应用摩擦角,巧解动力学问题

■江西省上饶市铅山县第一中学 陈志锋(正高级教师)

虽然摩擦角不是高中物理教材中的知识内容,但是利用摩擦角结合图解法常常可以简便求解一些涉及变力作用的动力学问题。下面就先介绍摩擦角的有关知识,再分别用解析法和摩擦角结合图解法求解两道动力学问题,展示应用摩擦角结合图解法解题的优越性,希望对同学们的复习备考有所帮助!

一、摩擦角的有关知识

若物体受到滑动摩擦力,则必然会受到支持力,将物体受到的支持力N和滑动摩擦力f合成为F,如图1所示,则。若接触面不变,则动摩擦因数μ不变,支持力N与合力F间的夹角α就是确定的,α角就叫摩擦角。物体受到的滑动摩擦力f与支持力N总是成对出现的,N与f也会成比例地增大或减小,它们的合力F的方向始终保持不变。引入摩擦角后,可以将支持力N与滑动摩擦力f合成为一个力,这样在物体的受力分析中就可以减少一个力,从而实现将复杂的问题简单化。

图1

二、应用摩擦角,求解实际问题

例1一木箱放置在水平地面上,已知木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动。设拉力F与水平面间的夹角为θ,如图2所示。在θ从0 逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则下列判断中正确的是( )。

图2

A.F逐渐增大

B.F先减小后增大

C.F的功率逐渐减小

D.木箱受到的滑动摩擦力先减小后增大

解法一：(解析法)因为木箱的速度保持不变,所以木箱始终处于平衡状态。对木箱进行受力分析,如图3所示,根据平衡条件得mg=N+Fsin

图3

θ,f=Fcosθ,又有f=μN,解得,在θ从0逐渐增大到90°的过程中,sin(β+θ)先增大后减小,拉力F先减小后增大,选项A错误,B正确。力F的功率,在θ从0 逐渐增大到90°的过程中,tanθ逐渐增大,则P逐渐减小,选项C 正确。木箱受到的滑动摩擦力,在θ从0逐渐增大到90°的过程中,tanθ逐渐增大,则f逐渐减小,选项D 错误。

解法二：(摩擦角结合图解法)因为0＜μ＜1,所以摩擦角α＜45°。木箱受到重力mg,支持力N,拉力F,滑动摩擦力f四个力作用,应用摩擦角有关知识,将滑动摩擦力f与支持力N合成为F',把四力平衡问题转化为三力平衡问题,作出力的矢量三角形,如图4 所示。观察变化的力的矢量三角形可得,在θ从0 逐渐增大到90°的过程中,α不变,拉力F先减小后增大,F'逐渐减小,f=F'sinα逐渐减小,选项A、D 错误,B正确。木箱的速度v不变,重力与支持力的功率都为0,因此拉力F的功率P拉=P摩=fv逐渐减小,选项C正确。

图4

答案：BC

点评:解法一是高中物理常用的解题方法之一,考查的知识内容涉及受力分析、力的合成与分解、数学计算能力等,考查的思维能力对应科学思维能力水平3——在熟悉的问题情境中根据需要选用恰当的模型解决简单的物理问题;能对常见的物理现象进行分析和推理,获得结论并作出解释。解法一对考生的科学思维能力和数学运算能力的要求都比较高,且计算过程比较复杂,需要耗费较多的时间。解法二的考查对象是摩擦角知识的具体应用,考查的思维能力对应科学思维能力水平5——能将较复杂的实际问题中的对象和过程转换成物理模型;能在新的情境中对综合性物理问题进行分析和推理,获得正确结论并作出解释;能从多个视角审视检验结论,解决物理问题具有一定的新颖性。解法二引入摩擦角,将支持力和滑动摩擦力合成为一个方向不变的力,减少了力的个数,实现了复杂问题的简单化。

