立足微研究,提高复习效率

王勇

[摘  要] 微研究是提高数学复习效率，提升学生的数学核心素养的重要途径. “微”并非力量薄弱之意，而是指找准某个微小切入点，引导学生深度参与的研究过程. 文章以“多变量”问题的复习教学为例，具体从微专题的选择、微研究行动的演绎与微专题复习的思考三方面展开阐述.

[关键词] 微研究;复习教学;“多变量”问题

传统的复习教学常以知识点作为专题设计主线，将能力点散布在各个问题中，通过一定的反复训练，以培养学生的解题能力. 虽然这种教学方式也能达到复习的任务目标，但对引导学生深刻理解知识的本质与内涵、提升学生的思维能力、实现新旧知识概念内化等效果较差，学生在这种复习教学方式下获得的思维容量明显不足. 因此，传统的复习教学与核心素养背景下的新高考所倡导的“知识选择考，能力必须考”的理念并不契合.

为此，笔者对复习教学进行了大量的实践与研究，其中微研究复习方式取得了不错的成效. 本文以“多变量”问题的复习教学为例，具体从以下几方面谈谈如何立足微研究，提高复习效率.

微专题的選择

“多变量”问题常因多元和换元灵活，对学生的思维要求较高等特点，导致不少学生发自内心地惧怕此类问题. 究竟用怎样的教学手段，才能打破学生沉寂的思维呢？经过大量的实践与分析，笔者研究发现传统的“以知识点为主”的专题复习方式，应用在“多变量”问题上复习的效果较差，学生难以从根本上掌握知识的本质，更谈不上灵活应用.

想要改变这种现状，最好的办法就是将传统的复习方式改变成“以能力点为主”的专题复习方式，通过微研究行动的开展，撬开禁锢学生思维的框架，从多维度发散学生的思维，发展学生思维的灵活性、深刻性等品质.

教师可紧扣某个需要突破的能力点问题，以微专题的形式进行复习设计，把握精准知识与能力的训练，以培养学生数学思维的创造性、发散性以及灵活性等，让学生在微专题复习中获得良好的研究习惯.

选择“多变量”问题作为微研究的范例，目的在于将微研究的价值定位在“一少一小一大”上. “少”主要是指复习目标要少、精准、明确，主攻一个目标;“小”是指选择的课题必须小，通过有效追问的方式挖掘其本质;“大”是指须扩大课堂的视野与思维等. 课堂立足微研究，通过思维宽度、速度与方向进行有效训练，可促进学生全面发展.

微研究行动的演绎

“多变量”微专题整合复习设计主要体现在“温故知新”“释疑拓展”“反馈提升”三个层次上，每一个层次都需要设置精确的功能定位与能级目标，且所有设计都需要紧紧围绕“多变量”问题的解题策略进行. 教师可通过一个个彼此相关联的问题的设计，让学生收获满满.

1. 温故知新

根据教学目标与学生的知识与能力基础，有意识地设计符合学情的问题，让学生在先行思考中尝试解题，以获得一定的成就感，同时让学生在解题中提出一些疑问. 学生所提出的疑问是教学导航，对复习来说具有定向意义. 在课前，笔者给了学生三个需要先行解决的问题，要求学生独立分析，并从不同角度说说解题思路.

问题1 若正实数m，n满足mn+2m+n=4，求m+n的最小值.

问题2 设对于任意的m∈[1，2]，n∈[2，3]，不等式mn≤am2+n2恒成立，求实数a的取值范围.

问题3 若实数m，n满足-n2=1，求3m2-2mn的最小值.

设计意图 三个“双变量”问题的设置，意在让学生初步回顾并理解“多变量”问题，提取此类问题常用解法的信息，为深入复习奠定基础. 课前提出问题，意在让学生主动提供更多的解题方法，并从众多方法中提取一些优化方法.

各小组成员交流自己的解题方法，组内总结解题策略;小组展示解题策略后，由其他小组进行补充，最后由教师进行总结性点评，用时约一刻钟.

学生提出的优化的解题方法主要有以下几种：

第一种，消元减元法. 如问题1，用n来表示m，构造出基本不等式后便可轻松求解.

第二种，换元减元法. 如问题2，通过分离参数，形成a≥-，设t=，从而构造出学生所熟悉的一元二次函数求最值的问题. 这里值得注意的是：求t的取值范围，涉及数形结合思想与线性规划法.

