对一道双变量不等式问题的解法的探究

李伊璐　高明

双变量不等式问题较为复杂，此类问题常与函数、不等式、方程、解析几何、平面向量、三角函数等知识相结合.解答此类问题，需仔细研究双变量不等式的结构特征，从不同角度寻找解题的思路.下面以一道题目为例，探讨一下解答双变量不等式问题的思路.

题目：已知不等式[x+y≤k5x+y]对于任意正实数[x，y]都成立，求实数[k]的最小值.

题目中给出的条件较为简单，但[k]随着x、y的变化而变化，要求参数k的最小值难度较大.我们可从已知关系式的结构特征出发，将其进行灵活的变形、代換、转化，将问题与函数、三角函数、向量、解析几何、数列等关联起来，寻找多种不同的解题思路.

一、局部换元法

局部换元法常用于解答含有根式和分式的化简、求值问题.一般地，从题目的已知关系式入手，观察其结构特征，对其进行化简、变形，将某个代数式或式子的一部分用一个新元替换，通过局部换元达到减元，简化代数式的目的，将问题转换为常规的函数、不等式问题，从而达到化繁为简的效果.

将不等式变形为[15?5x5x+y+1?y5x+y]，使其形如“[a?b+c?d]”，并保证了“[b2+d2]”为常数，而不等式中的[x]、[y]都为正实数，这就可以直接运用柯西不等式求[k]的取值范围.

可见，在解答双变量不等式问题时，需仔细研究不等式的结构特征，对其进行合适的变形、代换，如局部代换、三角换元，或根据其特征构造向量关系式、数列等差中项、曲线和直线的方程，通过联系相关知识，找到不同的解题方案.

基金项目：基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例，西华师范大学纵向科研项目，项目编号468020.