星光方向向量辅助的惯性/光谱红移组合导航方法

彭 旭，李 俨，王 玮，高广乐

（1.西北工业大学 自动化学院，西安 710129；2.国网陕西省电力有限公司 西安供电公司，西安 710061）

高可靠、自主的导航系统对于临近空间飞行器的控制至关重要[1,2]。惯性导航系统（Inertial Navigation System,INS）是应用最广泛的导航系统，它可以在短时间内提供高精度的位置、速度和姿态[3,4]。然而，INS导航误差随时间的增长而发散。为此，在长期导航中，INS 通常与其它导航设备组合使用。

光谱红移导航系统（Spectral Redshift Navigation System,SRS）是一种自主天文导航系统。由于观测天体光源和移动飞行器之间的相对运动，光谱线从波长（或频率）的原始位置偏移，导致光谱的多普勒红移（也称多普勒频移）[5-7]。根据光谱多普勒红移原理，获取光谱仪测得的光谱红移信息，导航系统可计算出天体速度以及位置[8]。以往光谱红移导航系统多用于深空导航，如Ning 等学者提出了基于太阳光的多普勒频移导航方法用于深空探测[9-11]。Fu 等学者扩展了多普勒导航的观测源，研究了基于恒星或行星光谱的多普勒深空导航技术[12-14]。如今随着光谱仪的光谱分辨率以及天体星历精度不断提高，研究学者也开始探索光谱红移导航在临近空间飞行器以及巡航导弹领域的应用[15]。高广乐等人基于SRS 建立速度量测方程修正INS 误差，提出了INS/SRS 组合导航系统，在不牺牲自主性的前提下提高了飞行器导航可靠性[16-18]。但上述INS/SRS 组合系统中，SRS 需要至少三个不共线天体的光谱红移观测信息才能解算速度量测并建立量测方程，因此存在抗干扰性弱的缺陷；另一方面SRS 未能充分利用星敏感器量测信息，仅能通过提出的量测方程直接对INS 速度误差进行修正，这将导致INS 在长时间导航后输出仍然发散。尽管有文献通过引入基于星敏感器的天文导航系统（Celestial Navigation System,CNS）与INS/SRS 组合，进一步修正导航系统位置误差的精度和可靠性。然而，目前研究的天文导航系统仍存在一定的缺陷：基于高度角和方位角的CNS 系统存在无法测量高度的缺点[19]；基于星光折射的CNS 系统精度会受大气浓度影响[20]。

在此基础上，为提高INS/SRS 组合导航系统的抗干扰能力，获得可靠稳定的导航信息，提出一种星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航方法。为充分利用天体量测信息，建立了星光方向向量辅助的红移导航方程。然后，基于星光方向向量辅助的红移导航方程建立量测方程，并与INS 误差方程结合组成组合导航系统，用于直接校正INS 速度与位置误差，提高导航的可靠性与抗干扰性。最后，仿真验证了本文提出的星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航方法在少于三个观测天体的情况下仍能获得可靠稳定的导航信息。

1 星光方向向量辅助的光谱红移导航系统原理

1.1 光谱红移导航

根据广义多普勒效应原理，可得[12]：

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其中，λ1为目标飞行器观测天体的光谱线波长；vi为飞行器在惯性系（i系）中的速度矢量；vc为天体速度；c为光速；θ为惯性坐标系下飞行器速度的方向与天体到飞行器直线的夹角为目标飞行器到被观测天体的径向速度；λ0为天体静止时距天体的光谱线波长。

同时可知光谱红移被定义为：

其中，z为目标飞行器获取的天体光谱红移值。

例2中的标题使用了暗喻的修辞格。该文是美国著名专利法学者Chisum教授批评前述美国最高法院关于商业方法专利判例（Bilksi案）不足的论文，他将专利法上可专利客体的法律制度比喻成一座花园，在这座花园里，多年来生长出了大量杂草。他批评最高法院错过了清除这些杂草的时机；但同时，他又认为该判例也为专利法播下了非常有益的种子，对专利权保护范围的界定具有重要积极意义。

