针对闭环大时延的GNSS 数字锁相环路设计

汤新华，朱鑫敏，滕贤亮，张 敏，沈 健

（1.东南大学 仪器科学与工程学院，南京 210096；2.微惯性仪表与先进导航技术教育部重点实验室，南京 210096；3.南瑞集团有限公司 智能电网保护和运行控制国家重点实验室，南京 210096）

随着自动驾驶、智慧城市等研究领域的飞速发展，基于定位服务（Location Based Services,LBS）的行业标准及要求也越来越高。传统基于全球卫星导航系统（Global Navigation Satellite System,GNSS）及相关增强系统[1]（包括星级增强系统（Satellite Base Augmentation System,SBAS）、地基增强系统（Ground Based Augmentation System,GBAS）等）形成的单一GNSS 定位系统虽然在开阔地带有出色的表现，能够满足大部分作业要求，但在一些挑战性环境下（如高动态、遮挡、欺骗、多路径等），由于GNSS 与生俱来的局限性，基于GNSS 的单一导航定位系统表现就会大打折扣，甚至无法完成定位服务。为了进一步提高基于GNSS 导航定位系统的鲁棒性、准确性和可靠性，多方面融合增强技术也随之被提出。如图1 所示，在GNSS 终端增强技术中，主要还是对GNSS 接收机的灵敏度与动态性能提出增强解决方案，整体思路核心主要围绕跟踪环路进行，包括矢量跟踪架构、惯性导航系统（Inertial Navigation System,INS）辅助环路跟踪等。

图1 GNSS 接收机架构Fig.1 The structure of a GNSS receiver

锁相环（Phase-Lock-Loop,PLL）作为GNSS 信号跟踪环路的主要组成部分，目前已经被广泛地应用于各种通信系统之中。随着数字电路技术的快速发展，数字锁相环（Digital-PLL,DPLL）的设计成为研究热点。

Lindsey 等人[2]对DPLL 进行了深入的理论研究与仿真实验。由于有关PLL 的理论研究与技术实践体系已较为完善，因此DPLL 的传统设计方法是基于模拟域的变换，即将PLL 中S 域模型映射到Z 域以实现锁相环的数字化。映射方法包括双线性变换、正/反向矩形积分等[3]。这种传统方法也被广泛地应用于GNSS 跟踪环路设计[4,5]。而利用传统方法设计得到的DPLL，满足环路噪声带宽B与相干积分时间T的乘积（简称为归一化噪声带宽，文中用BT 表示）接近于零时，性能才能与变换前PLL 匹配。随着BT 的增加，有效环路噪声带宽和系统闭环极点位置偏离期望值，最终将导致环路变得不稳定。这一约束条件限制了最大积分时间或噪声带宽，但在GNSS 应用中，对于微弱信号的跟踪，通常需要增加相干积分时间来提高跟踪灵敏度；对于高动态环境下的跟踪环路设计，往往需要增大噪声带宽，提高环路动态性能。

Humphreys等人[3]讨论了大BT 对GPS信号跟踪的影响，但未对此提出有效解决方案。DPLL 一般由鉴相器、数字环路滤波器、数控振荡器（Numerically Controlled Oscillator,NCO）三部分组成。在保持DPLL 结构不变前提下，设计DPLL 的关键是数字环路滤波器，而大多数关于DPLL 的研究都致力于鉴相器的改进，对于数字环路滤波器的设计研究相对较少。

为解决BT 约束问题，一种利用参数化闭环传递函数根求解数字环路滤波器系数的方法被提出[4]，在BT 值较大的条件下，这种基于参数化根设计的DPLL 仍然能够保持环路稳定性，不足之处在于仅给出了采用矩形积分器的滤波器模型。Song Y 等[6]针对数字环路滤波器中BT 约束导致的自适应能力下降，基于空间服务域（Space Service Volume,SSV）场景，采用了查找表（Look-Up-Table,LUT）方式优化了数字跟踪环路在挑战场景下的自适应能力。Gupta 等人首次使用最小化误差函数的方法，通过函数最小化求解得到最优数字环路滤波器，利用该滤波器设计的锁相环可以在大BT 值下稳定工作，并且具有很好的噪声性能。Kazemi 等人[5]将这种方法应用到了GNSS 接收机中，同样对跟踪环路的BT 范围进行了扩展。

