借助抽象函数模型，解决函数性质问题

■江苏省常熟市浒浦高级中学 夏朴

抽象函数是一类不给出具体函数解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数模型。抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数图像等集于一身,是考查函数及其相关知识的良好载体,备受各类命题者的青睐。抽象函数问题具有较强的抽象性,问题创设新颖,构思巧妙,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让同学们感觉头痛,无从下手。本文借助抽象函数模型的创设,结合函数的基本性质,打开解题思路,开拓解题思维,对抽象函数问题的解决会起到事半功倍的效果。

一、抽象函数的单调性

在研究抽象函数的单调性中,关键是要依据函数单调性的定义,利用任意变量x1、x2的大小关系,结合题目条件,构建与变量x1、x2相对应的函数值f(x1)与f(x2)的大小关系,得以巧妙确定抽象函数的单调性,并利用函数的单调性来解决一些诸如解不等式、判断大小关系等应用问题。

例1已知定义在R上的函数f(x)满足:

①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;

②当x＞0时,f(x)＞-1。

(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;

(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)＞4。

解析：(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0)+1,可得f(0)=-1。

设∀x1,x2∈R,且x1＞x2,则x1-x2＞0,有f(x1-x2)＞-1。

又因为f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1＞f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数。

(2)由f(1)=1,可得f(2)=3,f(3)=5。

由f(x2+2x)+f(1-x)＞4,可得f(x2+2x)+f(1-x)+1＞5,即f(x2+x+1)＞f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故有x2+x+1＞3,解得x＜-2或x＞1。

故所求不等式的解集为{x|x＜-2或x＞1}。

点评:在涉及抽象函数的单调性的判定与应用中,特别是在解决与抽象函数的单调性有关的不等式求解问题时,可通过脱去函数符号“f”转化为一般的含参数x的不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为相应的函数值。

二、抽象函数的奇偶性

在研究抽象函数的奇偶性时,经常借助题设中的条件,采用赋值法思维,通过特殊值的选取、相互数的选取及整体代数式的选取等方式进行化简与转化,进而构建出f(-x)与f(x)之间的关系,得以巧妙确定抽象函数的奇偶性,并在奇偶性的基础上进行一些相关的综合与应用。

例2已知定义在R上的函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1。

(1)若函数g(x)=f(x)-1,证明:g(x)是奇函数;

(2)若f(1)=2,解不等式f(m2-4m-9)＜4。

解析：(1)令a=b=0,则f(0)=2f(0)-1,可得f(0)=1。

令b=-a,则f(0)=f(a)+f(-a)-1=1,即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0。

因为函数g(x)=f(x)-1,所以g(x)+g(-x)=0,又g(x)的定义域也是R,所以g(x)是奇函数。

(2)设∀x1,x2∈R,且x1＜x2,则x2-x1＞0,有f(x2-x1)＞1。

因为f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,则有f(x1)＜f(x2),所以函数f(x)在R上是单调递增函数。

因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)-1=3,所以f(3)=f(1)+f(2)-1=4,那么不等式f(m2-4m-9)＜4 等价于f(m2-4m-9)＜f(3),则有m2-4m-9＜3,解得-2＜m＜6,故原不等式的解集为{m|-2＜m＜6}。

点评:在解决与抽象函数的奇偶性的判定及相关的应用问题时,赋值法思维是一种常见的思维技巧。其实,涉及抽象函数中特殊函数值的求解,抽象函数中关于x的不等式的求解等问题,往往都离不开赋值法思维及其应用。

三、抽象函数的周期性

在研究抽象函数的周期性中,往往通过含有抽象递推函数的关系式,或赋值法处理,或恒等变形处理,合理借助关系式的特征结构变形,最终得到关系式f(x+T)=f(x)(其中T为正数),进而确定其周期性问题,并在周期性的基础上进行周期的判断、函数值求解及相关的综合应用。

例3已知函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,有f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,则f(1)+f(2)+…+f(90)=( )。

A.-2 B.0 C.2 D.4

解析：由于f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),令x-y=2,即x=y+2,结合f(2)=0,可得f2(y+2)-f2(y)=0,即|f(y+2)|=|f(y)|,可得函数|f(y)|是以2为周期的函数。

由f(2)=0,可得f(2n)=0,n∈N*。

由题意知f(2n+1)f(2n-1)=f2(2n)-f2(1)=-4＜0,且|f(2n+1)|=|f(2n-1)|,可得f(2n+1)=-f(2n-1),所以f(x+2)=-f(x)恒成立,则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),那么函数f(x)是以4为周期的函数。

而f(1)=2,f(2)=0,进而求得f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(2)=0,则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。

所以f(1)+f(2)+…+f(90)=22×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2。

故选择答案:C。

点评:涉及此类比较复杂且有明显规律的函数值之间的连续和、积等问题时,往往离不开抽象函数的周期性的判断与应用。解决问题时,要合理根据题设条件中的关系式,通过赋值法等方法处理,结合函数的基本性质进行逻辑推理与归纳,确定函数的周期,进而进行求值处理。

四、抽象函数的对称性

在研究抽象函数的对称性时,综合抽象函数的奇偶性,可以合理联系起相关函数的对称性。若函数y=f(ax+b)为偶函数,则函数图像关于直线x=b对称;若函数y=f(ax+b)为奇函数,则函数图像关于点(b,0)对称。在解决抽象函数的对称性的判定与应用时,要注意代换法的巧妙应用。

例4已知函数y=f(2x+1)的图像关于直线x=1对称,函数y=f(x+1)的图像关于点(1,0)对称,则下列说法正确的是( )。

A.f(1)=0

B.f(1-x)=f(1+x)

C.f(x)的周期为2

D.f(x)=

解析：因为函数y=f(2x+1)的图像关于直线x=1 对称,所以f[2(1+x)+1]=f[2(1-x)+1],即f(2x+3)=f(3-2x)。

用x代换上式中的2x,可得f(x+3)=f(3-x),所以函数f(x)的图像关于直线x=3对称。

又因为函数y=f(x+1)的图像关于点(1,0)对称,所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以函数f(x)的图像关于点(2,0)对称。

对于f(x+3)=f(3-x),将x+1替换x,可得f(x+4)=f(2-x);

对于f(2+x)+f(2-x)=0,将x+2替换x,可得f(x+4)=-f(-x)。

所以f(2-x)=-f(-x),将-x替换x,可得f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的最小正周期为4,所以选项C,D 错误。

对于选项B,f(x+3)=f(3-x),将x-3替换x,可得f(x)=f(6-x)。

因为函数f(x)的最小正周期为4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),将x+1替换x,可得f(x+1)=f(1-x),故选项B正确。

对于选项A,由f(x+1)=f(1-x),可得直线x=1为对称轴,所以不能确定f(1)=0是否成立,故选项A 错误。

故选择答案:B。

点评:抽象函数的对称性还与函数的图像、导函数的图像与性质之间存在一定的联系:若函数f(x)在定义域上的图像是一条连续不断的曲线,则有:①函数f(x)的图像关于直线x=a对称⇔导函数f'(x)的图像关于点(a,0)对称;②函数f(x)的图像关于点(a,f(a))对称⇔导函数f'(x)的图像关于直线x=a对称。

涉及抽象函数的基本性质问题,关键还是离不开函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性等)的相关定义与应用,综合一些相关的特殊值法、赋值法、化归变换法等,借助合理的逻辑推理及数学运算等来综合与应用,因此,同学们在平时数学学习与复习过程中,要加以重视。