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结合式(1)(2)可得：

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由于径向速度还可表示为[9]：

根据式(9)，星光方向向量量测可表示为：

将式(4)代入式(3)，可得完整的光谱红移导航原理方程为：

由式(5)可知，通过光谱红移信息可计算出飞行器的速度和位置信息。然而，由于其中包含速度与位置相关的六个观测量，光谱仪需要从至少六个不同的天体获取光谱红移量测值，才能计算出准确的速度和位置信息。

4) 输入红移以及方向向量量测，进行子系统量测更新：

1.2 星光方向向量辅助的光谱红移导航

考虑光谱红移导航方程的问题，本节提出了星光方向向量辅助的光谱红移导航方法。该方法将星光方向向量量测引入到光谱红移导航方程中，一方面减少光谱红移导航所需的观测天体数量，提高观测条件较差情况下光谱红移导航的可靠性；另一方面充分利用星光方向向量信息，保证星光方向向量辅助的光谱红移导航方程能求解速度与位置信息。该导航系统结构如图1 所示。

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图1 星光方向向量辅助的光谱红移导航系统Fig.1 Direction vector aided spectral redshift navigation system

星敏感器获取的星光方向向量量测可表示为[15]：

其中，uc表示i系中天体到机体中心的位置单位矢量；为机体坐标系b系到i系的转换矩阵；xb和yb表示目标飞行器到观测天体的位置矢量在成像平面上的投影；f为星敏感器的焦距。

组合导航系统的具体工作流程如下：

根据图2 中观测天体与飞行器的几何关系可知：

图2 光谱红移导航的几何关系Fig.2 Geometrical relationship in spectral redshift navigation

然后，将式(7)代入式(3)中可得：

(1)打造专家符号。2010年3月，《南方周末》刊登了《山西翼城：放开“二胎”25年》[注]梅岭、丁婷婷：《山西翼城:放开“二胎”25年》， 《南方周末》2010年3月18日第A02版。 ，第一次将人们的目光聚焦于翼城二胎试点和其促成者梁中堂；10月，《南方周末》再次发文《翼城人口特区一个县尘封25年的二胎试验》[注]陈鸣：《翼城人口特区一个县尘封25年的二胎试验》，《南方周末》2010年10月14日第A01版。 。此后几年内，对“翼城模式”报道接连涌现，学者梁中堂成了反对“独生子女”的代表人物，逐渐为大众所了解，其人口理念和政策主张也随之得到传播和扩散。

2 星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统

在恶劣的环境中，可观测的天体有时无法稳定的满足三颗可观测天体的需求；同时，类似于文献[17][18]的导航模式无法提供稳定量测信息。因此，为提高导航系统的可靠性与抗干扰性，本文直接基于红移量测以及方向矢量量测建立量测方程，提出了一种星光方向向量辅助的惯性/光谱红移组合导航系统。

