2011年版和2022年版《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的比较研究

彭国庆

［摘 要］“数与代数”是《义务教育数学课程标准》课程内容的主要领域之一。比较2011年版和2022年版《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域，发现两者传统核心内容基本一致，学科内容要求相对均衡，但也存在五个不同点及转变：数量关系的学科内容呈现不同，实现学科主要内容向核心内容转变；数的运算联系性程度不同，实现学科内容由多样性向一致性转变；数的认识概念一致性程度不同，实现学科概念由分散性向整体性转变；代数内容容量不同，实现育人观念由教材立场向儿童立场转变；学科内容指导程度不同，实现学科指导由粗犷向精细转变。这些变化带来了三点启示：教材相关内容的编写要体现新课程标准的修订理念，加强数的认识和数的运算的一致性和关系研究，加强数量关系的教学研究。

［关键词］小学数学课程标准；数与代数；不同版本；比较

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）20-0013-05

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版课标”）和《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）都把课程内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域。其中，“数与代数”是两个版本《义务教育数学课程标准》的重要领域之一，无论是对课程内容系统性、结构性的搭建，还是对数学文化和思想的承载，抑或是对学生数学核心素养培养的具体实施，都起到非常重要的作用。例如，马云鹏指出，数的认识、数的运算和数量关系学科内容的育人价值在培养学生数学理性思维等方面有特殊作用，强调课程内容结构化，体现了核心素养的整体性、一致性和阶段性。赵莉等强调，数的认识与运算的一致性有利于学生经历数学化过程，形成核心素养。孔凡哲等指出，课程内容如“数与代数”等领域凸显数学学科本质、体现整体结构。王光明等指出，“数与代数”领域的主要变化是强调代数推理。对相关文献进行查询和整理后发现，单独研究2022版课标中“数与代数”领域课程内容的不多，“数与代数”领域的课程内容研究多是渗透在2022版课标结构特点以及目标解读等研究中。因此，在已有文献研究的基础上就两个版本《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域之小学部分（下文“数与代数”领域均指“数与代数”领域之小学部分）的具体内容进行比较研究，助力小学数学一线教师深刻理解“数与代数”领域的学科内容本质，努力实现其核心内容的育人价值。

一、两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的基本情况

整理2022版课标和2011版课标中“数与代数”领域的相关内容，归纳如下（见表1、表2、表3）。

从表中可以发现，两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的内容既有变化又有传承。例如，主题内容情况及分学段内容情况中的数的认识与数的运算部分的传承；有明显变化的是内容呈现从一个方面的单一呈现到三个方面的具体呈现，充分体现出《义务教育数学课程标准》的指导性、可操作性和时代性等特点。具体分析将在下文进行。

二、两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的相同点

1.传统核心内容基本一致

数的认识和数的运算是传统数学课程的重要内容之一，数的运算更是传统数学课程中最为重要的内容。为了突出该内容的重要性，之前的小学数学教材就取名为《算术》。随着数学的进一步发展，数学教育不断拓展新的数学课程内容，并划分出新的义务教育数学课程内容领域。但是，无论是哪一版本的教学大纲或课程标准，数的认识和数的运算都是主要内容或核心内容。从表1和表2中也能看出，2011版课标中“数与代数”领域的主要内容，尤其是数的运算，得以有效保留并进一步优化成为2022版课标中的核心内容。

2.学科内容要求相对均衡

《义务教育数学课程标准》的指导性是课程标准应该突出的特点之一。两个版本《义务教育数学课程标准》中都有“数与代数”领域的内容要求，2011版课标和2022版课标在其课程内容中均用了非常详尽的内容进行阐述，具体内容条数见表4和表5。

由表4可知，2011版课标中的内容要求包含了常见的量、探索规律等49条具体指导意见，比2022版课标中的内容要求多得多，其中关于“数与代数”的内容要求共有16条，关于数的运算的内容要求共有18条，这两个方面的内容要求一共有34条，这样就和2022版课标中数与运算、数量关系等内容要求总数28条相差不多。可见两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的具体内容要求与主要内容或核心内容是相对均衡的，也充分体现了课程标准的指导性。

