量子纠缠光纤陀螺的态演变和偏振互易性分析

张桂才，冯 菁，马 林，杨 晔,2

（1.天津航海仪器研究所，天津 300131；2.中国船舶航海保障技术实验室，天津 300131）

随着人类在量子力学或量子光学基础研究方面的突破和相关实验技术的进步，人们操控量子态的能力得到显著提升，已经可以开展基于量子态的信息测量、处理和通信[1]等种种技术探索。其中，量子精密测量是根据量子力学规律，利用传感过程的量子效应对一些重要物理量进行高精度观测和辨识。理论和实验研究表明，应用量子技术，对时间（时钟）[2]、频率、加速度、电磁场、重力场[3]、引力波[4]等物理量的测量能够达到前所未有的精度。目前，原子钟、原子磁力仪、原子重力仪[5]等量子传感器的研究已取得丰硕成果，在科学研究、国防建设中开始发挥重要应用。量子精密测量技术的发展也给惯性技术升级带来契机，冷原子干涉陀螺仪、核磁共振陀螺仪[6]等新概念和新机理的量子惯性技术已成为惯性导航领域的重要研究方向。

量子纠缠光纤陀螺仪基于非经典量子态光子之间的内在纠缠特性，实现对载体角运动引起的Sagnac 相移进行超高灵敏度测量，在精密测量、定位和导航领域具有突出的战略需求和重要应用。当前，国际上量子纠缠光纤陀螺仪的相关研究虽然有限，但已经引起各国科技人员的关注[7][9]。

奥地利科学院和维也纳量子科学与技术中心的Fink 团队[10]2019 年首次采用共线II 型频率简并自发参量向下转换（Spontaneous Parameter Down Conversion,SPDC）过程产生的正交偏振纠缠光子对作为光子源，构建偏振纠缠光纤陀螺仪，使Sagnac 相移的测量突破了散粒噪声极限。尽管该实验方案理论上仅比具有相同光子数输入的传统光纤陀螺精度高出倍，在大光子数情况下远未达到海森堡极限，但仍被认为是向Sagnac 干涉仪的终极性能迈出了重要一步，对量子纠缠光纤陀螺这一前沿技术的探索具有里程碑意义。

感生双折射是指在实际光纤中，由于存在着环境扰动，使光纤产生新的各向异性，造成单模光纤中光偏振态的不稳定。尽管感生双折射的绝对值很小，但其效应会沿光纤产生累积。双折射效应通常还与温度等环境变化有关，是不可预测的。这种积累的感生双折射理论上会对不同偏振的顺时钟和逆时针光波之间的Sagnac 相移产生非互易的相位误差。

本文首先介绍非经典光量子态偏振纠缠光子源的制备，然后针对Fink 的光路结构，通过理论分析光量子态及算符的动力学演变过程，阐述了偏振纠缠光纤陀螺的工作原理，推导了该结构中光纤线圈感生双折射引起的偏振非互易性误差。在此基础上，提出了一种具有偏振互易性的量子纠缠光纤陀螺仪光路设计。

1 偏振纠缠光子源的制备

偏振纠缠光子源一般通过非线性光学效应制备，比如SPDC（二阶非线性效应）和四波混频（三阶非线性效应）等过程[11]。这里主要讨论SPDC 过程，可以利用量子力学中光和物质相互作用的哈密顿算符来描述这个过程。

典型的SPDC 过程是，向非线性介质发射泵浦光束，在满足特定相位匹配条件下，非线性光学相互作用导致一个高频泵浦光子湮灭的同时，生成一个较低频率的呈现纠缠态的信号-闲置光子对。如果信号光子和闲置光子的偏振方向相同，称为I 类SPDC 过程；如果偏振方向正交，称为II 类SPDC 过程。为简单起见，可以假定晶体所取的方向使这两个线偏振光子恰沿水平和垂直方向。无论是I 型SPDC 还是II 型SPDC过程，都仅能产生成对的光子。成对光子产生的概率依赖于二阶非线性极化率、泵浦光场振幅和晶体长度等参数。考虑常用的频率简并情形，对于低参量增益I 型SPDC 过程来说，共线产生光子数态，非共线产生光子数态；对于高参量增益I 型SPDC 过程来说，共线产生单模压缩态，非共线产生双模压缩态。对于II 型SPDC 过程来说，低参量增益产生共线或非共线的正交偏振纠缠光子对，而高参量增益将导致偏振压缩。