第三种，基本不等式法. 如问题1，将等式mn+2m+n=4转化为（m+1）（2+n）=6，再从基本不等式的角度求最值. 再如问题3，将换元与基本不等式结合在一起进行处理：根据题意可得3m2-2mn=. 当n=0时，则3m2-2mn=12. 当n≠0时，则3m2-2mn=. 令t=，则3m2-2mn==8+12. 令s=6-t，则3m2-2mn=12+≥+12=4+6.

第四种，方程思想. 如问题1，假设m+n=t，则n=t-m，将此式代入mn+2m+n=4后构造新的方程，这里要注意正根的条件，通过根的分布情况求解. 再如问题3，令z=3m2-2mn，则n=，将此式代入-n2=1中，可得8m4-2（3z-2）m2+z2=0，从关于m2的方程有正数解出发，同样能处理该问题.

最终，师生形成共识：解决此类问题的方法颇多，思维含量较高. 减元是解决“多变量”问题的核心. 在解题时，应想方设法将“多变量”问题转化为一元问题进行处理.

2. 释疑拓展

此环节在以上研究的基础上，进一步深化问题的难度，以微研究的方式激活学生的思维，最后由教师点评问题的共性部分，培养学生思维的严谨性，使学生掌握本节课的知识与技能，促进学生数学能力的发展.

问题4 若x，y，z∈R，且x，y，z的和为1，x，y，z的平方和为3，则z的取值范围是多少？

变式题：若x，y，z∈R，且x，y，z的和为1，x，y，z的平方和为3，则xyz的最大值是多少？

问题5 设函数f（x）=ex-ax，已知a≠0，在函数f（x）的图象上取点A（x，f（x）），B（x，f（x）），使得x

設计意图 基于以上研究，将“多变量”问题延伸到“三变量”与“隐性多变量”问题，意在引导学生进一步理解此类问题常规的处理策略与方法，从一定意义上打破学生的思维定式，鼓励学生求新求异，从多维度、多方向、多层次上提升思维的深度.

在此研究环节中，让学生以小组合作交流的方式进行讨论、分析，各小组总结汇报研究成果，教师针对学生呈现的研究成果进行总结、点评，用时约25分钟.

师：请各组说说问题4的解决方法.

组1：我们发现问题4提出的两个条件都可以列为等式，因此我们首先想到了方程思想，即将y=1-x-z代入等式x2+y2+z2=3中，获得方程x2+（z-1）x+z2-z-1=0，利用Δ≥0即可得到问题的答案. 这个解题过程虽然稍显繁杂，但不需要从根的分布情况进行讨论，我们组成员都觉得挺实用的.

组2：你们这种解题方法缺乏含金量，来看看我们组的！

师：哦？这么自信？（学生笑）

组2：遇到求范围的问题，首先想到的是建立不等式. 因此，我们组从基本不等式的角度进行分析. 根据题意可知x2+y2+z2=3，由此可得不等式x2+y2=3-z2≥2xy;再根据x+y+z=1，可知x+y=1-z. 所以x2+2xy+y2=（1-z）2≤2（3-z2），解出不等式即可得到问题的答案.

师：确实不错，这是一种可以应用的解题方法. 其实组1和组2使用的方法的本质是一样的，都是将多元转化为一元后解题. 还有其他解题方法吗？

组3：其实从数形结合的角度也能解决本题，而且比较简单.

师：哦？怎么想到数形结合这个方法的？具体怎么处理呢？我们洗耳恭听. （学生都流露出了期待的目光）

组3：从二元一次方程和二元二次方程的几何特征出发，将x2+y2=3-z2视为一个圆，同时将x+y=1-z视为一条直线，借助直线和圆的位置关系，非常容易就能得到本题的答案.

（学生赞同，并鼓掌）

师：非常好！组3学生从二元等式的几何特征出发，为我们开辟了一条新的解题路径.这种解题策略利用整体思想和数形结合思想能快速解决问题，简便又高效，该解题策略值得大家细细品味并掌握. 既然大家的思维如此活跃，现在请大家继续分组讨论变式题并汇报成果.

生1：以上环节我们已经获得了z的取值范围，这里只要知道关于z的函数式即可解题.

师：非常好！一语中的，继续往下说.

生2：用z表示xyz？（怀疑的语气）

师：具体该怎么做呢？

生1：用z表示xyz（肯定的语气）. 由两个等式可得xyz=z=z3-z2-z，然后用导数求最值.