上述方法仅在NCO 短积分时间延时（1 个相干积分周期：1～20 ms）内应用，未能充分考虑环路大时延应用。近几年较为热门的Kalman 跟踪环路[7,8]、矢量GNSS 环路跟踪方案[9]、基于粒子滤波的跟踪环路[10]以及松、紧、深耦合系统[11-13]等，由于本地NCO 的更新由导航滤波器控制，而导航滤波器的复杂性带来的耗时将影响闭环控制的实时性。如图2 所示，在矢量跟踪模式下，本地NCO 的更新控制量来自于导航总滤波器，环路时延将不再为一个相干周期T，将扩大为NT，这样常规环路滤波设计方法将无法适用。

图2 基于矢量环路大时延的等效环路框架Fig.2 The equivalent model of a vector tracking loop in case of big feedback delay

目前针对实际闭环大时延的研究较少，未能从理论模型本身去深入探讨研究。针对上述情况，本文对大环路时延的DPLL 进行详细分析，并考虑环路噪声带宽或相干积分时间变化对目标跟踪环极位置的影响，采用参数化根法设计数字环路滤波器，改进BT约束限制。

1 GNSS 接收机架构

传统的GNSS 接收机主要包括前端、捕获、跟踪及位置速度时间（Position Velocity Timing,PVT）解算。GNSS 天线用于接收卫星广播的信号，将电磁波转换为可由射频前端处理的模拟电信号。然后，模拟信号经过预滤波放大、下变频、A/D 变频等一系列操作后转换为数字IF 信号。接收机基带处理部分针对数字中频信号进行捕获和跟踪，实现载波和C/A 码的剥离，最后利用测量和解码导航数据进行PVT 计算[1]。

传统跟踪架构相对比较成熟，如图3 所示，目前主要的研究聚焦于矢量跟踪环路，其中跟踪环路目前主要采用VDFLL（Vector DLL and FLL）。不同于传统跟踪环路，本地NCO 频率将由导航滤波器进行直接控制。由于 PVT 模块通常采用最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）方法，其计算复杂度较高，所以相比于传统环路架构，NCO 闭环时延将会更大。

图3 GNSS 矢量跟踪环路Fig.3 Diagram of a vector tracking loop in a GNSS receiver

为了分析和量化闭环大时延对跟踪环路的影响，本文将PLL 作为研究对象进行研究和阐述。

1.1 PLL 线性模型

跟踪环路由载波跟踪和码跟踪两个环路组成。载波跟踪环路本质上是PLL 的应用，通常包括鉴相器、数字环路滤波器和压控振荡器（Voltage Controlled Oscillator,VCO）。虽然锁相环本质上是非线性系统，但当环路锁定时，相位误差较小，在这种情况下可以用一个线性模型近似其基本结构。

典型的PLL 线性模型是一个经典的控制环路，如图4 所示。其中，F(s)、N(s)分别代表数字环路滤波器与VCO 的传递函数。假设环路输入信号θ(t)含有白噪声ni(t)，鉴别器被建模为输入信号相位θ(t)与VCO 生成本地信号相位θ0(t)+n0(t)之差，其中n0(t)输出相位误差。数字环路滤波器根据接收到的相位差估计相位变化率，它的输出作为VCO 控制量来调节本地载波的频率。

图4 锁相环路的线性模型Fig.4 Linear model of PLL

1.2 DPLL 线性模型

目前GNSS 接收机中采用了数字跟踪环路DPLL，输入模拟信号将通过前端进行数字采样，然后通过与本地数控振荡器（Numerically Controlled Oscillator,NCO）生成的数字信号进行相关，经过相干积分时间T之后，积分累加值将进入后续的低通滤波。

DPLL 模型与PLL 模型有本质的区别，DPLL 是实际环路实现的离散模型，在NCO 实现上存在一个固定周期的反馈滞后，也就是第n个周期NCO 控制量对应生成的是n+1周期的相位结果，因此DPLL 中存在一个周期的固有延迟。另外，DPLL 中输入信号与本地生成信号同为离散信号，以数字形式存在的NCO替换了模拟域中的VCO。系统闭环传递函数可以通过对图4 所示的S 域模型进行Z 变换可得：