1.1 共线Ⅱ型自发参量向下转换

共线Ⅱ型频率简并SPDC 过程的哈密顿算符取下列形式：

式(1)中：Γ 是一个耦合参数，为复数，与晶体长度、二阶非线性极化率χ（2）和泵浦光束的场振幅等有关。假定信号光子和闲置光子的偏振态分别是水平（H）和垂直（V）线偏振，两个光子的其它参数如波长和波矢方向相同，则分别为水平偏振光子的湮灭算符和产生算符分别为垂直偏振光子的湮灭算符和产生算符。

假定信号模式和闲置模式的初始态均为真空态，对于频率简并共线Ⅱ型SPDC，二阶非线性晶体输出端产生的输出态满足薛定谔方程：

由式(1)的相互作用哈密顿算符H，式(2)的解可表示为：

1.2 非共线II 型自发参量向下转换

SPDC 过程不仅沿泵浦波矢方向也沿其它方向辐射光子对。尤其是，即使对于频率简并的信号和闲置光子，SPDC 也可能是非共线的：在这种情形下，两个生成光子的波矢并不与泵浦波矢平行，寻常（o）光子和非寻常（e）光子沿两个不同的圆锥辐射，相对含有入射泵浦波矢和光轴的平面彼此倾斜（图1）。这些圆锥沿两条线交叉，图中分别记为A 和B。图1 中圆周上的横线和竖线分别表示H 和V 偏振。交叉线A 方向辐射的光子既有可能是o 光的水平（H）偏振，也有可能是e 光的垂直（V）偏振；如果A 方向辐射的光子是o 光H 偏振，则B 方向辐射的光子必定是e 光V 偏振，反之亦然。这种情形下沿A、B 方向产生的是正交偏振的纠缠光子对。

图1 利用非共线Ⅱ类SPDC 产生的偏振纠缠态Fig.1 The polarization entangled state produced by noncollinear type-II SPDC

由于横向波矢匹配条件Δkx=Δky=0，两个光子总是关于泵浦对称。哈密顿算符因而写成两个哈密顿算符之和：

式(5)中：相位β依赖于非线性晶体中泵浦光子、信号光子和闲置光子的相位延迟，湮灭算符和产生算符中的下标A、B 表示辐射方向，H、V 表示偏振方向。

假定信号模式和闲置模式的初始态均为真空态，对于频率简并非共线Ⅱ型SPDC，二阶非线性晶体输出端产生的输出态同样满足薛定谔方程,将式(5)的相互作用哈密顿算符H代入式(2)解得：

图1 所示的情形是最一般的情况。随着光轴和泵浦波矢之间的角度θ变化，圆锥变得较大或较小。尤其是，对于一个特定角度θ，它们沿一条直线相切，该直线与泵浦波矢共线，这对应前面描述的共线简并Ⅱ型SPDC。

2 偏振纠缠光纤陀螺仪原理及动力学分析

2019 年，奥地利科学院和维也纳量子科学与技术中心的Fink 研究团队在“物理学新刊（New Journal of Physics）”上首次对量子增强光纤陀螺仪进行了实验报道，并得到突破散粒噪声极限的测试结果。

2.1 偏振纠缠光纤陀螺仪的光路结构及功能

Fink 采用的光路结构见图2，它由三部分组成：正交偏振的纠缠光子源、Sagnac 光纤干涉仪和二阶符合探测装置。

图2 采用正交偏振光子对的量子纠缠光纤陀螺光路结构Fig.2 Optical path structure of quantum entangled fiber optic gyroscope using orthogonal polarized photon pairs.

正交偏振纠缠光子源基于共线Ⅱ型自发参量向下转换（SPDC）过程，如图2 所示，一个波长为405 nm的连续波激光器入射到一个周期性极化的二阶非线性ppKTP 晶体上。泵浦激光器发出的光子在晶体内通过SPDC 过程转换成成对的、具有水平偏振（H）和垂直偏振（V）的信号光子和闲置光子，信号和闲置光子对具有相同的频率（波长为810 nm）并沿同一个方向传播。用两个二色反射镜实现泵浦光子与向下转换光子的分离。信号光子和闲置光子随后通过微透镜耦合进一段偏振保持单模光纤（PMF）中。ppKTP 晶体的双折射导致两个正交偏振的向下转换光子之间产生相位延迟。为了产生具有两个无差别光子的NOON 态，采用一个附加的钕掺杂原钒酸钇（Nd:YVO4）晶体补偿这种偏振相关的时间延迟。同时，双折射晶体的长度选择还可以进一步补偿后续PMF 的双折射。

Sagnac 光纤干涉仪由一个偏振分束器（PBS1）、单模光纤线圈和两个二分之一波片（HWP1 和HWP2）组成。二阶符合探测装置包括一个二分之一波片（HWP3）和另一个偏振分束器（PBS2）、两个单光子探测器（D1和D2）及相应的二阶符合计数电子装置。

