探析排列组合常见的十六种解题方法

■福建省泉州市第七中学 彭耿铃

高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力、转化与化归处理能力及应用意识。这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值。本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考。

求解排列、组合问题的常见方法有以下几种 。

(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;

(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数,主要用于解决相邻问题;

(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;

(4)特殊元素、位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;

(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;

(6)元素相同隔板法:若把n个不加区分的相同元素分成m组,可通过n个相同元素排成一排,在元素之间插入m-1 块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;

(7)“至多”、“至少”间接法:“至多”、“至少”的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;

(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;

(9)定序问题消序法:甲、乙、丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;

(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解。

一、定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)

例1由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?

解析：由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。

例26个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )。

A.192种 B.216种

C.240种 D.288种

解析：若最左端排甲,其他位置共有=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有(种)排法。

所以共有120+4×24=216(种)排法,选B。

小结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素。若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。

二、相邻元素捆绑法

例37人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?

解析：可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得,共有(种)不同的排法。

例4某人射击了8 枪,命中4 枪,4枪命中且恰好有3 枪连在一起的情形共有____种。

解析：命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有(种)情况。

小结：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决。即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。

三、不相邻问题插空法

例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析：先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有(种)方法,故选D。

例7(2022年新高考Ⅱ卷) 有甲乙丙丁戊5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( )种。

A.12 B.24 C.36 D.48

解析：因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有种排列方式。为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2 种插空方式。注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有(种)不同的排列方式,选B。

小结：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端。

四、定序问题除序(去重复)、空位、插入法

例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?

解析：法一(除序法):

对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是

法二(空位法):

法三(插入法):

小结：定序问题可以用除序法,还可转化为空位法、插入法。

五、重排问题求幂法

例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?

解析：完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有 7 种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法,……,由分步计数原理知共有76种不同的分法。

小结：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置。一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn。

六、环排问题线排法

例108人围桌而坐,共有多少种坐法?

解析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7 人共有(8-1)!=7!=5 040(种)排法。

小结：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)! 种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列,共有

七、排列组合混合问题先选后排法

例11有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法?

解析：第一步从5 个球中选出2 个组成复合元素,共有(种)方法;再把4 个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有(种)方法。根据分步计数原理,装球的方法共有(种)。

例12(2021年全国乙卷) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1 名志愿者,则不同的分配方案共有( )。

A.60种 B.120种

C.240种 D.480种

解析：根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有种选法;然后连同其余3人,看成4 个元素,4个项目看成4个不同的位置,4 个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为根据乘法原理,完成这件事共有=240(种)不同的分配方案,选C。

例13(2020 年全国Ⅱ卷)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1 名同学,则不同的安排方法共有_____种。

解析：因为4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2 名同学看作一组,选法有种。现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有种。根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有=6×6=36(种)。

小结：解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似。

八、元素相同问题隔板法

例14有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?

解析：10 个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9 个空隙。在9 个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有(种)分法。

小结：将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为

九、正难则反总体淘汰法

例15从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2 个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

例16某学校安排甲、乙、丙、丁4位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有_____种。

解析：把4 位同学分成3 组,有(种)方法,然后进行全排列,即有(种)方法,去掉甲、乙在一个组的情况,当甲、乙在一个组时,参加的方法有(种)。故符合题意的安排方法有36-6=30(种)。

小结：有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰。

十、平均分组问题除法

例17将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲小组至少2人,乙、丙组至少1人,则不同的分配方案种数为( )。

A.80 B.120 C.140 D.50

解析：先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有(种),然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙,分配方法是(种);二是3 组人数分别为3,1,1,分组方法有(种),然后将有1人的两组分给乙、丙两组,分配方法有=20(种)。共有60+20=80(种)方案,选A。

小结：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以为平均分的组数)避免重复计数。

十一、合理分类与分步法

例18甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )。

A.10种 B.15种

C.20种 D.30种

解析：由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局。当局数为3 局时,情况为甲或乙连赢3 局,共2 种。当局数为4 局时,若甲赢,则前3 局中甲赢2 局,最后一局甲赢,共有(种)情况。同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况。当局数为5局时,前4局,甲、乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有12(种)情况。

综上可知,共有2+6+12=20(种)情况。选C。

十二、构造模型法

例19马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种。

解析：把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有=10(种)。

小结：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决。

十三、分解与合成法

例2030 030 能被多少个不同的偶数整除?

解析：先把30 030分解成质因数的乘积形式30 030=2×3×5 × 7 ×11×13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有(个)。

例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线?

解析：我们先从8 个顶点中任取4 个顶点构成四面体,共有(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8 个顶点可连成3×58=174(对)异面直线。

例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )。

A.24对 B.30对

C.48对 D.60对

解析：(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8×12=96(对),且每对均重复计算一次,故共有=48(对)。选C。

小结：分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。

十四、复杂问题化归法

例2325人排成5×5 方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?

解析：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法。这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去。从3×3方队中选3人的方法有(种)。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题。从5×5方队中选取3行3列,有(种)选法,所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有(种)选法。

例24用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”表示把红球和蓝球都取出来。以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)·(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)·(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析：分三步:第一步,5 个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1+a+a2+a3+a4+a5)种不同的取法;

第二步,5 个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;

第三步,5 个有区别的黑球看作5 个不同色,从5 个不同色的黑球任取0 个,1个,…,5个,有(1+c)5种不同的取法。

所以所求的取法种数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A。

小结：处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题。

十五、数字排序问题查字典法

例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )。

A.144个 B.120个

C.96个 D.72个

解析：首位填4 时,比40 000 大的偶数有2×4×3×2=48(个);首位填5 时,比40 000大的偶数有3×4×3×2=72(个)。故共有48+72=120(个)数满足题意,选B。

小结：数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

十六、住店法

例267 名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为_____。

解析：因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能。

小结：解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。

排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化。请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础。