立足基础,关注思维,促进思考

苏美玲

[摘  要] 一节关于“立体几何折叠问题”的高三二轮复习课，引发研究者探究学生的认知水平、思维状况以及思考能力对数学教学的影响. 研究者以“含两个绝对值的不等式解法”的教学为例，从了解学生实际认识水平、例题教学、教学反思、教学再设计等方面展开分析.

[关键词] 基础;思维;思考;教学

问题的提出

近期，笔者听了一节关于“立体几何折叠问题”的高三二轮复习课，对执教教师的提问方式与学生思考问题的切入点有所思考.

如图1所示，已知四边形ABCD为一个边长为6的菱形，且∠BAD=60°，AC∩BD=O. 将四边形ABCD沿着对角线AC折叠，可得三棱锥B-ACD. 已知点M为棱BC的中点，且DM=3.

（1）求证：OM与平面ABD为平行的关系;

（2）求证：平面ABC与平面MDO为垂直的关系;

（3）三棱锥M-ABD的体积是多少？

解题前，教师要求学生结合图1，先完成以下课前测试内容：

（1）在菱形ABCD中，∠AOB，∠AOD的度数分别是多少？DB=______，AC=______，MO=______.

（2）在三棱锥B-ACD中，∠AOB，∠AOD，∠DOM的度数分别是多少？DO=______，MO=______.

（3）分别写一写线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理.

（4）分别写一写锥体体积、柱体体积的计算公式，并说一说求体积的经验.

大约过了八分钟，教师与学生核对课前测试内容的答案，而后要求学生自主解决例题. 巡视发现大部分学生能顺利解决问题（1），但解决问题（2）时出现了卡顿现象. 于是教师提醒如下：我们要关注将菱形折叠成三棱锥后，哪些条件发生了改变，哪些条件没有发生改变，本题中的棱形的折叠程度完全取决于DM的长度. 提醒完毕后，教师要求学生独立思考并着手解题. 十分钟过去后，有部分学生仍然找不到解题方法，教师迫于无奈，只能将解题过程从头至尾讲解一遍.

针对以上教学片段，笔者分析其存在以下几个问题：

（1）课前测试应用不当.

虽然课前测试具有了解学情与复习旧知的作用，但本节课为二轮复习课，基础知识已经在一轮复习中强化过，学生在基础知识的掌握上基本没有问题，因此课前测试无疑占用了课堂宝贵的时间. 同时，教师对课前测试的处理方式为直接核对答案，这种处理方式也无法了解到真实的学情.

（2）教学主题选择不当.

课堂从始至终都是围绕一道综合程度较高的例题进行分析的，完全没有凸显出二轮复习应有的功能，整个过程都是在教师的提问下推进的，根本无法看出學生的真实状况，更达不到触类旁通的教学效果.

（3）预设没有结合实际.

虽然教师在课前测试中设计了求∠DOM度数的问题，意在激活学生解决问题（2）的思维，而在实际解题中却没有达到预设效果. 此处，教师可让一位学生描述一下自己的观点，分享其经验与困惑，让学生通过交流，明白折叠的本质为：①折叠后依然在一个平面上的各元素间的位置与度量关系都不会发生改变;②折叠到什么样的一个程度，都是由DM的长度决定的，因此可联想到垂直关系，再通过勾股定理的逆定理解决问题.

综上分析，这位教师并不了解学生的实际认知水平，所提出的问题也参差不齐，完全没有顾及学生的思维发展规律，导致学生难以理解知识的本质. 该如何改变这个现状呢？

章建跃教授提出的“三个理解”理念，其中一点就是要“理解学生”，要充分了解学生的认知与情感发展规律，用适合学生的教学方式因材施教，以提升学生的数学综合素养[1]. 在践行“三个理解”的过程中，笔者做了不少尝试，现用一个案例进行说明.

案例分析

1. 了解学生的实际认知水平

本节课研究的主题为“含两个绝对值的不等式解法”. 教学重点是解决“x-a+x-b≥c”型不等式问题.

为了了解学生的实际认知水平，笔者要求学生各自举一个包含一个绝对值的不等式的例子，并说明解法. 预设学生提出以下五种解法：①直接用绝对值不等式的公式解题;②用绝对值的几何意义解题;③通过平方变形解题;④用分类讨论法解题;⑤用函数图象解题.

