HPM 视角下数学教学设计探究——以“一元一次方程”为例

济南大学 (250022) 周红钰 温凤桐

在中学数学课堂中融入数学史,一方面为提升学生文化素养提供了重要方式,另一方面也为发展素质教育开辟了新的途径. 本文从数学史与数学文化的角度出发,以“一元一次方程”为例,围绕“一元一次方程”的历史形成与发展过程,进行展开教学设计. 同时,在课堂教学的过程中充分发挥数学史的育人功能,注重对学生数学学习情感态度、数学核心素养以及数学思想方法等方面的培养.

1 HPM 理论概述

华东师范大学汪晓勤教授对于HPM 视角的数学教学研究成果十分丰硕,他提出的HPM 数学教育理论,即“一个视角、两座桥梁、三维目标、四种方式、五项原则、六类价值”[1],也是本文进行一元一次方程教学设计的理论依据.

①一个视角: 历史的视角. 对于某些知识点,按照教科书的逻辑顺序进行讲解,学生很难理解,借助于数学发展的历史顺序,能更好的引导学生走进数学世界,跟随数学家们的历史足迹发现问题进而解决问题.

②两座桥梁: HPM 视角下的数学教学架起了两座桥梁: 沟通历史与现实的桥梁、沟通数学与人文的桥梁. 沟通历史与现实的桥梁,体现了发生教学法的思想,有助于培养学生的数学核心素养. 沟通数学与人文的桥梁,体现了科学人文精神,有助于培养学生必备品格[1].

③三维目标: 指教师方面的三个发展目标——知识、信念和能力. HPM 视角下的数学教学不仅能够促进数学教学目标的实现,还能够促进教师自身的发展.

④四种方式: 附加式、复制式、顺应式、重构式. 这是汪晓勤教授提出的将数学史融入数学教学的四种方法.

⑤五项原则: 科学性、趣味性、新颖性、可学性、有效性.

⑥六类价值: 采用数学史进行数学教学,对于学生数学学习的知识、方法、探究过程、文化、能力、德育等六方面有十分重要的教育价值.

2 一元一次方程教学活动设计

以人教版义务教育教科书《数学》七年级上册第三章第一节“从算式到方程”的教学过程为例, 选择合适的数学史料,进行数学史融入的教学设计.

2.1 以史搭桥,转变思想

师: 中世纪时候有一位意大利的数学家斐波那契,在他的著作《计算之书》中记录了许多的行程问题[2]. 其中就有一道“两船相遇”问题,我们一起来看一下.

“两船相遇”问题:A、B两地相距480 km,甲船从A地到B地需行驶4 天,乙船从A地到B地需行驶6 天,两船分别从A地和B地出发,相向而行,如果乙船先行一天,甲船才准备出发,问他们几天后可以相遇?

师: 大家能不能列算式计算一下这道题目呢?

生: 通过距离与时间可以分别求出甲船与乙船的行驶速度,分别为120km/天、80km/天,因为乙船先走一天,所以乙船先走了80km,那么剩下的400km 是两人一起走的,所以需要

师: 很好,看来大家都会用已学知识来解决这个问题,但是大家有没有发现列算式解决这个问题有点复杂呢?

(学生不约而同地点头)

师: 所以,我们今天来学习一种新的解法(板书课题“从算式到方程”). 首先我们来看这个问题中涉及到哪些量,这些量有哪些等量关系呢?

生1: 已知甲、乙两船的速度、AB两地之间的距离.

生2: 甲乙两船相向而行,所以甲乙两船走的距离之和相加等于480km.

师: 对,那同学们觉得应引入哪个未知量,能否用含有未知数的式子将相等关系表示出来呢?

生: 学生相互交流讨论,通过教师引导,设甲乙两船x天后可以相遇,列出相应方程:

师: 我们在探究数学问题时可以发现,题目中的已知量与未知量之间往往都存在着一定的相等关系,这种相等关系可以用含有未知数的等式表示出来,这种含有未知数的等式我们把它叫做方程. 在方程这里,我们大脑中的概念从字母表示数进化到了用字母表示未知数[3]. 同学们可不要小瞧了小小的未知数x,下面让我们穿越一千多年走进代数之父丢番图,看看他与未知数又有着怎样的故事呢?

多媒体展示丢番图墓志铭:

“过路人! 这儿安葬着丢番图. 下面的数目可以告诉您他活了多少岁.

他生命的六分之一是幸福的童年.

再活十二分之一,颊上长出了细细的胡须. 又过了生命的七分之一他才结婚.

再过了五年他感到很幸福,得了一个儿子. 可是这孩子光芒灿烂的生命只有他父亲的一半.

儿子死后,老人在悲哀中活了四年,完毕了尘世的生涯.

师: 丢番图的一生可以浓缩为一篇墓志铭,同学们通过这篇墓志铭,你能用含有未知数的式子表示出丢番图活了多少岁吗?

学生独立思考,快速的在纸上列出方程.

