-an-1-2an+an-1=0]

[an+an-1an-an-1-2=0]

因为[an>0]，所以[an+an-1>0]

[an-an-1=2]

数列[an]是以1为首项，以2为公差的等差数列。

[an=1+2（n-1）=2n-1]

结论3：形如[2ASn=a2n+Aan+B][A≠0，B≠0，]

[且an>0]，数列[an]为等差数列。

证明如下：

当[n≥2]时，[2ASn-1=a2n-1+Aan-1+B]

所以[2Aan=an2-an-12+Aan-Aan-1]

即[an2-an-12-Aan-Aan-1=0]

[an+an-1an-an-1-Aan+an-1=0]

[an+an-1an-an-1-A=0]

因为[an>0]，所以[an+an-1>0]

[an-an-1=A]

数列[an]是以[a1]为首项，以[A]为公差的等差数列。

结论4：对于一些复杂的含有[Sn]、n、an的数列求通项公式除了应用作差方法外，还要辅助其他的解答方法，比如累乘法、构造法、累加法等等。

例4. [a1=1]，[nan+1=2Sn]，求数列[an]的通项公式。

法一：由于[nan+1=2Sn]①，则当[n≥2]时，[n-1an=2Sn-1]②，

①-②，得[nan+1-n-1an=2an]，即[an+1an=n+1n]，易知[a2a1=21]，

所以[an=a1?a2a1?a3a2?…?anan-1=1×21×32×…×nn-1=nn≥2]．

又[a1=1]满足[an=n]，故[an=nn∈N*]

法二：由于[nan+1=2Sn]①，则当[n≥2]时，[n-1?an=2Sn-1]②，

①-②，得[nan+1-n-1an=2an]，即[an+1n+1=ann]，又易知[a22=a11]，

所以数列[ann]为常数列，所以[ann=a11=1]，所以[an=n].

结束语：综上所述，“作差法”作为一种解决数列题的重要方法，题目给出递推关系式的形式各具特色，呈现多样化的特点，在本文中就涉及有简单型的，有复杂型的，有直接给出型的，有间接给出型的。另外，对作差之后的“差式”处理变形工作对于后续的解题起着至关重要的作用。最常用的手段是分解因式、化分式为整式等；还有，有时要根据具体环境，通过合理变形，构造一种新的等差或等比数列，从而使问题迎刃而解。

教师评语：孟子涵同学认真总结了作差法求通项的三种题型，在本文中应用八个例题辅助说明题型的特征和命题规律，题型一和题型二相对简单易懂，题型三的已知条件比较复杂，但考查方式依然不变，对考生的计算能力有了更高的要求，该题型既考查了“作差法”，又重点考查了求数列通项公式的其他方法，通过“作差”，不但达到了化繁为简的目的，而且“差式”也转化为一个含有具体含义的代数式。从学生理解的角度看，孟子涵同学总结的用作差法求通项的题型比较全面，难度适中，完全可以被广大高中生借鉴学习。 指导教师：潘文超