（9）作者超过3人时，可以感谢形式在文中提及。作者简介包括：姓名、工作单位、职务或职称、学历、毕业于何校、现从事的工作、专业特长、科研成果、已发表的论文数量等。

2.1 状态方程

其中，Fk为惯导系统的状态转移矩阵；Wk为系统噪声矩阵；Xk为惯导系统的状态向量，具体为：

2.2 量测方程

首先，根据星光方向向量辅助的光谱红移导航方程，建立光谱红移的量测方程对INS 速度偏差进行修正，具体如下所示。

根据式(8)，可知红移量测值可表示为：

其中，zm为天体红移量测值；um,c为对应方向向量的量测值；Δz为红移导航系统的红移测量误差；Δz(Δu)为方向向量量测误差Δu引起的误差。

可知：

将式(14)代入式(13)可得：

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其中，tG为格林威治时间；λ和L为飞行器的经度和纬度。

可得红移量测方程如式(19)所示：

其中，Zz表示红移量测；Vz=Δz-Δz(Δu)。

根据星光方向向量辅助的光谱红移导航公式，系统建立基于星光方向向量的量测方程。

其中，pi和pc为惯性系下飞行器位置和天体的位置。

类似于式(13)，式(20)可进一步表示为：

其中，RN表示地球卯酉圈曲率半径；h为高度信息；e0为地球偏心率。

结合式(21)-(23)可得星光方向向量量测方程为：

通过式(19)和式(24)可看出，即使只有来自一个天体的观测量，导航系统仍然能够保证量测方程的建立，用于校正惯性导航系统误差。

2.3 星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统

基于上述建立的系统方程，星光方向向量辅助的惯性/光谱红移组合导航系统整体结构如图3 所示。INS 作为主导航系统，提供连续的姿态、速度和位置信息。星敏感器作为辅助导航系统可提供星光方向矢量量测信息抑制INS 误差。同时，光谱仪可进一步提供红移量测信息直接纠正INS 速度误差，加快INS 误差的收敛。而当恶劣环境下观测天体数量不足三个时，系统仍可使用有限的观测天体星光方向矢量量测信息，通过量测方程纠正INS 误差。同理，系统还可获取同一观测天体的红移量测信息，结合星光方向矢量量测信息，进一步延缓INS 误差发散速度。

图3 星光方向向量辅助的惯性/光谱红移组合导航系统结构图Fig.3 Structure diagram of INS/SRS integrated navigation system with the aid of the starlight direction vector

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1) 首先初始化系统参数；

2) 依据状态方程，使用容积卡尔曼滤波（Cubage Kalman Filtering,CKF）进行状态更新[3]：

然而，为了保证测量精度，光谱红移导航系统常选取星历误差较小的天体，如月球、火星、金星以及水星等太阳系内的天体[14]。但在复杂环境下，此类天体的观测数量很难达到六个，从而使式(5)无法求解，严重限制了光谱红移组合导航的使用，降低了可靠性。

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根据惯性导航系统误差模型，可给出组合导航系统状态方程为[2]：

5) 依据联邦滤波实现信息融合[4]：

其中，Pk表示融合后主滤波器下状态协方差阵估计；表示主滤波器状态估计。

6) 反馈估计的INS 误差状态估计值，并纠正INS输出的导航信息。

从式(8)(9)可以看出，通过引入同一观测星体的星光方向向量，改进的光谱红移导航只需同时观测三个太阳系内天体的红移值即可计算出飞行器的速度信息。除此之外，相比于文献[17][18]中方法，改进的光谱红移导航充分利用了量测信息，还可将方向向量量测用于计算飞行器的位置信息。

7) 重复流程(2)-(6)，直至导航结束。

3 仿真验证

受限于研究条件，本文通过仿真实验对提出的星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航方法进行验证。仿真设置飞行器飞行总时长为1 h，飞行轨迹如图4所示。光谱信号主要基于Gaia 数据库，通过插值法生成对应分辨率的观测光谱[6]。光谱红移测量方法选取交叉相关法[7]。仿真参考系选取东北天导航坐标系，使用的传感器参数如表1 所示，初始误差设置如表2所示。

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表1 传感器仿真参数设置Tab.1 Parameter of sensors in simulation

表2 初始导航误差Tab.2 Initial navigation errors

图4 飞行器飞行轨迹图Fig.4 Flight trajectory

平均绝对误差（Mean Absolute Error,MAE）定义为：

其中，ΔX、ΔY和ΔZ分别为速度或位置的三维误差。

在星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统中，主要影响导航精度的因素有：传感器精度、观测天体星历误差、可观测天体数量以及观测周期。因此，为验证星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统性能，仿真实验对比了不同的导航参数对星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统性能精度的影响。

图5-7 分别给出了不同光谱分辨率下的姿态、速度与位置误差，表3 列出了不同光谱分辨率下对应的平均绝对误差。当光谱分辨率为107时，平均姿态、速度和位置绝对误差最大，为0.736 '、2.14 m/s 和247.36 m。光谱分辨率增长到108和109时，平均姿态、速度和位置绝对误差分别降低至0.644 '、0.44 m/s，182.39 m 和0.630 '、0.11 m/s 和153.12 m。可以看出，随着光谱分辨率的减小，导航误差波动也会随之增大，特别是速度误差受影响较大。

表3 不同光谱分辨率下平均绝对误差Tab.3 MAE under different resolutions of spectrometer

图5 不同光谱分辨率下的姿态误差图Fig.5 Attitude errors under different resolutions of spectrometer

图6 不同光谱分辨率下的速度误差图Fig.6 Velocity errors under different resolutions of spectrometer

图7 不同光谱分辨率下的位置误差图Fig.7 Position errors under different resolutions of spectrometer