生: 设丢番图活了x岁,列方程:

师: 大家回答的非常准确! 通过设未知数的方式,我们可以按照顺向思维去解决实际问题了.

设计意图选用两道历史名题进行导入,但是并没有全部照搬,而是按照学生的实际情况进行了相应的改变与整合,利用多媒体展示出两道有趣的题目,引导学生通过思考解决问题. 采用顺应式的方式将数学史融入其中.

2.2 追本溯源,加深理解

师: 用字母表示未知数,并且用含有未知数的等式表示出等量关系,有助于我们更加简便的解决问题.观察刚才列出的两个方程,讨论一下他们有什么共同点呢?

生1: 这三个式子都含有未知数,都是等式;

生2: 等号两边都是整式;

生3: 未知数的次数都是1.

师生共同归纳总结一元一次方程的概念: 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.

师(追问): 同学们“元”与“次”分别指的什么呢?

生:“元”是指未知数,“次”是指未知数的次数.

师: 不错,通过我们的讨论,我们对于方程有了更为深刻的理解,其实方程有着悠久的发展历史.

多媒体展示方程发展史: 公元820 年左右,阿拉伯数学家花拉子米曾写过一本《对消与还原》的书,重点讨论方程的解法,也就是我们后面要学习的合并同类项和移项[3]. 17世纪, 法国数学家笛卡尔最早提出用字母x、y、z表示未知数,通过不断的简化改进,才造就我们现在见到的方程形式.

我国古代数学家在方程的研究方面也有着卓越的成就.著名的中国古代数学著作《九章算术》中有专门的一章研究方程. 宋元时期, 中国的数学家们创立了“天元术”, 用“天元”来表示未知数然后列出方程. 数学家李冶的著作《测圆海镜》是这种方法的代表作,书中说的“立天元一”的思想相当于现在的“设未知数x”. 我国古代用来表示未知数的还有“地元”、“人元”、“物元”等[2].

设计意图基于对方程、一元一次方程的描述性定义,在掌握知识的同时,引导学生感悟古人创造方程的智慧,开阔文化视野,明晰方程源起,唤起学生的爱国之情,在潜移默化中进行德育教育.

2.3 名题再现,巩固新知

练习1:《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍,被视为“算经之首”. 其中有这样一个问题: 今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百. 问人数,金价各几何?其大意是:

假设合伙买金,每人出400 钱,还剩余3400 钱; 每人出300 钱,还剩余100 钱. 问人数,金价各是多少? 如果设有x个人,根据题意列出方程.

练习2: 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关”[4]. 其大意是, 有人要去某关口, 路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为多少? 请用含有未知数的式子表示.

学生独立思考,列出相应方程,师生共同给出答案,总结做题方法:

设计意图通过两道历史名题,激发学生的探究欲望. 从《九章算术》与《算法统宗》中选取两个问题,一方面体现出方程与实际生活的联系,向学生渗透方程思想,总结做题方法;另一方面从史学角度引导学生对于方程以及一元一次方程定义的深层次理解,同时体会到我国古代数学家对于方程的研究,增强民族自豪感.

2.4 史料扩展,延伸学习

师: 同学们,经过本节课的学习,你有哪些收获呢?

生: 学习了一元一次方程的定义,理解了“元”与“次”的含义

生: 我知道了方程的来源,数学家们研究方程是为了更简便的解决问题

生: 我认识到许多数学家以及他们的伟大成就

师: 看来同学们今天收获颇丰,那么课下希望同学们能够继续收集与一元一次方程有关的历史故事, 可以以手抄报、绘画等形式在下次上课时向我们大家展示,期待大家的作品!

设计意图将数学史教学由课上延伸至课下,丰富学生课余生活的同时,激发学生对于数学学习的兴趣,改善学生对于数学学习的情感态度. 让学生在搜集与阅读数学史故事的过程中,加深对于方程的理解,汲取数学文化营养,培养学生动态的数学观,感受鲜活的数学知识.

3 教学设计立意解析

此教学设计借助改编的数学史名题,创设符合学生认知的问题情境,由此导入新课. 采用顺应式的方式将数学史融入其中,激发了学生学习兴趣的同时引导学生通过思考解决问题,调动了学生学习的主动性和积极性. 以“行程问题”为载体,通过层层设疑,使学生思维逐步由算术思维转变到代数思维上来,同时再以“丢番图墓志铭问题”跟进,让学生在解决问题的过程中体会到方程的便捷性与必要性,无形中渗透方程思想. 在新知探究环节,通过多媒体展示方程发展历史,一方面加深学生对于方程的理解与认识,助力学生厘清“元”与“次”的含义, 另一方面, 扩宽学生的数学文化视野,感受中外数学家对于方程发展的不懈努力,引导学生体会到“一元一次方程”名称中彰显了我国古人的智慧与成就,逐步构建学生对于方程的认知. 在一元一次方程应用的过程中,选取《九章算术》与《算法统宗》中的历史名题,借此凸显一元一次方程具有多样的历史文化内涵,符合命题规律,增强学生文化素养.