基本不等式———求最值的好方法

■谭 尧

基本不等式是高中数学的重要内容,也是高考的常考点,利用基本不等式求最值问题的常用方法有:正用a+b≥2,逆用,整体代换法,凑系数法,凑项法,分离常数法,平方法等。下面举例分析。

一、正用a+b≥2

例1对任意的m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0恒成立,则实数a的最大值为( )。

评注：正用基本不等式求最值时,要求两个正数的和的最小值,必须这两个正数的积为定值。

例2若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

评注：逆用基本不等式求最值时,必须要求这两个正数的和为定值。

三、整体代换法

例3已知a＞0,b＞0,且4a+b=4,则的最小值为_____。

评注：求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“整体代换法”或“常数1”的代换法,然后构造不等式求最值。

四、凑系数法

例4设,则函数y=x(9-10x)的最大值为____。

评注：本题无法直接运用基本不等式求最值,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求出最大值。

五、凑项法

例5已知的最小值为8,则正数m的值为_____。

六、分离法

七、平方法

评注：将平方,根号下的两数的“和为定值”,为利用基本不等式求最值创造了条件。