浅探圆锥摆问题

■华中科技大学附属中学 许 文

如图1所示,将不可伸长的轻绳一端固定,另一端系一个小球,让小球获得某一速度后,小球在水平面内做匀速圆周运动,在运动过程中轻绳扫过的形状为一圆锥,则这个运动称为圆锥摆运动。在生活中有很多类似圆锥摆的运动,以圆锥摆为背景的物理试题在近几年的高考试卷中频繁出现。分析圆锥摆的运动特点,探究圆锥摆的运动条件,研究圆锥摆的临界状态与极值问题,将有助于我们更好地将圆锥摆的运动规律应用到实际问题的求解中。

图1

一、基本模型

设绳长为l,小球质量为m,小球做匀速圆周运动的角速度为ω,小球运动过程中轻绳与竖直方向间的夹角为θ,则小球做圆周运动的水平面与轻绳悬点间的距离(圆锥的高度)h=lcosθ。

1.运动分析。

做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动。

2.受力分析。

(1)受力特点:小球受到竖直向下的重力mg、沿绳向上的拉力T,如图2所示。在竖直方向上,合力为零,有Tcosθ=mg;在水平方向上,向心力Fn由重力mg与拉力T的合力(拉力T的水平分力)提供。

图2

(2)大小关系:向心力大小Fn=Tsinθ=mgtanθ=mω2lsinθ,轻绳的拉力大小。

3.周期分析。

(2)特点:圆锥摆的周期T由圆锥的高度h与重力加速度g决定。

例1如图3 所示,儿童玩具拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳,细绳一端系着小球,另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上。现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动,两小球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动。两球的位置关系可能正确的是(图4 中细绳与竖直方向间的夹角α＜θ＜β)( )。

图3

解析：手柄匀速转动,稳定后两小球均做周期为T的圆锥摆运动。设鼓的半径为r,绳长为l,细绳与竖直方向间的夹角为θ,则绳长的竖直分量h=lcosθ;由小球的重力与细绳拉力的合力提供向心力,则mgtanθ=,变形得因此当转动周期T相同时,若细绳与竖直方向间的夹角θ越大,则绳长的竖直分量h越大。由α＜θ＜β可知,只有选项C正确。

答案：C

点评:鼓随手柄匀速转动,用轻绳系于鼓沿上的两小球稳定时做与手柄转动周期相同的圆锥摆运动。小球在水平面内做圆周运动的轨迹半径为r+lsinθ。上述求解过程是基于小球做圆锥摆运动由重力和拉力的合力提供向心力得到关于T、θ及h的函数关系而得出的。若充分利用圆锥摆的周期由圆锥的高度与重力加速度决定这一特点,结合题给条件α＜θ＜β,画出如图5 所示的小球做圆锥摆运动的圆锥高度H,借助几何图形进行分析判断,则很容易选出正确答案为C。

图5

二、拓展模型

生产生活中有很多运动的受力特点与运动性质与圆锥摆类似,我们把这类运动均称为类圆锥摆运动。生产生活中常见的类圆锥摆运动(弹力N相当于圆锥摆基本模型中的绳子拉力T)有:

1.小球沿光滑漏斗内壁在水平面内做匀速圆周运动,受力情况如图6甲所示。

图6

2.套在光滑细杆上的小环随杆在水平面内做匀速圆周运动,受力情况如图6乙所示。

3.固定在弹性细杆一端的小球随杆在水平面内做匀速圆周运动,受力情况如图6 丙所示。

4.小球穿在光滑竖直圆环上随圆环在水平面内做匀速圆周运动,受力情况如图7 甲所示。

图7

5.火车在内低外高的圆弧弯道路面上转弯时内外轨均无侧向挤压,或汽车不受径向摩擦力,在水平面内做匀速圆周运动,受力情况如图7乙所示。

6.滑冰女运动员在男运动员的拉力作用下在水平面内做匀速圆周运动(女运动员恰好离开水平冰面),受力情况如图7丙所示。

例2某同学在乘坐列车的过程中研究列车的运动情况。他在车厢顶部用细线悬挂一个小熊玩具,当列车以恒定速率通过一段弯道时,发现悬挂小熊玩具的细线与车厢侧壁平行,如图8所示。下列判断正确的是( )。

