高中数学函数易错题分析

■河南省许昌高级中学 郭曼曼

函数是高中数学的重点,也是难点。学好函数是学好高中数学的前提,那么如何更好地学习函数知识呢? 对同学们的易错题进行分析是一个有效的途径。本文结合实践,分析同学们在解决函数问题过程中经常出现的错误,归纳了错误类型,并且就每种错误类型给出了相应的例题、错误解法,重点分析了错解原因,最后给出了正确解法。

易错点一、判断函数的奇偶性时忽视定义域而致错

错因分析：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,因此,在判断函数的奇偶性时,一定要先研究函数的定义域。

易错点二、求函数定义域时条件考虑不充分而致错

例2求函数y=+(x+1)0的定义域。

错解：由题意得3-2x-x2＞0,解得-3＜x＜1,所以原函数的定义域为[-3,1]。

错因分析：误以为(x+1)0对任意实数成立。

易错点三、忽视内层函数的值域是外层函数的定义域而致错

例3已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域。

错解：因为f(x)的值域为[2,4],所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,22]。

错因分析：求函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域时,应考虑

正解：因为f(x)的定义域为[1,9],所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3]。设t=log3x,因为x∈[1,3],所以t∈[0,1],由于y=t2+6t+6,t∈[0,1],所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13]。

易错点四、求函数的单调区间时忽视定义域而致错

易错点五、忽略含参函数的分类讨论而致错

例5若函数f(x)=ax2-x+1-a(a∈R)在[0,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是____。

错解：由函数f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是单调函数,则有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。

错因分析：函数的二次项系数含参数a,求解时应根据a是否等于0 分类讨论,错解中忽视对a=0 的讨论。若a=0,则函数为y=-x+1,在R上是单调函数,满足题意。

正解：当a=0 时,函数y=-x+1 在[0,2]上显然是单调函数;当a≠0时,要使函数f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是单调函数,则有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。综上所述,实数a的取值范围为。

易错点六、忽略分段函数的分界点而致错

错因分析：上述错解只考虑到使得每段函数在相应定义域内为增函数的条件,实际上函数在R上为增函数,还需要使得f(x)=(1-2a)x+3a在x≥-1上的最小值不小于f(x)=a-x在x＜-1上的最大值。多数同学由于漏掉这一限制条件而出错。

本文从以上六个方面分析了同学们在解决函数问题过程中出错的原因,那么我们如何做才能避免或者减少出错呢?

(1)重视概念的理解。要深刻领悟概念的内涵和外延,熟悉函数的各种性质,注意函数性质使用的限制条件。

(2)计算时要耐心,更要细心。一些问题需要较大的计算量,不可半途而废,更不可望而却步,要多加练习提升自己的熟练度。还有一些问题的计算量不大但是需要同学们细心,审清题意,不可操之过急。

(3)重视数形结合方法的运用。函数的很多问题可以通过数形结合转化成图像问题,从而化繁为简解决问题。

(4)建立并正确使用错题集。对于错题分类收录,定期复习,找类似题目重做,通过相互交流达到对题目更深刻的理解。

心理学家桑代克说:“学习的过程是一种渐进式尝试错误的过程。”没有错误就不可能有进步,学习数学的过程中,勇于面对数学中的错误,勇于解决数学中的错误,错误就是我们的财富。