含参数不等式问题的处理策略

■杨家旺 杨子敬

■杨家旺 杨子敬

解含参数不等式问题,常常涉及对参数的分类讨论,这是解含参数不等式问题的一个难点。下面就含参数不等式问题的处理策略进行分析。

题型一：能因式分解的一元二次不等式

例1解下列不等式。

(1)x2-ax-12a2＜0(a＜0)。

(1)由x2-ax-12a2＜0(a＜0),可得(x-4a)(x+3a)＜0。由4a＜0＜-3a,解得4a＜x＜-3a,所以不等式x2-ax-12a2＜0(a＜0)的解集为{x|4a＜x＜-3a}。

感悟：一元二次不等式能因式分解时,可借助两根的大小关系,结合二次函数图像,“以形助数”求出对应的解集。

题型二：二次项含参数且能因式分解的一元二次不等式

例2已知关于x的不等式ax2+3x+2＞0(a∈R)。

(1)若ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1},求实数a,b的值。

(2)求关于x的不等式ax2-3x+2＞ax-1的解集。

(1)因为ax2+3x+2＞0的解集为{x|b＜x＜1},所以方程ax2+3x+2=0的两个根为b,1(b＜1)。

(2)由ax2-3x+2＞ax-1,可得ax2-(a+3)x+3＞0,即(ax-3)(x-1)＞0。

当a=0时,不等式为x-1＜0,可得解集为{x|x＜1}。

当a＜0时,不等式为0,可得解集为

感悟：解二次项含参数且能因式分解的一元二次不等式,可对参数进行分类讨论,借助对应的二次函数图像,“以形助数”求出对应的解集。

题型三：二次项含参数且不能因式分解的一元二次不等式

例3解关于x的不等式ax2+2x+1＜0。

二次项含参数且不能分解,因式需进行分类求解。

(1)当a=0时,不等式为2x+1＜0,解得x＜-,可得解集为

(2)当a＞0时,Δ=4-4a,函数f(x)=ax2+2x+1图像的开口向上。

感悟：解二次项含参数且不能因式分解的二次不等式,可对参数进行分类讨论,借助对应的二次函数,“以形助数”求出对应的解集。

题型四：含参数的根式不等式的求解问题

例4不等式的解集是( )。

A.{x|0≤x＜a}

B.{x|0＜x≤a}

C.{x|0≤x≤a}

D.{x|0＜x＜a}

由2x+a＞0,且a2-x2≥0,可得-＜x≤a。

综上可得,不等式的解集是{x|0＜x≤a}。应选B。

感悟：解含参数的根式不等式,在根式有意义的条件下,借助平方化归为含参数的二次不等式求解,要注意求得的解集应与根式有意义的解集求交集。

题型五：含参数的分式不等式的求解问题

例5已知a∈R,解不等式

感悟：含参数的分式不等式求解的关键是分类讨论与等价转化思想的应用。