学生举出了大量例子，笔者选择其中的“x-6>3”作为例题，要求每一个学生用自己的方法求解. 学生共出了四种解法，以下两种解法具有典型意义：

【解法1】

如图2所示，学生在草稿纸上先画一条数轴，然后在相应的位置标上实数±3所对应的点，同时将“x-6”视为整体. 根据x-6>3可知，点“x-6”位于-3与3的两侧，从而可得“x-6”的取值范围，经化简，可得x的取值范围.

学生的解题思维与笔者的预设有所出入. 观察学生的思维过程，他们用“换元法”将不等式x-6>3转化为y>3，根据y>a（a>0）的解法解题，最终获得正确答案. 虽然答案是正确的，但这种解题思路对“含两个绝对值的不等式”问题的研究并没有什么帮助.

学生虽然知道a的几何意义，但对a-b的几何意义却不了解（a-b的几何意义是数轴上点a，b之间的距离），这将导致后续学习不稳定. 鉴于此，笔者根据学生的实际认知水平，及时调整教学方案，利用问题引导的方式，强化学生对a-b的几何意义的认识.

师：谁来说说x的几何意义？

生1：x是指点x与原点之间的距离.

师：很好，原点对应的数为0，如何用含x与0的式子来表达这个距离呢？

生2：可以用式子x-0来表达x.

师：也就是说x是x-0的简化，对吗？

（学生点头）

师：请大家思考a-b具有怎样的几何意义，并动手解x-6>3这个不等式.

学生解题，笔者巡视，并点拨如下：遇到不等式问题时，常从相等着手去分析，如本题就可以先在数轴上找出方程x-6=3的根3与9，这两个数将数轴分成了三部分，我们可以将x分别安排到这三部分中进行检验（如图3所示）. 在笔者的点拨下，学生很快就得到了答案：x<3或x>9.

【解法2】

生3：因为x-6>3，所以-x+6>3或x-6>3，可得x<3或x>9. （投影）

这位学生的解题书写具有一定的代表性，从中可以看出学生对分类讨论的表达过程并不了解，这是亟须解决的实际问题. 因此，笔者要求该生将自己的想法全部表达出来.

生3：当x-6<0时，x-6=6-x>3;当x-6>0时，x-6=x-6>3. 然后化简可得问题的答案.

师：大家说说这位同学的解题思路与书写格式对吗？请以小组合作学习的方式来探讨这个问题. 若觉得生3的解题书写完整正确，请说明每一步的理由;若认为生3的解题书写不规范，请展示规范正确的书写.

（学生合作交流）

各组学生经过激励讨论，逐渐认识到了分类讨论的规范步骤.

投影生4的解题过程：因为x-6>3，所以x-6<-3或x-6>3，所以x<3或x>9.

师：比较生3与生4的解题书写，大家能看出他们的区别吗？

设计意图 让学生从答案一样的两种方法中感知解题思维的不同，显然，生4的解题书写应用到了公式“x>a（a>0）?x<-a或x>a”.

在学生顺利完成以上问题探索的基础上，笔者组织学生反思：此题究竟该如何分类？为什么要通过分类讨论来解题？

以上教学过程从本质上来说，即带领学生“再认识”绝对值不等式，其关键点在于引导学生自主获得x的几何意义，从而正确理解绝对值不等式的解集.

2. 例题教学

通过对学生认知水平的了解，在及时补救所发现的缺陷后，进入新的探索阶段——解不等式x-1+x+2≥5.

师：解这个不等式时，还能用含一个绝对值的不等式的解法吗？若可以，应注意哪些问题？

虽然笔者有所提醒，但学生并没有按照预设解题，不少学生呈现出了以下解题方法：因为x-1+x+2≥5，所以x-1+x+2≥5. 所以2x+1≥5. 所以2x+1≤-5或2x+1≥5. 所以x≤-3或x≥2.

显然，第一个“所以”就错了. 为了让学生发现自己的问题，并解决问题，笔者将这种解题方法投影出来，要求学生说说这样解题的理由.

生5：解题时，我将“x-1”理解为x，将“x+2”理解为y，不等式x-1+x+2≥5就转化为x+y≥5. 若将不等式左侧的两个绝对值转化为一个绝对值，解题就没有问题了. 因此，我就想利用绝对值三角不等式x+y≥x+y来转化x+y≥5，可得x+y≥5，即x-1+x+2≥5.

笔者要求学生以分组合作的方式讨论生5这部分学生的解题过程. 在讨论中，一些学生发现问题的根源在于：5和x+y均小于x+y，因此5与x+y不可比大小.

