一元二次函数、方程和不等式核心考点综合演练

■蒋艳华

一、选择题

1.已知2a+1＜0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是( )。

A.{x|x＜5a或x＞-a}B.{x|x＞5a或x＜-a}C.{x|-a＜x＜5a}D.{x|5a＜x＜-a}

2.已知a＞0,b＞0,若不等式恒成立,则n的最大值为( )。

A.9 B.12 C.16 D.20

3.若两个正实数x,y满足且x+2y＞m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )。

A.(-∞,-2)∪[4,+∞)

B.(-∞,-4)∪[2,+∞)

C.(-2,4)

D.(-4,2)

4.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是( )。

A.不等式ax2+bx+3＞0 的解集可以是{x|x＞3}

B.不等式ax2+bx+3＞0 的解集可以是R

C.不等式ax2+bx+3＞0 的解集可以是{x|-1＜x＜3}

D.不等式ax2+bx+3＞0 的解集可以是∅

5.(多选题)若0＜a＜b,且a+b=1,则在,a2+b2,2ab,a,b中( )。

6.(多选题)若正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是( )。

A.ab有最大值1

D.a2+b2有最大值2

7.(多选题)下列不等式推理不正确的是( )。

A.若x＞y＞z,则|xy|＞|yz|

C.若a＞b,c＞d,则ac＞bd

D.若a2x＞a2y,则x＞y

二、填空题

8.已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当取得最大值时的最大值为_____。

9.当x∈(1,3)时,不等式x2-mx+4＞0恒成立,则实数m的取值范围是_____。10.当x＞1时,不等式恒成立,则实数a的最大值为_____。

三、解答题

11.已知关于x的不等式kx2-2x+6k＜0(k≠0)。

(1)若不等式的解集是{x|x＜-3 或x＞-2},求k的值。

(3)若不等式的解集是R,求k的取值范围。

(4)若不等式的解集是∅,求k的取值范围。

13.设函数f(x)=mx2-(m+1)x+1。

(1)若对任意的x∈R,均有f(x)+m≥0成立,求实数m的取值范围。

(2)若m＞0,解关于x的不等式f(x)＜0。

14.设不等式(x-3a)(x-a-2)＜0的解集为A,B={x|x＜2},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围。

一、选择题

1.提示:方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a。因为2a+1＜0,所以a＜-,所以-a＞5a,所以原不等式的解集为{x|x＜5a或x＞-a}。应选A。

4.提示:在A 中,依题意得a=0,且3b+3=0,解得b=-1,此时不等式为-x+3＞0,解得x＜3,A 错误。在B 中,取a=1,b=2,可得x2+2x+3=(x+1)2+2＞0,解集为R,B正确。在C 中,依题意得a＜0,且这时符合题意,C正确。在D 中,当x=0时,ax2+bx+3=3＞0,可得其解集不为∅,D 错误。应选BC。

7.提示:A 中,如1＞-2＞-3,此时|1×(-2)|＜|(-2)×(-3)|,A 不正确。B中,若＜0,则b＜a＜0,所以b2＞ab,B不正确。C中,如-1＞-2,-3＞-4,此时-1×(-3)＜-2×(-4),C 不正确。D 中,若a2x＞a2y,则a2(x-y)＞0,所以x-y＞0,即x＞y,D 正确。应选ABC。

二、填空题

三、解答题

11.提示:(1)由不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2},可知k＜0,且x=-3 与x=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,所以(-3)+(-2)=,解得k=-。

(2)由f(x)＜0,可得mx2-(m+1)x+1＜0,即(x-1)(mx-1)＜0。

14.提示:不等式(x-3a)(x-a-2)＜0。当3a＞2+a,即a＞1 时,解集A={x|2+a＜x＜3a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB,所以3a≤2,此时1＜

当3a=2+a,即a=1时,解集A=∅,这时AB,符合题意。

当3a＜2+a,即a＜1时,解集A={x|3a＜x＜2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立,所以2+a≤2,此时a≤0。

综上知a的取值范围为