图8

A.细线对玩具的拉力大小等于玩具的重力大小

B.外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用

C.内侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用

D.如果知道转弯处内、外轨道所在斜面的倾角,就可以求出列车转弯时的速率

解析：设列车转弯时内、外轨道所在斜面的倾角为θ,玩具的质量为m。悬挂玩具的细线与车厢侧壁平行,即细线垂直于内、外轨道所在的斜面,因此细线与竖直方向间的夹角为θ,玩具在竖直方向上受到的合力为零,则Tcosθ=mg,解 得,选项A 错误。玩具随列车一起在水平面内做匀速圆周运动,根据细线的拉力T与玩具的重力mg的合力提供向心力得mgtanθ=man,解得列车转弯时的向心加速度大小an=gtanθ。根据牛顿第二定律可知,车厢的重力与轨道的支持力的合力产生的加速度大小为gtanθ,故列车在转弯时的运动相当于圆锥摆运动,这时列车的内、外轨道与轮缘间均没有侧向挤压作用,选项B、C 正确。由得,在倾角θ与转弯处的圆弧半径r均已知的情况下,可以求出列车转弯时的速率v,选项D 错误。

答案：BC

点评:小熊玩具随列车一起做圆周运动,它们的向心加速度大小相同;根据小熊玩具的受力情况推知向心加速度的大小,根据列车的向心加速度大小推知列车此时做类圆锥摆运动,从而可判断列车的受力情况。

三、临界问题

临界状态是变化的物理量取某种特征值所表现出来的一种特殊状态。当圆锥摆摆线长度一定时,其运动的角速度存在一个最小值;当圆锥摆运动的角速度一定时,圆锥摆的摆长也存在一个最小值。圆锥摆问题常见的临界状态如表1所示。

表1

例3如图9所示,两根轻绳AC、BC同系一质量m=0.1 kg的小球,两轻绳的另一端分别固定在竖直细杆上的A、B两点,轻绳AC的长度L=2 m,当两轻绳均拉直时,两轻绳与细杆间的夹角分别为α=30°和β=45°,取重力加速度g=10 m/s2。当小球随杆一起以角速度ω=4 rad/s转动时,两轻绳对小球的拉力大小各为多少?

图9

解析：小球在重力与轻绳拉力的作用下随杆一起转动时,小球做圆锥摆运动。当两轻绳分别恰好拉直时对应着小球做圆锥摆运动的两个临界状态。

若转动角速度为ω1时轻绳BC恰好拉直,则此时轻绳AC对小球的拉力FA与小球重力mg的合力提供小球做圆周运动所需的向心力,有,解得ω1=2.4 rad/s。

若转动角速度为ω2时轻绳AC恰好拉直,则此时轻绳BC对小球的拉力FB与小球重力mg的合力提供小球做圆周运动所需的向心力,有,解得ω2=3.15 rad/s。

因此当2.4 rad/s≤ω≤3.15 rad/s时,AC、BC两轻绳均处于绷紧状态。因为ω=4 rad/s＞ω2,所以此时轻 绳AC松 弛,即FA=0。根据受力分析得FBcosβ=mg,FBsinβ=mω2r,根据几何关系得r=LBCsinβ=Lsinα,解得FB=2.26 N。

点评:小球做圆锥摆运动的角速度ω≤ω1时轻绳BC松弛,ω≥ω2时轻绳AC松弛。先通过对小球临界状态的分析得出两个临界角速度,再将题给角速度与临界角速度相比较,即可确定小球的运动状态,从而可求出两轻绳对小球的拉力。

跟踪训练

1.智能呼啦圈轻便美观,深受大众喜爱。智能呼啦圈的腰带外侧带有轨道,将带有滑轮的短杆穿入轨道,短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳,其简化模型如图10 所示。可视为质点的配重质量为0.5 kg,绳长为0.5 m,悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m,水平固定好腰带,通过人体微小扭动,使配重随短杆在水平面内做匀速圆周运动,轻绳与竖直方向间的夹角为θ,运动过程中腰带可视为保持不动,取重力加速度g=10 m/s2,下列说法中正确的是( )。

图10

A.匀速转动时,配重受到的合力恒定

B.若增大转速,腰带受到的合力变大

C.当θ稳定在37°时,配重的角速度为5 rad/s

D.保持转速不变,将配重的质量更换为1 kg时,则θ不变

2.双人花样滑冰比赛是一项极具观赏性的项目。比赛中,女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动,如图11 所示。通过目测估计男运动员的手臂与水平冰面间的夹角约为45°,女运动员与其身上装备的总质量约为45 kg,取重力加速度g=10 m/s2。仅 根据以上信息,可估算( )。

图11

A.女运动员的向心加速度约为10 m/s2

B.女运动员的角速度约为6.28 rad/s

C.男运动员对女运动员的拉力约为450 N

D.男运动员对冰面的压力约为450 N

3.如图12 所示,一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球,另一端固定在竖直杆上,当竖直杆以角速度ω转动时,小球随杆一起做匀速圆周运动,此时轻绳与竖直方向间的夹角为θ。则图13中关于ω与θ关系的图像可能正确的是( )。

图12

图13

4.如图14所示,一根细线一端系一小球,另一端固定在一光滑圆锥顶端。小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,细线的张力为T,则T随ω2变化的图像是图15中的( )。

图14

图15

参考答案：1.D 2.A 3.D 4.C