聚焦全概率公式及其应用

■江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏

■江苏省无锡市青山高级中学 张启兆

全概率公式已经纳入了《普通高中数学课程标准》(2017年版、2020年修订)中,全概率公式是人教社2017年A 版高中数学选择性必修第三册的内容,2019年全国Ⅰ卷理科第22题间接考查了全概率公式,同学们要重视对这个新增内容的理解与应用。

1.正确理解全概率公式

(1)全概率公式。

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算,这时,我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑。

一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪… ∪An=Ω,且P(Ai)＞0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有

我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是概率论中最基本的公式之一。

(2)贝叶斯公式。

在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率。

2.准确应用全概率公式

例1盒中有a个红球,b个黑球,现在随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上c个同色球,再从盒中抽取1个球,则第二次抽出的是红球的概率是( )。

分析：设“第一次抽出的是红球”为事件A,“第二次抽出的是红球”为事件B,则B=,再利用全概率公式求解。

解：设“第一次抽出的是红球”为事件A,“第二次抽出的是红球”为事件B,则B=

由全概率公式得P(B)=P(A)·

评注:全概率公式的使用要点:(1)如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式解决;(2)用全概率公式解题的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定。

例2(多选题)已知编号为1,2,3 的三个盒子,其中1号盒子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球,一个3号球;3号盒子内装有三个1号球,两个2号球。若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是( )。

A.在第一次抽到2号球的条件下,第二次抽到1号球的概率为

C.如果第二次抽到的是1 号球,那么它来自2号盒子的概率最大

D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内,每个盒子至少放1个,那么不同的放法有300种

分析：计算条件概率判断A;利用全概率公式计算判断B;利用贝叶斯公式求解判断C;求出不同元素的分组分配种数判断D。

对于A,在第一次抽到2号球的条件下,把2号球放入2号盒子内,因此第二次抽到1号球的概率为正确。

第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同。

故选AB。

评注:全概率公式和贝叶斯公式使用时有区别,若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式。

例3由于身体及心理方面的差异,人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故。为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故,同学们组成了调查小组,对其所在城市进行了调查研究。结果却显示为:该市2022年男女驾驶员的比例为7∶3,男性驾驶员平均万人的发案数为2.20,女性驾驶员平均万人的发案数为0.25。(发案即发生了交通事故,暂不区分其是否为肇事责任人。)

(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人,则恰有1位女驾驶员的概率是多少?

(2)若该市一名驾驶员在2022年发生了交通事故,则其为女性的概率是多少? (结果保留到小数点后第三位)

分析：(1)设在全市驾驶员中随机抽取3人,女驾驶员的人数为X,则X～B(3,0.3),再根据二项分布的概率公式求解即可。(2)设事件A为“驾驶员为女性”,事件B为“驾驶员发生的交通事故”,进而结合全概率公式和条件概率公式求解即可。

解：(1)因为该市2022 年男女驾驶员的比例为7:3,所以在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为0.3。

设在全市驾驶员中随机抽取3 人,女驾驶员的人数为X,所以X～B(3,0.3)。

恰有1位女驾驶员的概率是P(X=1)

(2)设事件A为“驾驶员为女性”,事件B为“驾驶员发生的交通事故”。

故该市一名驾驶员在2022 年发生了交通事故,则其为女性的概率是0.046。

评注:在运用全概率公式时,已知、未知条件为:(1)划分后的每个小事件的概率,即P(Bi),i=1,2,…,n;(2)每个小事件发生的条件下,A发生的概率,即P(A|Bi),i=1,2,…,n;(3)求解目标是计算事件A发生的概率,即P(A)。

例4有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品,甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为0.95、0.90、0.80,已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为2∶3∶5,将三个厂家生产的产品混放在一起,现从混合产品中任取1件。

(1)求这件产品为合格品的概率;

(2)已知取到的产品是合格品,问它是哪个厂家生产的可能性最大。

分析：(1)设事件A表示取到的产品为合格品,B1、B2、B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产,由题意可得出P(Bi)(i=1,2,3)以及P(A|Bi)(i=1,2,3)的值,再利用全概率公式可求得所求事件的概率;(2)计算出P(B1|A)、P(B2|A)、P(B3|A)的值,比较大小后可得出结论。

解：(1)设事件A表示取到的产品为合格品,B1、B2、B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产。

已知Ω=B1∪B2∪B3,且B1、B2、B3两两互斥,则P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8。

所以,P(B3|A)＞P(B2|A)＞P(B1|A),这件产品由丙厂生产的可能性最大。

评注:在运用贝叶斯公式时,一般已知、未知条件为:(1)事件B的多种情况中到底哪种情况发生了是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Bj),j=1,2,…,n;(2)事件A是已经发生的确定事实,且已知每种事件B发生条件下事件A发生的概率,即P(A|Bj),j=1,2,…,n;(3)P(A)未知,需要使用全概率公式计算得到。

练一练：

“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心,据考证“青团”之称大约始于唐代,已有1 000多年的历史。现有甲、乙两个箱子装有大小外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3 个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”。

(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;

(2)若先从甲箱中任取2 个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率。