师：不错！这种解法其实也是将多元问题转化为一元问题，再利用函数的性质求解. 接下来，我们一起来探索问题5，大家依然先小组合作交流，再汇报成果.

师：k==-a，令φ（x）=f′（x）-k=ex-，接下来该怎么转化呢？

生3：接下来考虑将问题转化成证明存在x∈（x，x）使φ（x）=0成立，也就是证明φ（x）=0在区间（x，x）内有解.

师：若要证明φ（x）=0在区间（x，x）内有解，就要观察φ（x）与φ（x）的值，须从φ（x）=-[ex2-x1-（x-x）-1]与φ（x）=-[ex1-x2-（x-x）-1]进行考虑，接下来该怎么处理呢？

生4：接下来就要分析φ（x）与φ（x）的值的大小.

（学生讨论）

师：处理“多变量”问题，常用减元法，减元的目的在于建立一元方程或函数，以简化“多变量”问题的难度.

生5（恍然大悟）：我们可令t=x-x或t=x-x，构造函数F（t）=et-t-1，再用导数判断函数值的大小.

……

师生共同总结：遇到同一函数中存在两个独立变量的问题时，常可通过换元、转化、构造的策略解题. 如问题5，就是先将其条件转化成含有x，x两个独立变量的等式;然后令t=x-x或t=x-x或t=等进行换元;再构造新函数，借助函数的性质解决问题. 值得注意的是：这一类问题在考试中不一定会单独出现，常散布在一些综合题中.

3. 反馈提升

反馈提升是师生共同梳理知识、建构框架的过程. 在此环节中，常在教师的安排下完成课堂检测与评价工作，帮助学生建构完整的知识结构，促进学生的知识技能以及思维能力提升. 这也是学生建模的重要阶段，具有定法的重要意义. 在本节课中，笔者提供了两道练习题，以训练学生的能力，用时约五分钟.

练习题1：若x，y都是正实数，已知+=1，求xy的最小值.

练习题2：已知对于任意实数x>1，y>，不等式P≤+是恒成立的，求实数P的最大值.

拓展题：若xy-z=0，已知0<<，求的最大值.

设计意图 同类型问题不仅用来巩固学生对“多变量”问题的理解，更重要的是帮助学生建构模型，提高学生的思辨能力. 上述两道练习题和一道拓展题，具有由浅入深的梯度性，能帮助学生固化概念，内化学生的解题能力，使学生的思维能力得以螺旋式上升，尤其是拓展题，为学有余力的学生提供了深层次思考的方向.

微专题复习的思考

1. 提升思维品质

核心素养背景下的微研究复习教学关键在于通过小型的专题课堂，培养学生敢于质疑、勇于思考、严谨周密的学习态度与科学精神. 数学是思维的体操，数学思维是凸显数学能力的核心，若缺乏高水平的思维投入，则永远无法了解知识的本质.

微研究可以让学生将零碎、松散或缺乏逻辑性的知识与思维聚集到一起，丰满学生的认知体系，让学生体会在知识间的纵横联系中建模. 微研究复习教学与常规复习教学的区别之处在于微研究更体验“观察、抽象、探索、猜想与论证”的过程，学生的思维在观察与分析中变得更加充实、深刻、灵活.

2. 提升核心素养

从不同角度、不同要求与不同深度去思考数学问题，不仅能提升学生的思维品质，还能有效培养学生的数学推理能力、猜想能力、运算能力与归纳总结能力等. 这些能力都是组成数学核心素养的要素. 因此，微研究复习对提升学生的数学核心素养具有重要价值.

课程设计是提升核心素养的重要载体，是数学文化背景下思维活动的起点. 受教学任务与时间的局限，微研究复习无法追求研究方法的严密性，也不能达到学术研究的精湛与规范，只能在实施要求上下功夫，在教师的指导下进行局部研究，以联系系统内的知识为目标.

3. 暴露知识本质

复习教学的实施建立在深度理解知识的基础上，因此高水平的微研究离不开对知识的深刻理解.微研究的实施，关键在于开放式专题的设计，能让学生充分感知知识本质. 尤其从不同角度对同一本质问题的设置，能让学生感知数学学科独有的魅力，使学生产生良好的情感态度与价值观.

总之，核心素养背景下的微研究，需要教师带领学生用数学的眼光与思维去观察、分析与表达，突破狭隘思维的限制，拓展思维宽度与深度，从真正意义上提升学生的数学思维品质与核心素养.