在过程中形成数学眼光，在感悟中发展数学思维

俞韵宜 杨春琴 杨晨

【教学内容】三年级数学“等值分数”。

【教学目标】

1.经历认识和理解等值分数的过程，体会分数单位的大小和多少之间的补偿关系，为进一步学习分数的基本性质积累感性经验。

2.在活动与对话中，体会通过“每份均分”和“组块合并”产生等值分数的过程，提高抽象、归纳、概括的能力，发展数感，形成数学眼光。

3.体会等值分数的对称性和传递性，培养推理意识，感悟“等价类”思想，体会极限思想，发展数学思维。

4.在尝试应用等值分数的过程中，丰富对其本质的理解，积累数学活动经验。

【教学重难点】理解等值分数的本质。

【教学过程】

一、探索发现，认识等值分数

1.情境引入，感知分数单位大小。

提问：第一次分饼，哪只熊分的多？（如图1所示）为什么大熊分的多呢？

小结：同样是一份，[12]表示的这一份和[14]表示的这一份不相等。[12]比[14]大。

2.初步发现等值现象。

课件动态出示图2。

提问：第二次分饼，现在哪只熊分的多？

指出：分法不同，得到的分数也不一样，结果两只熊分到的一样多。

提问：再看一遍分饼的过程，说一说小熊的饼是怎么分的。

小结：熊妈妈又切了一刀，把每个[12]块再平均分成2份，也就是把整块饼平均分成4份，原来取的1份变成2份，所以[12]=[24]。

3.尝试研究[12]=[（ ）6]。

课件动态出示图3。

提问：熊妹妹想和哥哥吃同样多的饼，吃1份行吗，该吃其中的几份？

小结：把每个[12]再平均分成3份，也就是把整块饼平均分成6份，原来取的1份变成3份。所以[12]=[36]。

4.自主发现与[12]等值的分数[48]。

谈话：除了刚才的分法，还能怎么分？

小结（配合教具演示）：把每个[12]再平均分成4份，整块饼就平均分成8份，原来取的1份变成4份，[48]和[12]也相等。

5.发展数感，体会分子与分母之间的补偿关系。

课件展示图4，揭题：通过分饼，我们发现[12]、[24]、[36]、[48]這些分数大小都相等，我们把这些分数叫作等值分数。今天这节课我们研究的就是等值分数。（板书课题）

提问：先读一读，再观察这些和[12]大小相等的分数，它们有什么不同？

小结：熊妈妈对每个[12]再平均分，分法不同，导致分母不同，分子也不同。平均分的份数越多，表示[12]大小的份数就越多。

设计意图：表现形式不同的分数，值却相等，三年级学生理解起来存在障碍。因此笔者设计三次分饼情境，激活学生对分数单位大小的感知，打破固化思维，初步认识等值分数。探究和[12]等值的分数时，用表达模型“把每个[12]再平均分成（ ）份，整个饼就被分成（ ）份，原来取的1份变成（ ）份”，从而化解认知冲突。观察比较“半块饼”以及分子和分母的协同变化，帮助学生感悟分数单位的大小和多少之间存在补偿关系，即平均分的份数越多（分数单位越小），分数单位的个数也要越多（分子越大），才能使得分数的大小相同。

二、逐层抽象，进行弹性转换

1.[14]和[（ ）8]。

谈话：老师一家四口要平均分一块蛋糕。我可以吃到几分之几块？

提问：为了吃起来更方便，把每个[14]块再平均分成2份。现在我该吃8份中的几份呢？（2份）

课件动态演示图5。

追问：吃8份中的1份，可以吗？（不能）那多吃一点，8份中的3份呢？（多了）

提问：你们的意思是在这张图中只有[28]和[14]相等，为什么[14]和[28]大小相等呢？

小结：把每个[14]块再平均分成2份，这儿每一份都发生了相同的变化，整个蛋糕被平均分成8份，不多不少，只有[28]和[14]相等。

2.[34]=[（ ）（ ）]，通过“每份均分”发现等值分数。

课件出示图6，提问：我们也能用一个正方形来表示这一块蛋糕，现在涂色部分可以用哪个分数表示？（[34]）你能找到和[34]等值的分数吗？老师给你一张图（出示图7）。先说清楚图形发生了什么变化，再找和[34]等值的分数。

小结：把每个[14]再平均分成3份，每一份都变成了3小份，整体的4份变成了12小份，[14]和[312]相等，所以[34]和[912]是相等的。用每份均分的方法，就能发现和一个分数等值的其他分数。（板书：每份均分）