例 2如图5 所示,两平行导轨放置在同一水平面内,一导体棒垂直放在导轨上,导体棒与导轨间的动摩擦因数恒定,整个装置置于匀强磁场中,磁感应强度大小恒定,方向与导体棒垂直、与水平向右方向间的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动,现给导体棒通以图示方向的恒定电流,适当调整磁场方向,可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时,加速度的最大值为;导体棒减速时,加速度的最大值为。g为重力加速度大小。下列说法中正确的是( )。

图5

C.导体棒加速时,若加速度大小取最大值,则磁场方向斜向下,且θ=60°

D.导体棒减速时,若加速度大小取最大值,则磁场方向斜向上,且θ=150°

解法一：(解析法)设当磁场方向与水平方向间的夹角为θ1(θ1＜90°)时,导体棒做匀加速运动且加速度取最大值,此时导体棒受到的合力向右,且为最大值。根据左手定则和受力分析可知,安培力应该斜向右上方,磁场方向斜向右下方,则,令,又有,根据数学知识得,解得。

设当磁场方向与水平方向间的夹角为θ2(θ2＜90°)时,导体棒做匀减速运动且加速度取最大值,此时导体棒受到的合力向左,且为最大值。根据左手定则和受力分析可知,安培力应该斜向左下方,磁场方向斜向左上方,则Fsinθ2+μ(mg+Fcosθ2)=ma2,令,又有,根据数学知识得,解得。

当导体棒做匀加速运动或匀减速运动的加速度分别取最大值时,上述不等式均取等号,解得,代 入得,即α=30°,此时θ1=θ2=60°。

因此导体棒加速时,若加速度大小取最大值,则磁场方向斜向右下方,且θ=θ1=60°;导体棒减速时,若加速度大小取最大值,则磁场方向斜向左上方,且θ=π-θ2=120°。

解法二：(摩擦角结合图解法)导体棒向右以最大加速度做匀减速运动时,对导体棒进行受力分析,如图6所示,将导体棒受到的支持力N1与滑动摩擦力f1合成为F1,摩擦角为α,F1的方向不变;重力mg的大小和方向一定;安培力F安1的大小已知,方向待定;导体棒受到的合力大小为3mg,方向水平向左。根据矢量合成的多边形法则,可以画出如图7所示的矢量多边形。

图6

图7

导体棒向右以最大加速度做匀加速运动时,对导体棒进行受力分析,如图8 所示,同理可以画出如图9所示的矢量多边形。

图8

图9

将图7、图9合在一幅图中,将重力边重合,以重力矢量末端为圆心,以重力矢量长度为半径,做辅助圆,得到如图10 所示的矢量图。导体棒做匀加速运动或匀减速运动加速度要达到最大,则需F1与F2作用线与辅助圆相切。

导体棒向右以最大加速度做匀加速运动时,磁场方向应该斜向右下方,设磁场方向与水平向右方向间的夹角为θ2,安培力F安2方向与重力mg方向间的夹角也为θ,根据几何关系得,即θ2=60°;同理可得,导体棒向右以最大加速度做匀减速运动时,磁场方向应该斜向左上方,磁场方向与水平向右方向间的夹角θ1=120°。安培力F安2方向与水平向右方向间的夹角等于摩擦角α,则α=90°-θ2=30°,导体棒与导轨间的动摩擦因数。

答案：BC

点评:对比求解本题的两种方法可以发现,解法一的计算量很大,而解法二的计算量要少得多。解法二引入摩擦角,结合几何图形不仅可以快速、准确地选出正确答案,而且还可以得到等关系式。

总之,利用摩擦角既可以求解物体处于平衡状态时的受力分析问题,也可以求解物体具有加速度时的受力分析问题,还可以应用在涉及斜面模型的动力学问题中。学有余力的同学若能熟练掌握摩擦角这一课外知识的应用方法,则可以拓宽解题思路,提高创造性和发散性思维能力,促进物理学科核心素养的养成。