小学数学教学中“发现法”的运用探究

北安市健康小学 包婧婧

数学是三大基础学科之一，是人们从事自然科学研究的基础，渗透到人们生活的方方面面。 它不仅是一个学习自然科学的工具，同时也能锻炼人的思维，让人们掌握正确的认识世界的方法。 在数学教学中，人们进行了深入地探讨，刻苦的钻研，提出了许多行之有效的教学方法，美国心理学家布鲁纳提出的“发现法”就是其中之一。“发现法”指在教师的指导下，学生通过自己的探索与研究来发现知识的内在联系，形成概念，获得原理[1]。 运用“发现法”会使学生在探究中提升自己的能力，享受成功的喜悦，从而大大提高学生对数学的学习兴趣，进而提高学习成绩。

一、“发现法”运用的优缺点

在教学中运用“发现法”，可以改变以往教师讲、学生听的“填鸭式”教学模式，让学生从被动地接受中解放出来、从服从命令式的学习模式中解放出来、从机械地照搬照抄前人经验的僵化思维模式中解放出来， 以培养学生未来走向社会所必须的独立思考能力。“发现法” 有利于提高学生学习的积极性与主动性， 让学生在发现的过程中得到激励，享受到成功的喜悦；“发现法”还有利于加深学生对数学问题的理解，让学生通过努力发现答案，从而深刻记忆。

“发现法”的不足也是显而易见的。 第一，容易导致学生忽视对数学知识的系统学习，让学生忽略数学知识之间的彼此联系。 第二，运用“发现法”耗时较多，过程较为繁琐，很多知识点的学习都超出正常课时。第三，运用此种教学方法必须考虑到学情，并不是所有学生都可以轻车熟路地运用“发现法”。第四，运用“发现法”还要有纪律的保证。纪律差、学生学习习惯差的班级不适用。第五，“发现法”并不是所有学科都可以使用（比如需要大量记忆与背诵的文科科目），也不是所有时候都可以运用“发现法”（哪怕是最适合使用的理科类）。

二、“发现法”运用的关键点

（一）提前做好问题的预设

教师要让学生带着问题去探究、去发现，使学生的探索与发现有方向、有目的，而不至于浪费时间和精力，乃至打击他们的积极性。 在设定问题时要注意几点：

问题要有启发性。例如，在教学一元二次不等式时，就可以设计这样的问题：请同学们看一看，一元二次不等式与一元一次不等式和一元二次方程有什么异同点？启发学生去思索、去发现，得出一元二次不等式是升级版的一元一次不等式，也是等号换成了不等号的一元二次方程的结论，最终探究出一元二次不等式的解法。

问题要有目的性。 每一个问题的设计，都要以提高学生的探究能力、解决数学学习中遇到的难题、让学生享受发现的快乐为目的。例如，在教学解析几何时，可以让学生在坐标系上将各点连线， 通过认识到数与图形的联系，从而认识到解析几何就是研究如何用代数式来表示图形的一门数学分支，引导学生正确看待解析几何，建立学生的学习自信心。

问题要有针对性。 教师不可漫无目的地乱设计，而是要有的放矢，要针对数学学习中有价值或与今后学习的知识有很大关联的知识点来设计问题，要让设计的问题起到“牵一发而动全身”的效果。例如，在教学“多次方程时”，可以设计这样的问题：通过对一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程解法的比较，能否看出最终解出方程的根本方法是什么？终极目标是什么？ 让学生通过比对、通过思考研究，最后得出结论：所有的解方程的根本方法都是降幂消元，其最终目标就是把方程变成一元一次方程，求出方程的一个解，最后逐步求出方程的其他解，解出方程。 教师还可以继续从这个问题拓展开来，让学生探究不等式的解法，与方程的解法加以对比，以此达到举一反三的效果。

（二）发挥直观教具的作用

通过对图形的实际观察和分析促进学生由直观（具体）向主观（抽象）转化，由特殊到一般，得出具有普遍意义的结论来。 例如，在教学求多边形内角和时，教师可以在PPT 上放映将多边形分割成n 个三角形的动画，让学生自己去观察、思考、研究、发现、总结、归纳。 最后得出多边形内角和的公式（n-2）×180°（n≥3 且n∈z）。 再如，在教授“对称图形”时，教师可以在PPT 上播放五角星、蝴蝶等生活中常见的对称图形或自然界中的实物，让学生初步理解对称的概念，再用动画演示转动的车轮，自传中的地球等，让学生明确什么是轴对称。再比如，教学“平移和旋转”时，教师可以用视频或动画来演示发生平移和旋转的物体，如飞行中的飞机、被推动的木箱、滚动的车轮，等等，引导学生直观地感受到什么叫平移，什么叫旋转。

（三）调动学生的积极性

“发现法”应用到教学中一段时间后，一些学有余力、主动性强的学生就会自己去寻找问题，主动探索，但由于学生的年龄、经验的局限，他们可能会出现方向性错误，甚至得出错误的结论。例如，三角形的内角和定理，即三角形的内角和等于180°。 这个定理的成立实际上是有前提的：三角形内角和在平面中才等于180°。而在凹面上三角形内角和小于180°，在凸面上则大于180°。 这很容易被学生忽略或遗漏， 从而想当然地认为三角形的内角和就是180°。这就需要教师要纠正他们的错误，把他们的思路引导到正确的方向上来，同时也要少批评，多鼓励，不要打消他们学习的积极性，还要鼓励他们勤思考、勤钻研，去主动学习、探索、发现。