式(1)中涉及到F(z)与N(z)的设计，N(z)模型主要取决于NCO 更新模式，常用的NCO 相位更新有频率控制和“相位+相位频率”控制，本文为了适应Kalman 跟踪环路分析[5]，采用了图5 所示的“相位+相位频率”更新模式。

图5 相位+相位频率更新模式的NCO 相位输出[5]Fig.5 NCO phase for phase and phase rate update mode[5]

图5 中第n个周期内初始相位为，NCO 在每个相干积分时间的起始位置更新本地生成信号的相位和相位速率[6]，可以得到：

在式(3)基础上，针对闭环大时延问题，考虑到矢量跟踪组合PVT 模块矩阵运算带来的耗时问题，模拟了四个周期的固定时延，从而得到新的NCO 传递函数为：

2 考虑闭环大时延的数字环路滤波器的设计

考虑到闭环大时延的存在，传统的滤波器方法将无法保证系统的动态能力和弱信号处理能力，为了实现BT 的扩展，本文在数字环路滤波器的参数化根法中考虑了相干积分时间对DPLL 闭环传递函数极点的影响，这也是传统S 域至Z 域映射法的不足之处。

2.1 传统数字环路滤波器

模拟锁相环中，数字环路滤波器阶数比锁相环阶数少 1。对于L阶锁相环，设滤波器系数为ki+1,(i=0,1,...,L-1)，数字环路滤波器在S 域的传递函数可以表示为[4]：

从S 域变换到Z 域常用的映射函数有：

可以发现，无论使用以上哪类映射方法，锁相环闭环传递函数都将包含相干积分时间T。以二阶锁相环为例，将二阶模拟锁相环中环路滤波器系数表示为τ1与τ2，得到传递函数为：

对式(7)进行双线性变换，得到对应环路数字环路滤波器传递函数为：

闭环传递函数的零点和极点分布图可以直观地确定环路稳定性。对于稳定的环路，其闭环传递函数的所有极点都必须位于单位圆内。对于使用具有“相位+频率”反馈NCO（式(4)）和式(8)描述的数字环路滤波器组成的DPLL，不同BT 值的零点和极点分布如图6 所示。从图中可知，对于这种结构的DPLL，BT小于0.08 才能使环路保持稳定。

图6 不同BT 的闭环传递函数零极点分布图（T=20 ms）Fig.6 The distribution of zeroes and poles of the closed loop for different BT values (T=20 ms)

2.2 参数化根法数字环路滤波器

从传统滤波器设计方法出发，对模拟锁相环中滤波器(5)直接进行双线性变换，得到L阶锁相环数字环路滤波器传递函数表达式[4]：

为避免相干积分时间对F(z)零点位置的影响，将T从累加式中剥离出，重新设计数字环路滤波器系数为：

此时，式(9)可描述为：

将式(4)和式(11)代入式(1)，得到：

将H(z)的分母记为D(z)，那么闭环函数极点须满足：

假设L次函数D(z)有L+4个根，则D(z)又可表示为：

其中，pi表示D(z)的第i个根。根据式(13)(14)，利用同次幂系数相等，得到L阶锁相环路中H(z)的极点与环路数字环路滤波器系数之间一一对应的关系，确定其中一项后另外一项即可确定，进而能够得到H(z)函数式。

从式(12)可以看出，H(z)中不再包含相干积分时间T，这意味着T的变化不再影响环路极点位置。通过将环路极点有选择性地放置在单位圆内，可以保证锁相环始终处于稳定状态。

另外，归一化噪声带宽定义为[2]：

由式(15)可知，BT 只与H(z)有关。因此不难发现，确定闭环传递函数的极点位置后，即可计算出对应的BT。

在Z 平面中，可将闭环传递函数的极点，也就是D(z)表达式(14)中的根参数化为[4,5]：

其中，βi为实数，表示衰减率；ηi为实数或纯虚数，决定了环路的阻尼状态。将衰减率参数表示为：

那么偶数阶环路的根可以表示为：

若环路的根为奇数，其中必含有一个实数单根。因此奇数阶环路的根可以表示为：

以二阶DPLL 为例，由式(11)得到相应数字环路滤波器传递函数为：

根据上述推导，二阶DPLL 的六个根可以参数化为：

因此，确定β1和η1后即可确定极点p1和p2，从而可以通过方程组(21)(22)依次获得其他极点和滤波系数。换句话说，滤波器系数可以完全由β1和η1确定。

DPLL 稳定性的必要条件是其传递函数的极点都在单位圆内。取η1=20i 和T=20 ms，则极点p1和p2的实部是。根据方程组(21)，图7 绘制了当前条件下其他四个极点与的对应关系，只有满足不小于0.983 才能保证DPLL 的稳定性。另外，根据方程组(22)得到的滤波器系数与传递函数极点之间的关系，结合式(12)和式(15)，图8 绘制了对应区间内BT 值的变化，在该区间内，BT 能达到的最大值为1.321。