对于图2 所示的光路结构，Fink 并未给出输入态矢量和场算符经过偏振纠缠光纤陀螺仪的动力学演变过程。在采用正交偏振纠缠光子对的Sagnac 干涉仪中，存在四个传播模式：在光纤线圈中沿顺时针方向（CW）传播的水平（H）偏振模式、垂直（V）偏振模式和沿顺逆针方向（CCW）传播的水平（H）偏振模式、垂直（V）偏振模式。下面，我们首次采用4 × 4传输矩阵描述偏振纠缠光纤陀螺仪中场算符和态矢量的动力学演变，并阐述偏振纠缠光纤陀螺仪的量子干涉原理。

2.2 偏振纠缠光纤陀螺仪中态矢量和算符的演变

如图2 所示，偏振纠缠光纤陀螺仪的输入态是共线Ⅱ型自发参量向下转换（SPDC）产生的一对频率简并正交偏振的纠缠光子，记为，与这对正交偏振纠缠光子对应的湮灭算符用aH1、aV1表示。这对正交偏振光子经过一个22.5°二分之一波片HWP1，形成水平（H）和垂直（V）偏振的叠加态，进入偏振分束器PBS1 的输入端口a。偏振分束器为四端口器件，有两个输入端口和两个输出端口，每个端口可以传输水平和垂直两个正交偏振模式。PBS1 的输入端口d 没有光子入射，可以认为是空端也即真空输入态，与之对应的湮灭算符用aH2、aV2表示。这样，偏振纠缠光纤陀螺仪的四模式输入态矢量可以表示为：

理想的二分之一波片（HWP）的琼斯矩阵为：

偏振分束器PBS1 的量子分析模型如图3 所示（在下面的分析中，假定算符不带撇号“＇”为PBS1 端口的输入算符，带撇号“＇”为PBS1 端口的输出算符，态矢量亦是如此）。PBS1 端口d 和端口a 的正交偏振模式的输入算符分别记为ad-H、ad-V和aa-H、aa-V，它们与aH1、aV1、aH2、aV2的关系用一个4 × 4传输矩阵Sin联系起来：

图3 偏振分束器PBS1 的量子分析模型Fig.3 Quantum analysis model of polarization beam splitter PBS1

式(12)中：Uin是与传输矩阵Sin对应的幺正演变算符，两者由哈密顿算符Hin联系起来。哈密顿算符Hin（能量算符）对应着理论力学中哈密顿变量，是一个动力学参数。也可直接求解式(10)中输出算符的海森堡方程，得到（用哈密顿算符Hin表示的）幺正算符Uin的解析形式，作用于输入态，使态矢量发生演变（本文后面出现的所有传输矩阵S及其对应的幺正算符U，在量子光学中都具有这种动力学演变特征。另外，本文后面各个环节的输出态矢量的推导过程比较繁琐，本文因篇幅所限，仅给出结果）。式(12)中输出态矢量下标的改变，反映了态矢量演变与算符演变的一致性。

如前所述，PBS1 的输入端口a、d 构成Sagnac 干涉仪的输入端口。根据偏振分束器的传输特性，端口a 的输入模式（算符）aa-H、aa-V经过PBS1，水平偏振模式aa-H到达端口c，构成端口c 的输出模式，垂直偏振模式aa-V到达端口b，构成端口b 的输出模式；端口d 的输入模式（算符）ad-H、ad-V同理。PBS1 的输出端口b 和c，分别与Sagnac 干涉仪光纤线圈的两端连接。PBS1 端口d、a 的输入算符ad-H、ad-V和aa-H、aa-V与端口b、c 的输出算符和的关系为：

式(13)中：SPBS1为偏振分束器PBS1 的传输矩阵，是一个四阶单位矩阵，显然也是一个幺正变换矩阵。PBS1端口b 的输出算符为光纤线圈的逆时针（CCW）模式，端口c 的输出算符为光纤线圈的顺时针（CW）模式。

经过PBS1 进入光纤线圈的态矢量也即端口b、c的输出态矢量为：

式(14)中：UPBS1是与矩阵SPBS1对应的幺正演变算符。式(14)是一个正交偏振的2002 最大纠缠态，呈现为两个顺时针的水平偏振光子和两个逆时针的垂直偏振光子的叠加态：。这意味着，顺时针模式总是水平偏振光子，逆时针模式总是垂直偏振光子。

