条件概率与全概率公式考点突破

■河北省石家庄二中实验学校 朱秀华

常言道:知己知彼,百战百胜。条件概率与全概率公式是新教材新增内容,那么对于这个内容,考试中一般会出现哪些考点呢?

考点1：计算条件概率

例1(1)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取2个数,事件A=“有一个数是奇数”,B=“另一个数也是奇数”,则P(B|A)=( )。

(2)一个盒子中有4 个白球,m个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为

分析：(1)根据条件概率的定义,可分别求解n(AB),n(A),即可用条件概率的公式运用个数之比求解;(2)根据条件概率的公式计算出结果。

解：(1)任取2 个数,则一奇一偶共有(种)取法,两个都是奇数共有10(种)取法,所以事件A包含所取两个数要么为一奇一偶,要么为两个奇数,故n(A)=20+10=30。

(2)由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B。

解得m=6或m=0(舍去)。

方法技巧：

(1)条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件;(2)若P(A)=0,表示条件A不可能发生,此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了,所以条件概率计算必须在P(A)＞0的情况下进行。

考点2：条件概率的应用

例2(1)2022 年某地区空气质量的记录表明,空气质量一天为优良的概率为0.8,连续两天为优良的概率为0.6,若今天的空气质量为优良,则明天空气质量为优良的概率是( )。

A.0.48 B.0.6

C.0.75 D.0.8

(2)疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难。当年为了顺利迎接高考,某省制定了周密的毕业年级复学计划。为了确保安全开学,全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查。学生先到医务室进行咽拭子检验,检验呈阳性者需到防疫部门进一步检测。已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%,且每个人检验是否呈阳性相互独立,若该疾病患病率为0.1%,且患病者检验呈阳性的概率为99%。若某人检验呈阳性,则他确实患病的概率( )。

A.0.99% B.99%

以100 mL复原奶为准，在接种量0.1%，黄精浸提液0.5%，于42℃下发酵6 h，在每100 mL复原奶中分别添加蔗糖5%，6%，7%，8%，9%，按照1.3.1的工艺流程制造黄精酸奶，考查不同蔗糖添加量对黄精酸奶品质的影响，确定蔗糖的最佳添加量。

C.49.5% D.36.5%

分析：(1)设随后一天的空气质量为优良的概率是p,利用条件概率公式能求出结果;(2)利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率。

解：(1)一天的空气质量为优良的概率为0.8,连续两天为优良的概率为0.6,设随后一天空气质量为优良的概率为p。若今天的空气质量为优良,明天空气质量为优良,则,选C。

(2)设A为“某人检验呈阳性”,B为“此人患病”,则“某人检验呈阳性时他确实患病”为B|A。

方法技巧：

(1)利用定义计算,先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=即可求解;

(2)借助古典概型计算概率的公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),则

考点3：利用全概率公式求概率

例3(1)制造业直接体现了一个国家的生产力水平,中国制造业作为国家的支柱产业,一直保持较好的发展态势。通过人口普查发现,A,B两市从事制造业的人分别占全市人口的8%,12%,这两市的人口数之比为6∶9。现从这两市随机选取一个人,则此人恰好从事制造业的概率为____。

(2)已知某地市场上供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_____。

分析：(1)利用条件概率即可求得从这两市随机选取一个人,且此人恰好从事制造业的概率;(2)根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算。

(2)从某地市场上购买一个灯泡,设买到的灯泡是甲厂产品为事件A,买到的灯泡是乙厂产品为事件B,则由题意可知P(A)=60%,P(B)=40%。

从甲厂产品中购买一个,设买到的产品是合格品为事件C。

从乙厂产品中购买一个,设买到的产品是合格品为事件D。

则由题可知P(C)=95%,P(D)=90%。

由题可知A、B、C、D互相独立,故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为:

P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=60%×95%+40%×90%=0.93。

方法技巧：

考点4：利用贝叶斯公式求概率

例4设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为。现从这三个地区任抽取一个人。(1)求此人感染此病的概率(结果保留三位小数);

(2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率(结果保留三位小数)。

分析：(1)由全概率公式求解;(2)由贝叶斯公式求解

解：(1)设事件Ai表示“来自第i个地区,i=1,2,3”;事件B表示“感染此病”。

(2)若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:①任意两个事件均互斥,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③0＜P(Ai)＜1,i=1,2,…,n。则对Ω中的任意概率非零的事件B,都有B=BA1+BA2+… +BAn,且P(Aj|B)=