三、两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域的不同点和变化

1.数量关系的学科内容呈现不同，实现学科主要内容向核心内容转变

2011版课标和2022版课标分别在其前言部分和课程性质中明确指出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。从给出的数学学科定义中应该能够看出数量关系是数学学科的重要组成部分，在数学课程与教学中占重要位置。但2022版课标更加突出数量关系这一学科内容的重要性，重视程度明显强于2011版课标。从表1可以看出2011版课标并没有把数量关系编排到“数与代数”领域的主要内容中，数量关系在2011版课标中仅被提及两次，是在有关数感的培养中“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。有关数感培养的部分两次提到数量关系既是学生建立数感的内容载体，又是学生数感的反馈载体。2022版课标在“数与代数”领域中明确指出学习主题包含“数与运算”和“数量关系”，并明确指出数量关系主要是指用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律，关于数量关系这一学科内容的育人价值为“学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识” 。2022版课标中给出了数量关系的具体描述，准确回应了数学的课程性质，瞄准了数学学科科学定义中的内涵，同时详细描述了学科内容的育人价值。同时，2022版课标把数量关系作为课程内容的核心内容，在每个学段都明确提出内容要求，让数量关系有据而来、寻法而去。从表5中可以看到，关于数量关系的学科內容要求也是逐渐递增的，从数量上看是从2条上升到了6条。数量关系的具体内容及其育人价值见表6。

从表6中可以看出，三个学段关于数量关系的育人价值基本是一致的，且能体现螺旋上升的课程设计理念，凸显2022版课标用数学核心内容发展学生数学核心素养的设计理念。

2.数的运算联系性程度不同，实现学科内容由多样性向一致性转变

数的运算一直是小学数学传统核心内容，其重要性毋庸赘述。2011版课标对数的运算的算法提出了一般性的内容要求。教材围绕这些一般性的内容要求，就整数、小数和分数给出了一般性的算法。例如，整数加减法的计算方法是把数位对齐，从个位算起；小数加减法的计算方法是把小数点对齐，然后按照整数加减法的计算方法进行计算；同分母分数加减法的计算方法是分母不变，分子相加减。从上述内容可以看出，整数和小数的加减法的计算方法相对一致。因为小数加减法突出了小数点对齐，也就是相同数位上的数对齐。但是整数、小数和分数的计算方法还是不完全一样的，尤其是分数的形式与整数、小数的不同，就给人感觉它们在加减法计算方法上的差异性是很明显的，而且课程内容中并没有明确指出运算之间的关系，如加法和减法之间的关系等。

2022版课标不仅强调了算法的一致性，还特别突出运算之间的关系。其在“数与代数”的前言部分指出“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”。那么，如何体现算法本质上的一致性呢？如上述整数、小数和分数的加减法，首先把数的本质搞清楚——所有数都是由计数单位累加而成的，这是数概念本质上的一致性。这种一致性迁移到加减法运算中就是计数单位个数相加减。这样整数、小数和分数都是把相同计数单位个数相加减，整个运算本质上就是计数单位的运算，也就是计数单位累加或累减过程。这就凸显了算法本质上的一致性。

因此，算法本质上的一致性有利于学生用整体观点认识、学习数学，同时便于学生建立整体认知结构。对于运算之间的关系， 2022版课标在新增“学业要求”中明确指出“在第一学段知道减法是加法逆运算、乘法是加法简便运算、除法是乘法逆运算”，“在第二学段能描述减法与加法的關系、除法与乘法的关系” 。通过两个学段的学习，学生从初步认识到掌握运算之间的关系，为学习四则混合运算以及验算做好铺垫。这体现出对运算关系层层递进、螺旋上升的设计理念，同时凸显学习的整体性。