图8-10 分别给出了不同星敏感器精度下的姿态、速度与位置误差，表4 列出了对应的平均绝对误差。可以看出，星敏感器精度也影响着导航精度，特别是位置误差。当星敏感器精度为10″时，平均姿态、速度和位置绝对误差为0.648 '、0.47 m/s 和328.33 m。而当星敏感器精度降低至20 ″和40 ″时，平均姿态、速度和位置绝对误差分别降低至0.649 '、0.53 m/s，715.66 m 和0.665 '、0.79 m/s 和1240.24 m。

截至17日上午，青海省水利厅派出的2批13支供水工程应急抢险救灾小分队共220余人，全部到达抗震救灾第一线，并有针对性地开展工作，累计提供的救灾物资折合人民币达到500万元。4月17日，青海省水利厅订购的生命吸管有400套运往灾区。

表4 不同星敏感器精度下平均绝对误差Tab.4 MAE under different accuracy of star sensor

图8 不同星敏感器精度下的姿态误差图Fig.8 Attitude errors under different accuracy of star sensor

图9 不同星敏感器精度下的速度误差图Fig.9 Velocity errors under different accuracy of star sensor

图10 不同星敏感器精度下的位置误差图Fig.10 Position errors under different accuracy of star sensor

从图5-10 和表3-4 可以看出，不考虑其他因素，在目前真实设备可达到的光谱分辨率（108）[15]及星敏感器精度（可小于5 ″）[19]条件下，本文导航系统满足临近空间飞行器的导航需求。

图11-13 分别给出了不同可观测天体数量下的姿态、速度与位置误差，表5 列出了对应平均绝对误差。本文提出的INS/SRS 组合导航系统在可观测天体数量小于3 个时，仍可提供红移和方向向量量测信息校正惯性导航系统误差。当观测天体数量为1 个时，仿真有发散趋势，其1 h 内平均姿态、速度和位置绝对误差为0.820 '、1.39 m/s 和1029.36 m。当观测天体数量为2 个时，发散趋势不再明显，平均姿态、速度和位置绝对误差分别降低至0.669 '、0.72 m/s，223.45 m。当观测天体数量为3 个时，平均姿态、速度和位置绝对误差进一步减小为0.644 '、0.43 m/s 和196.39 m。

表5 不同可观测天体数量下平均绝对误差Tab.5 MAE in simulation under different number of observable celestial body

图11 不同可观测天体数量姿态误差图Fig.11 Attitude errors under different number of observable celestial body

图12 不同可观测天体数量下速度误差图Fig.12 Velocity errors under different number of observable celestial body

图13 不同可观测天体数量下位置误差图Fig.13 Position errors under different number of observable celestial body

图14-16 分别给出了不同星历误差下的姿态、速度与位置误差，表6 列出了对应的平均绝对误差。可以看出，星历误差极大地影响导航精度。当所有天体星历误差为5 km 时，平均姿态、速度和位置的绝对误差最大，分别为2.389 '、5.77 m/s 和1658.66 m。当所有天体星历误差降低为1 km 和500 m 时，平均姿态、速度和位置的绝对误差分别降低至0.803 '、1.39 m/s，430.24 m 和0.697 '、0.79 m/s 和263.33 m。由于月球星历误差约1 m，金星星历误差小于200 m，火星星历误差小于1 km，以及水星星历误差在5 km 以内，因此，结合以上星历误差分析，可知以太阳系内行星作为观测天体的星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统能够获得较为精确的导航信息。

表6 不同星历误差下平均绝对误差Tab.6 MAE with different measurement sample time

图14 不同星历误差下姿态误差图Fig.14 Attitude errors under different ephemeris errors

图15 不同星历误差下速度误差图Fig.15 Velocity errors under different ephemeris errors

图16 不同星历误差下位置误差图Fig.16 Position errors under different ephemeris errors

4 结论

本文提出了一种星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航方法。首先，分析了红移导航系统缺陷，并提出了星光方向向量辅助的光谱红移导航系统方程，充分利用了星光方向向量信息用于提高观测条件较差情况下光谱红移导航的可靠性。其次，将星光方向向量辅助的光谱红移导航与惯性导航结合，提出了星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统，在观测天体数量不足三个时也能建立观测方程。最后，仿真结果表明，星光方向向量辅助的INS/SRS 组合导航系统能够减少导航中所需观测天体，提高导航系统的可靠性与抗干扰性。