图7 其他四个极点的模与的对应关系Fig.7 Correspondence between the modulus of the other four poles and

图8 BT 与的对应关系Fig.8 Correspondence between BT and

3 实验结果

为了验证本文设计方法的有效性，采用了如图9所示的实验配置，基于HackRF One 平台开发了中频采样器，主要采集L1 波段GNSS 信号，带宽配置为2.75 M 带宽。由图8 可知，应用参数化根数字环路滤波器、“相位+相位频率”控制NCO 的二阶DPLL，在给定条件下，BT 最大值为1.321，此时对应的为0.987。在实际跟踪过程中，设置相干积分时间T=20 ms，且ηi=20i，此时对应的β1为0.649，根据已确定的参数获得二阶DPLL 中数字环路滤波器的所有系数。为了验证本文所提面向大时延的参数化根数字滤波器的有效性，主要进行了静态与动态两组实验。其中跟踪环路BT=1.321，环路闭环控制时延配置为100 ms（5×20 ms，同时考虑NCO 本身的一个固定周期时延）。

图9 实验配置Fig.9 Experimental setup

静态实验结果如图10 所示。由于反馈时延100 ms的存在且BT=1.321，传统环路滤波器方案将无法实现正常跟踪，如图10(a)所示；通过针对大时延的参数化根数字滤波器的设计与实现，完成了信号的正常跟踪及导航电文解析，如图10(b)所示；全程GPS PRN32号星的载噪比在48 dBHz 左右，如图10(c)所示。

图10 GPS PRN32 号静态场景跟踪结果Fig.10 Tracking results of GPS PRN #32 in a static case

在动态实验中，采用了常规跑车动态实验数据。如图11(a)所示，传统跟踪环路无法实现正常跟踪；而在参数化根数字滤波器的跟踪环路中，则完成了正常跟踪与定位，如图11(b)所示；图11(c)中全程GPS PRN32 号星的载噪比在45 dBHz 左右。GPS PRN32号星导航电文出现部分接近于0，这是由于信号短暂丢失或受环境干扰引起，不影响整体环路跟踪与定位解算，如图11(d)所示，多普勒频移能正确被实时估计。

图11 GPS PRN32 号动态场景跟踪结果Fig.11 Tracking results of GPS PRN #32 in a dynamic case

为了进一步验证矢量环路（经参数化根方法处理时延）相比于传统跟踪环路的优越性（不考虑时延），本文进行了第三组动态实验，数据来源于跑车实验数据，同时如图12(c)所示，通过噪声叠加（衰减）将GPS PRN12 号卫星通道的载噪比降低至30 dBHz 左右，所有的跟踪通道相干积分采用1 ms。

图12 GPS PRN12 号动态场景跟踪结果Fig.12 Tracking results of GPS PRN #12 in a dynamic

如图12(b)(d)所示，由于矢量架构环路之间的耦合关系，以及环路带宽的缩减（INS 辅助），在较弱信号场景下，本文方法依然能正常跟踪以及完成多普勒频率的正确估计。

4 结论

本文针对GNSS 跟踪环路大时延场景，利用参数化根方法对DPLL 结构进行了优化，以实现在高时延和高BT 值下DPLL 稳定工作。相对于传统通过S 域模型至Z 域模型映射设计数字环路滤波器的方法，参数化根方法考虑了相干积分时间对闭环传递函数极点的影响，结合“相位+相位频率”反馈NCO，通过将极点有选择性地放置在单位圆内，实现了闭环时延100 ms 情况下BT 从0.08 到1.321 的扩展。实验结果表明，本文方法设计的DPLL 能够获得稳定的跟踪结果，对GNSS 矢量跟踪环路研究、高动态以及弱GNSS信号的跟踪具有重要意义。