3.数的认识概念一致性程度不同，实现学科概念由分散性向整体性转变

数的认识是“数与代数”领域中的基础性内容。同时，数的认识与数的运算之间又有着紧密的联系。2011版课标分学段递进式强调在现实情境中理解万以内、万以上数的意义，并能够认、读、写数，了解十进制计数法；能结合具体情境初步认识小数、分数；能够读、写小数和分数；能结合具体情境，理解小数、分数、百分数的意义。在这个过程中，整数、小数、分数的认识有一定程度上的关联：一是整数、小数的关联，在认识小数的意义时，完善了小数和整数数位顺序表，沟通了小数、整数之间的联系，厘清了十进制是其概念本质；二是小数和分数之间的关联，如教材编排小数和分数的内容时，采取先认识分数，而后在分数的基础上认识小数，通过借助十分之几的分数可以写成一位小数等方式来让学生初步认识小数，继而进一步学习小数的意义。分数与小数之间的联系是紧密的，但是它们和整数之间的联系却不够紧密。2022版课标在数的认识内容上做了进一步的优化改进，指出“逐步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性”。这句话包含两层意思，一是“数是对数量的抽象”，可以理解为用对应的数学思想把生活中事物的量进行抽象。因此，数的认识是培养学生数字感觉、符号意识、抽象能力等核心素养的重要载体。二是“计数单位累加”，计数单位是核心大概念。所有对数量的抽象都建立在对计数单位建立和累加的基础上。也正因为计数单位这一核心概念，不同的数的运算方法的联系才更加紧密。

因此， 数运算的一致性建立在认识一致性的基础上，同时又保持着核心内容本质上的一致性。基于此， 2022版课标在百分比中更加突出两个数量倍率关系表达：既可以表达确定数据，也可以表达随机数据；更加突出百分比统计意义，把百分比的意义等相关内容移至“统计与概率”领域，实现学科概念由分散性向整体性转变。

4.代数内容容量不同，实现育人观念由教材立场向儿童立场转变

“数与代数”领域从字面上可以分拆成两个部分：一部分是关于数的，也就是数的认识和数的运算等；另一部分是关于代数的，也就是用字母表示数、方程等。从表1和表2中可以看出，2011版课标“数与代数”的主要内容包含了用字母表示数、代数式及其运算、方程，代数部分的学习主题则围绕“式与方程”展开。2022版课标则在数量关系中指出：“能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律。感悟用字母表示具有一般性。”这完全把式与方程的内容后置到初中部分。这样，小学部分“数与代数”内容的容量就明显减少了。

这里简析两个版本《义务教育数学课程标准》中对于小学增添和删除式与方程的缘由，以帮助教师理解数学课程标准的修订方向。2011版课标设置方程、式与方程等内容，是基于在小学阶段进行代数知识早期渗透和学生代数思维的早期培养，同时在一些解题方法上与初中数学取得一致。以苏教版教材六年级分数除法问题（如图1）为例，之前解决此类分数除法问题时，是根据分数乘法问题进行逆推，对于分数乘法问题就是求单位“1”的几分之几是多少，而分数除法就是“单位‘1’的几分之几已知，求单位‘1’。后来，为了加强中小学数学知识的衔接，此部分内容就引入了方程解法（如图2）。但是，学生学习分数除法这部分内容时并没有感觉到方程解法的便捷性，反而因为感觉书写烦琐避而不用。同时，小学阶段问题多是简单的实际问题，用算术解答无论是书写还是思维难度上都是学生乐于、善于接受的。因此，为了进一步增强学生对初中代数部分方程感悟、应用等，2022版课标就把式与方程等代数部分内容后置到初中部分，以增强初中代数部分内容一致性和完整性，由此实现学科育人理念由教材立场向儿童立场转变。

5.学科内容指导程度不同，实现学科指导由粗犷向精细转变

上述有谈到两个版本《义务教育数学课程标准》的指导性，但是指导内容不同，程度也不同。从表3中可见，2011版课标在课程内容中仅呈现了内容要求，而2022版课标既有前言或总论，又有内容要求，还新增了学业要求和教学提示，使得课程标准的指导性更强。细读2011版课标“数与代数”的内容要求，不难发现其中一些内容要求在2022版课标中变为了学业要求，如2011版课标中数的认识的第一条内容要求“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置 ”的后半句就呈现在了2022版课标的学业要求中——“能认、读、写万以内的数；能说出不同数位上的数表示的数值”。由此可见， 2022版课标更加具体、明晰。除此之外，2022版课标新增加了“教学提示”，更具有指导性：它既分析了学生的年龄特点，又提供了具体教法指导，对學科内容的育人价值进行了分析并给出指导策略，以帮助一线教师通过科学实施课程内容来落实课程目标。2022版课标实现了内容标准与评价标准、教学提示并列，并明确了“学什么、学到什么程度、怎么教”，形成了“教—学—评”一体化新格局。