假定Sagnac 相移ϕ等效在逆时针（CCW）光路中。将相移器和光纤线圈中的二分之一波片HWP2 的作用综合考虑。顺时针（CW）光波模式经过光纤线圈和HWP2 的传输矩阵为：

因此，顺时针（CW）光波和逆时针（CCW）光路从偏振分束器PBS1 的c、b 两点经过光纤线圈分别传播到b、c 两点的算符演变为：

式(17)中：ab-H、ab-V为顺时针光波经过光纤线圈到达PBS1 端口b 的输入（模式）算符，ac-H、ac-V为逆时针光波经过光纤线圈到达PBS1 端口c 的输入（模式）算符为光纤线圈（含相移器和HWP2）的等效传输矩阵，它由组合而成，可以表示为：

经过光纤线圈到达PBS1 的b、c 两点的态矢量（PBS1 端口b、c 的输入态矢量）表示为：

利用PBS1 的传输矩阵，端口d、a 的输出算符演变为：

另一方面，可以看出，在任意一个单独的输出端口d 或者端口a，均含有顺时针和逆时针（携带量子增强Sagnac 相移2ϕ）的态矢量分量。因此，可以在其中一个输出端口（比如端口d，因为端口a 已经作为偏振纠缠光子对的输入端口，实际中不便用于输出端口），设置另一对二分之一波片和偏振分束器的组合（HWP3 和PBS2），成Sagnac 干涉仪的量子输出分束器，从而实现量子增强的干涉测量。

图4 给出了用于对输出态进行二阶符合探测的光学结构。22.5°二分之一波片HWP3 和偏振分束器PBS2 构成偏振纠缠光纤陀螺仪的输出分束器，D1和D2是放置在分束器两个输出端口的单光子探测器。只考虑PBS1 端口d 的输出态，式(21)可以写成：

图4 输出态矢量经过偏振分束器PBS2 到达探测器D1 和D2Fig.4 The output state vectors reach the detector D1 and D2 through the polarization beam splitter PBS2

输入算符bH1、bV1和bH2、bV2与PBS2 输出算符bD1-H、bD1-V、bD2-H、bD2-V的关系为：

其中，E4为四阶单位矩阵，E2为二阶单位矩阵。

式(26)中：SPBS2、Uout分别是与传输矩阵SPBS2、Sout对应的幺正演变算符。

2.3 二阶符合探测和量子干涉公式

由式(26)，到达探测器D1的平均光子数（光强）为：

采用基于菲舍尔信息的CRB 极限评估偏振纠缠光纤陀螺仪的相位检测灵敏度，最小相位不确定性为：

说明基本达到2002 态量子纠缠光纤陀螺仪的海森堡极限。

3 偏振纠缠光纤陀螺仪偏振互易性分析

下面分析光纤线圈中存在感生双折射时图1 所示光路结构的偏振互易性。由于光纤的不完美，入射进光纤的线偏振光在光纤中可以分解为两个相互正交的偏振态，它们除了场形与理想模式不同外，传播常数和传播速度也不同，其总的偏振沿光纤长度变化，这就是光纤的双折射。在单模光纤中，有两种主要因素引起（线）双折射：纤芯不圆引起的形状双折射和各向异性应力通过光弹效应引起的应力双折射。双折射效应通常还与温度等环境变化有关。尽管局域感生双折射的绝对值很小，但其效应沿光纤长度累积。假定感生双折射是静态（固定）的，这种静态双折射理论上会对不同偏振的顺时钟和逆时针光波之间的Sagnac相移产生非互易的相位误差。

下面分析单模光纤中的这种感生双折射对量子纠缠Sagnac 干涉仪偏振互易性的影响。由于顺时针光波和逆时针光波的偏振相互正交，这使得顺时针的H 偏振光子和逆时针的V 偏振光子之间产生一个感生双折射引起的非互易相位误差：

式(35)中：λ是正交偏振光子的波长，L是光纤长度，Δnb是沿线圈的感生双折射的平均值。感生双折射的琼斯传输矩阵可以表示为：

如前所述，假定Sagnac 相移等效在逆时针光路中，HWP2 位于光纤线圈的逆时针光路初始位置，则式(15)中顺时针（CW）光波模式经过光纤线圈和HWP2 的传输矩阵变为：