（四）摆正教师的位置

教师只是一个“引领者”，在教学过程中，要启发和鼓励学生发现问题、探究问题、解决问题。 培养学生的自信心，让他们相信自己不但可以发现问题，而且完全可以凭借自身的知识与智慧解决问题。在运用“发现法”进行教学时，教师又是不可或缺的，是学生学习的引领者，主导着学生的学习过程； 也是学生学习过程中的一个重要的参与者，是学生的“合作伙伴”，与学生一起享受成功的喜悦。总之，在运用“发现法”时，教师既不能越俎代庖，忽视学生学习的主体地位，剥夺学生独立思考、独立探究、独立解决问题的权力， 又不能让自己在学生的学习过程中被“边缘化”，成为一个“多余人”。

（五）结合其他的方法

“发现法”不能孤立地使用，必须和其他方法结合一起才会有良好的效果。 例如，在教学“对数”时，就可以运用“启发法”，让学生观察幂运算，复习幂运算的一些知识点后，教师提出问题：幂运算是求一个数的乘方的结果，那么反过来，如果求一个数开方的结果该怎么办呢？ 引导学生去探究发现，从而联系到对数的知识，即对数实际上是幂运算的逆运算。再如，在教学“数轴”时，教师可以与“读读、议议、讲讲、练练”这种教学方法结合，让学生阅读教材，弄懂数轴的定义，明白数轴的组成与性质，指导学生讨论，再由每个小组代表发言，说明其探究的结果，最后做练习巩固所学。 尽管数学的教学方法多种多样，但是讲授法是最基本的，无论什么样的方法，最终还是以讲授法为基础。

三、“发现法”运用的过程

第一阶段，创设问题情境，使学生在这种情境中产生矛盾，提出要求解决和必须解决的问题。 例如，利用“发现法”来学习“小数和分数”时，教师不应直接引入小数和分数的概念，可以让学生们用尺子去测量数学书和练习册的长度，学生在测量的过程中遇到了用整数和自然数无法表示的“零头”时，学生就会感到困惑：用任意一个整数都是无法表达这个数量的，这该怎么办？此时，教师可进一步要求学生思考怎样来表示测量的过程中遇到的“零头”？这就很自然地提出了必须解决的问题。学生根据教师提出的要求做了多种假设，最后，经过师生们的集体钻研和探究，学生们“发现”了“小数”可以表示“零头”的方法，也就深刻地记住了关于“小数”的概念。 至于分数，教师可以先让学生拿出自己的书本，把它们平均分成几份后，问学生：“教师把书本平均分成了几份？ 每份是多少？ ”学生作出回答之后，接着问：“这在数学中应当用什么数来表示？”让学生带着问题提出假设，进一步验证、检验，最后引入“分数”的概念。从情境入手，有利于提高学生的学习兴趣，也利于激发他们探索、求证的积极性，而在探索与求证成功之后，学生又会受到极大地鼓励，越发喜爱数学这门学科。

第二阶段， 促使学生利用教师所提供的某些材料，针对教师所提出的问题，提出解答的假设。 例如，在教学“等腰三角形和等边三角形”时，教师在利用情境提出什么是等腰三角形这个问题之后，可以在多媒体上播放等腰三角形的图片，让学生仔细观察：这些三角形有什么特点？学生们仔细观察后得出结论：它们三条边中有两条相等。 有些细心的学生会发现：三个角中有两个角是相等的，由此学生们了解到两个底角相等的三角形是等腰三角形。 紧接着，教师可再出示等边三角形的图片，让学生辨认这些等腰三角形与前边的等腰三角形有什么不同？学生们经过仔细的观察，提出了自己的假设：这些等腰三角形三个边都相等，而且，三个内角都相等，都等于60 度，由此，学生真正地掌握了等腰三角形和等边三角形的特征，并能够在此基础上总结出两种三角形的概念。

第三阶段，从理论上或实践上检验自己的假设。例如，在教学“全等三角形和相似三角形”的时候，在给出两种三角形的定义之后，学生可以总结出全等三角形与相似三角形的证明定理。 为了进一步验证假设是否正确，教师可以引导学生用橡皮泥做成两个三条边都相等的三角形（SSS）、 两个角及它们的中间所夹的边都对应相等的三角形（ASA）、两条边和它们的夹角都相等的三角形（SAS）、两个角和任意一边都对应相等的三角形（AAS）、两个直角边对应相等的三角形（HL）等，以此论证了证明定理的正确性，并排除了三个角都相等的情况（AAA）。 进一步通过按比例来塑造三角形后， 又证实了如果对应线段成比例、对应角相等的五种情况：SSS、ASA、SAS、AAS、HL 也可以证明两个三角形相似。

第四阶段，根据实验获得的一定材料，在仔细评价的基础上得出结论[2]。 例如，在教学“勾股定理”时，学生测量了许多直角三角形， 发现了其中的规律并得出了结论：在直角三角形中， 两个直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。再比如学习对数的时候，学生经过计算、反复的练习，最后得出结论：对数求指数的运算，即当ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x=logaN。

第五阶段，反思与评价。 为了帮助学生提炼所学的知识点，教师要有意地鼓励学生反思问题解决的过程，帮助学生概括和理解新知识[3]。 例如，在教学“直角三角函数”时，在学生通过探究，假设等阶段，得出正切、余切、正弦、余弦等概念，了解特殊角的函数值之后，引导学生回忆：三角函数最初是如何被提出来的？又是通过什么方法来证明的？教师可以指导学生通过绘制表格或思维导图来归纳整理相关的知识。 这样做有利于学生将碎片化的知识系统化，利于学生的记忆和应用。