四、两个版本《义务教育数学课程标准》中“数与代数”领域比较研究的启示

1.加强情境系统的设计研究，帮助学生形成结构化认知体系

2022版课标在数与运算课程内容的内容要求、学业要求以及教学提示中强调教师要提供实际情境、学生熟悉的生活情境等，可见情境对学生学习数与运算的重要性。上述谈到数与运算的课程内容具有整体性的新特点，那么教师提供的、创设的情境系统也应该保持整体性，以相对完整的情境系统进一步帮助学生在理解课程内容的整体性的基础上形成结构化认知。情境系统包含诸如生活场景图片或实际活动场景、文字信息，以及问题创设等诸多内容情境创设的时机、方法等，通过系统的情境创设，不断给学生制造认知冲突，使学生理解不同的数产生的必要性，并能够结合具体情境理解计数单位这一核心概念，感悟数是对数量的抽象，从而在情境系统中不断认识新的数，逐渐完成对数概念的扩充；在数的运算情境系统中引导学生通过具体操作活动理解算理、掌握算法、厘清关系。同样，对于数量关系，也需要一个相对完整的情境系统，以帮助学生理解数量关系中的专业术语，理解并建立数学模型。而涉及数的认识、数的运算以及数量关系的情境系统，又要组建一个大情境系统，以帮助学生完整理解知识的同时形成结构化认知体系。

2.加强数量关系的教学研究，帮助学生提高解题能力

数量关系的学习最终目的是运用数与运算来解决实际问题。教师应引导学生通过探究、发现、应用符号（包括数）或含有字母的式子表达数量之间的关系与规律，发展学生的模型意识、推理意识、应用意识、创新意识，进而提高学生的问题解决能力。加强数量关系的教学研究，首先要加强数学模型的教学研究。通过数学模型帮助学生理解数学模型中的数学专业术语及它们之间的变换关系，帮助学生学会解决原本用方程解决的稍复杂的分数除法等实际问题。其次，数量关系中新增加了基本事实“等量的等量相等”。教师要帮助学生基于事实理解“等量的等量相等”，让学生感悟代数推理，以及能够进行更多的实际应用。最后，研究如何借助画图、实物操作等方法帮助学生构建直观数学模型，理解数量关系，探索解决问题的有效思路，使学生在发展几何直观的同时清楚解题的路径，提高解题能力。

3.加强主题内容组教学研究，帮助学生理解学科内容的一致性

2022版课标根据学生的年龄特点把“数与代数”领域的内容划分为四个学段，且这四个学段的主题是一致的。为了进一步凸显学科内容的一致性，教师要把静态的文本素材进行有机处理，以利于学生深刻理解学科内容的一致性。比如数的认识中，整数、小数、分数的认识这些内容并不是高度集中的，而是根据学生的年龄特点和知识本身的特点进行螺旋上升递进式编排的。面对这些分散的学习内容，不妨以主题内容组的方式开展集中教学，如对于数的认识这一主题，可以把整数、小数以及分数的认识这些内容组合在一起形成主题内容组开展集中研究，这样就可以处理好学科内容的整体性和阶段性的问题。把主题内容组的教学研究和单元整体教学研究组合起来，可以帮助教师从横向和纵向多维度、全方位研究教学，也可以帮助学生理解学科内容的一致性。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 马云鹏. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》的理念与目标解读[J]. 天津师范大学学报（基础教育版），2022，23（5）：1-6.

[2] 马云鹏，王珍. 对话马云鹏：《义务教育数学课程标准（2022年版）》学习要点解惑[J]. 福建教育，2022（27）：52-56.

[3] 赵莉，吴正宪，史宁中. 小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践：以“数与运算”总复习为例[J]. 课程.教材.教法，2022，42（8）：122-129.

[4] 孔凡哲，赵欣怡. 义务教育数学课程标准（2022年版）的结构特点[J]. 福建基础教育研究，2022（7）：4-8.

[5] 马云鹏. 怎样理解“数量关系”学习主题[J]. 小学数学教育，2022（11）：11-13.

[6] 孙兴华，马云鹏. 为什么将“数与运算”整合为一个主题[J]. 小学数学教育，2022（11）：14-16.