则式(18)中光纤线圈（含相移器和HWP2）的等效传输矩阵，可以表示为：

与前面的处理相同，参照式(17)(19)-(26)的推导，到达探测器D1、D2的态为：

在采用共线型正交偏振光子源的量子纠缠光纤陀螺中，顺时针的H 光子和逆时针的V 光子的偏振相互正交，由式(41)可以看出，光纤线圈感生双折射引起的相位误差ϕB以量子增强形式寄生在Sagnac 相移ϕ中。换句话说，采用频率简并共线II 型偏振纠缠光子源的量子Sagnac 干涉仪，是一种偏振非互易性光路结构，当光纤线圈存在感生双折射时，会严重削弱量子纠缠光纤陀螺的相位检测灵敏度。采用特殊制造的低双折射单模光纤，可以在一定程度上减少这种非互易性误差，但对于高精度偏振纠缠光纤陀螺来说，重要的是要建构一种偏振互易性光路结构。

4 互易性偏振纠缠光纤陀螺仪的设计与分析

根据光子源制备的不同，Ⅱ型SPDC 过程产生的正交偏振光子对可以是共线的，也可以是非共线的。针对采用非共线Ⅱ型SPDC 光子源的偏振纠缠光纤陀螺仪，我们提出了一种偏振互易性光路设计，见图5。

图5 采用非共线Ⅱ型SPDC 光子源的量子纠缠光纤陀螺仪的偏振互易性光路设计Fig.5 Polarization reciprocal optical circuit design of quantum entangled fiber optic gyroscope with non-collinear type-Ⅱ SPDC photon source

信号光子经保偏的光学环行器到达保偏分束器（保偏耦合器）的端口d；闲置光子（场算符为aH1、aV1）经保偏的光学环行器到达保偏分束器的端口a。非共线Ⅱ型简并SPDC 过程产生的正交偏振双光子对的态矢量可以表示为：

式(43)中：aa-H、aa-V为端口a 的输入场算符；ad-H、ad-V为端口d 的输入场算符。

保偏光纤分束器（保偏光纤耦合器）的传输矩阵与一般分束器相同，该传输矩阵对H 偏振和V 偏振均适用，因而保偏光纤分束器的输入/输出算符可以用4 × 4传输矩阵表示为：

其中，SBS对应的幺正演变算符用UBS表示。

从上式可以看出，纠缠光子对在光纤线圈中是顺时针1 个H 偏振光子1 个V 偏振光子和逆时针1 个H 偏振光子 1 个 V 偏振光子的叠加态：，因此顺时钟和逆时针光子经历的感生双折射将相同。

假定Sagnac 相移等效在逆时针光路中，考虑光纤线圈的感生双折射时，利用式(36)，则顺时针（CW）光波和逆时针（CCW）光路从保偏分束器的c、b 两点经过光纤线圈分别传播到b、c 两点的算符演变为：

经过光纤线圈的场算符ab-H、ab-V、ac-H、ac-V从保偏分束器的端口d、a 输出，输出算符满足：

这是一个典型的海森堡极限量子干涉，与式(41)不同的是，虽然环圈中感生双折射会引起相位误差ϕB，但并不会以量子增强的形式寄生在Sagnac 相移ϕ中。因而该结构不存在任何偏振非互易性相位误差，说明图4所示的采用非共线Ⅱ型SPDC 光子源的量子纠缠光纤陀螺仪是一种偏振互易性光路设计。

5 结论

本文考虑到量子纠缠光纤陀螺的光强关联二阶符合探测涉及空间和偏振共四个模式，首次采用4 × 4光学传输矩阵及其对应的幺正算符构建态矢量和场算符经过各光学元件的动力学演变模型。同时，将实际光纤存在的感生双折射纳入该模型中，对量子纠缠光纤陀螺仪的偏振互易性进行了分析。主要结论如下：

1）对Fink 光路结构的动力学分析表明，由共线Ⅱ型SPDC 过程生成的正交偏振光子对在光纤线圈中的量子态是2 个顺时针H 偏振光子和2 个逆时针V 偏振光子的叠加态。由于顺时针传播的始终是H 偏振，逆时针传播的始终是V 偏振，光纤线圈中反向传播的光子之间因感生光纤双折射将产生量子增强型非互易相位误差ϕB。因此Fink 的光路结构实际上是一个偏振非互易光学结构。

2）鉴于此，我们提出了一种采用非共线Ⅱ型SPDC 光子源的量子纠缠光纤陀螺仪光路设计。由于线圈中的光量子态是顺时针1 个H 偏振光子1 个V 偏振光子和逆时针1 个H 偏振光子1 个V 偏振光子的叠加态，动力学分析表明，该结构的二阶符合量子干涉不仅具有海森堡极限的相位检测灵敏度，而且由于顺时针和逆时针光子的感生双折射相互抵消，不存在任何偏振非互易性相位误差。

本文工作对于实用化量子纠缠光纤陀螺仪的光路设计和探索真正实现海森堡极限相位测量精度的技术方案具有参考意义。