师：那在什么情况下，这种推理方式可行呢？

生6：若绝对值不等式x+y≥x+y恒取等号，则这种推理方式具有可行性. 但对任意实数x，y，绝对值不等式x+y≥x+y不可能恒取等号，所以这种推理方式不可行.

至此，本题教学接近尾声，随着笔者循循善诱的引导与点拨，学生的思维有种豁然开朗之感，并在掌握解题技巧的基础上逐渐获得了一定的思考能力.

3. 教学反思

本节课看似完美，但细细琢磨，笔者发现教学过程中还是有些瑕疵. 鉴于此，笔者反思如下：

（1）在复习的基础上，为什么学生仍然没有想到用绝对值的几何意义解题呢？

经访谈发现，由于学生刚刚接触绝对值三角不等式，因此优先选择刚学过的知识解题，这是典型的思维定式. 从这一点也能看出，学生对绝对值三角不等式的理解尚不深刻，对其应用把握还不准确. 这也是课堂开始阶段，了解学生认知水平时应该解决的问题之一.

（2）为什么学生用不严谨的解法也能获得正确答案？

学生的解题方法显然存在一些问题，但为什么还能获得正确答案呢？是偶然还是必然？如果能探索出在什么情况下用这种方法解题是正确的，在什么情况下用这种方法解题是不可行的，那就是一个新的突破. 教学本就是不断发现、提出与解决问题的过程，若组织学生对这个问题继续探讨与辨析，则更利于激发学生的学习热情，帮助学生积累学习经验.

4. 教学再设计

（1）从“数”的角度进行分析.

①当（x-1）（x+2）≥0时，即当x≤-2或x≥1时，x-1+x+2=（x-1）+（x+2）=2x+1. 此時，x-1+x+2≥5，也就是2x+1≥5，则2x+1≤-5或2x+1≥5. 解得x≤-3或x≥2. 结合x≤-2或x≥1，可得x≤-3或x≥2.

②当（x-1）（x+2）<0时，即当-2

结合①②易得x-1+x+2≥5的解集为{x

x≤-3或x≥2}.

（2）从“形”的角度进行分析.

从绝对值不等式的几何意义来看，不等式x-1+x+2≥5的解集，实际上就是数轴上到点1和-2的距离之和大于等于5的点的集合.

如图4所示，通过数轴不难发现，在-32时，x-1+x+2>5;在x=2或-3时，x-1+x+2=5. 由此可得不等式x-1+x+2≥5的解集为{xx≤-3或x≥2}.

继续观察发现，区间[-2，1]的长度是3，区间[-3，2]的长度是5，两个区间的中点均为-. 从对称性来看，可知2x+1≥5与x-1+x+2≥5的解集相同，且只要c>（x-1）-（x+2）=3，不等式x-1+x+2≥c与（x-1）+（x+2）≥c的解集就是相同的.

如果将x-1+x+2≥5中的5换成小于3的数，如2，那么该如何解决不等式x-1+x+2≥2呢？對于任意x∈[-2，1]，均有x-1+x+2=3>2，当x>1或x<-2时，x-1+x+2>3，因此可以确定x-1+x+2≥2的解集是R.

将以上情况推广到一般，可获得不等式x-a+x-b≥c（c>0）的新解法：

①当（x-a）-（x-b）=a-b≥c（c>0）时，不等式x-a+x-b≥c（c>0）的解集是实数集.

②当（x-a）-（x-b）=a-b0）时，不等式x-a+x-b≥c（c>0）与（x-a）+（x-b）≥c（c>0）的解集相同，为x x≥或x≤.

同理可知，对于不等式x-a+x-b≤c（c>0）而言：

①当（x-a）-（x-b）=a-b>c（c>0）时，不等式x-a+x-b≤c（c>0）的解集是空集.

②当（x-a）-（x-b）=a-b≤c（c>0）时，不等式x-a+x-b≤c（c>0）与（x-a）+（x-b）≤c（c>0）的解集相同，为x≤x≤.

若在教学中与学生进行以上解法的探讨，则学生的思维会经历“被否定（解法不对，但结果对）—追根溯源—解释”的过程，从而积累思考与思辨经验，为后续解题奠定基础.

总之，思考能力的形成与发展，离不开学习经验的积累，而学习经验的获得可借鉴他人，更多的是自身的感悟[2]. 教师应利用各种教学手段充分了解学生的认知水平，顺应学生的思维去教学，激发学生的思考能力，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

[1] 曹才翰，章建跃. 数学教育心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2006.

[2] 马复. 设计合理的数学教学[M]. 北京：高等教育出版社，2003.