设计意图：乘法思维是学生掌握等值分数的重要因素，它是指表征某一情境的数量之间存在着确定的倍数关系。两个量同向变化，它们之间的关系保持不变。从[14]到[34]的教学，是从实物到图形的逐步抽象，需结合具体语境解释、想象分数单位的变化，对补偿关系进行理解和深化。寻找等值分数，只要对应图形中的每一份发生相同的变化——每份均分，总份数也发生相应的变化，所得到的分数的大小就是相等的。

3.开放探究，动手操作找到等值分数。

提问：涂色部分（如图8所示）可以用哪个分数来表示？（[23]）

拿一段细条横放在模型中（如图9所示），追问：我又对每一份进行均分，看[23]等于几分之几？（[46]）

提问：你还能像老师这样找一个和[23]大小相等的分数吗？你们身边有表示[23]的学具，也有表示平均分的细条，试着对每份均分，找到[23]的等值分数。

学生先动手操作，再交流汇报。

预设：[23]=[69]、[23]=[812]，展示图略。

指出：把每个[13]继续平均分成2份、3份、4份，用每份均分的方法，就找到和[23]等值的分数。

4.组块合并，感悟等值分数的对称性。

提问：老师是这么读的（指图9），[46]=[23]，行吗？

交流：我们让时光倒流。

教师将板贴中用来均分的细条一段段拿下，并借助动画呈现2小份合并。

小结：把每2份合并，就让[46]回到了[23]，所以[46]=[23]。像这样把[69]、[812]的组块合并，也能一下子发现，它们和[23]大小相等。除了对每份均分，还能用组块合并的方法，找到等值分数。（板书：组块合并）

设计意图：“读[46]=[23]，行吗”蕴含“因为a=b，所以b=a”对称性的思维模型。借助操作从[46]回到[23]，也是组块合并的过程。通过每份均分、组块合并两种方式来构建等值分数，推动学生在不同的表征中实现知识的弹性转换。

三、逻辑推理，促进意义建构

1.出示空白彩带。（图略）

谈话：王叔叔想用[35]条彩带装饰礼品，谁能来比划一下，[35]条彩带大概有多长？

2.巩固运用“组块合并”的方法。

出示：[610]条。（图略）

提问：王叔叔手头现有这条彩带，它的长度符合要求吗？

谈话：你可以在学习单上分一分、画一画，再和同桌说一说。

出示图10。

结合动画演示，指出：把10份中的每2份合并。

小结：通过一番操作，你们对王叔叔的彩带进行组块合并，发现[610]和[35]大小相等，王叔叔能用这条彩带完成任务。

3.感悟等值关系传递性。

提问：你还能找到其他和[35]相等的分数吗？

预设：[915]、[1220]等。

提问：按照你们的分法，[610]=[1220]，那[1220]和[35]相等吗？

学生交流。

指出：[35]=[610]，[610]=[1220]，这么传递过去，[1220]和[35]是相等的。

设计意图：本环节引导学生结合图示想象，借助“组块合并”感悟传递性，为理解代数基本事实做感性铺垫，发展推理意识。

4.体会极限思想。

提问：你还能再继续找吗？按照这样的方法，和[35]大小相等的分数，说得完吗？

小结：和[35]等值的分数有无数个。你们刚才找到的这些分数长得都不一样，但它们的值都和[35]相等。（课件将[35]、[610]、[915]等圈出来形成“等值集”，如图11）

设计意图：三年级学生并不能完整理解“等价类”和“集合”概念。借助直观彩条，将分数单位继续均分，就能够得到无数个与[35]等值的分数，让学生体会极限思想。将这些分数圈出来形成“等值集”，启发学生感悟该等值集中所有的分數代表同样的值，一个分数可以有无限多种表示方法。

四、拓展应用，形成闭合回路

谈话：课要结束了，熊熊一家还要分饼。小熊想比大熊多吃一点点。

提问：能怎样分，帮助小熊多吃一点点呢？

学生可能想到[34]、[46]、[916]等。

追问：你怎么看出[34]比[12]多一点点？

指出：运用了[12]的等值分数[24]，就发现了[34]比[12]大一些。

设计意图：课的最后又回到[12]，引导学生自主寻找与[12]等值的分数。小熊要多吃一点，需要找到比[12]大的分数。不唯一的答案推动学生进行解释反思、应用深化，使他们的思维形成从具体到抽象再到具体的闭合回路，为学生数学核心素养的发展奠基。

（作者单位：江苏省无锡师范附属太湖新城小学 责任编辑：王彬）