基于超声波测试的片岩单轴抗压强度预测模型

管华栋，潘 熙，黄雅兰

(1.江西理工大学土木与测绘工程学院，江西赣州 341000；2.江西理工大学材料冶金化学学部，江西赣州 341000)

0 引 言

材料的单轴抗压强度是指在单一轴向荷载条件下，材料破坏时的极限压应力。在岩土工程中，单轴抗压强度是岩石最基本也是重要的力学参数之一，被广泛用于支护设计、岩体质量分级、围岩稳定性分析等方面[1]。岩石单轴抗压强度主要是通过室内单轴抗压试验直接获取，但试验操作耗时，成本高昂，而且对岩石试件的完整性要求较高，许多学者开展了岩石单轴抗压强度的预测研究，以期建立快速、方便、经济的间接预测法。

目前，国内外学者针对岩石单轴抗压强度预测开展过大量研究：有学者基于点载荷试验、施密特锤试验和块体冲击指数试验等进行单轴抗压强度的估算[2-3]，也有学者[4-10]基于纵波波速建立了岩石单轴抗压强度的回归预测模型；还有部分学者[11-12]基于静弹性模量建立了泥岩和砂岩等的单轴抗压强度非线性预测模型；而李文等[13]则从量纲平衡的角度，基于纵波模量建立了安英斑岩和页岩的单轴抗压强度线性回归预测模型。此外，还有学者通过神经网络算法[14-15]、数字钻探技术[16-17]和X射线CT扫描试验[18]等新方法来预测单轴抗压强度。纵观这些预测方法和手段，作者认为操作最快捷、简单、经济的应该是基于岩石声学参数与力学参数之间的相互联系所建立的岩石单轴抗压强度预测模型。当前的研究对象中，几乎没有涉及到片岩，因此，本文基于福建某矿山钻取的岩样，开展岩石超声波试验，进行岩石单轴抗压强度与各声学参量的回归分析，并最终建立基于动弹性模量的片岩单轴抗压强度预测模型，进而为发展超声波测试技术的相关理论研究和工程应用提供帮助和参考。

1 岩石超声波试验和单轴压缩试验

试验所用片岩岩样来自福建某矿山。该矿区岩体呈块状结构，由云母斜长变粒岩、斜长云母石英片岩、构造角砾岩组成，属于坚硬类型，完整性中等，弱风化，裂隙不发育。在井下标高为575 m的采空区，设置两个钻孔，钻孔间相距10 m，每个钻孔各取8个岩样，其物理参数统计如表1所示[19-20]。

表1 岩样物理参数统计Table 1 The physical parameters of rock specimens

为了进行片岩的单轴抗压强度回归分析，首先进行岩石超声波试验，获取岩石超声波纵、横波波速等相关参数，再进行岩石单轴压缩试验，获取岩石弹性模量和单轴抗压强度参数。

1.1 岩石超声波试验

岩石超声波波速测试采用的是RSM-SY5 型数字式超声波仪(产自武汉中科智创)，用纵波换能器测试岩样的纵波波速，用横波换能器测试岩样的横波波速测得波速后依据式(1)可计算动弹性模量，依据式(2)[13]可计算纵波模量和横波模量。

式中：Ed为动弹性模量，单位为GPa；ρ为密度，单位为kg·m-3；vp为纵波波速，单位为m·s-1；vs为横波波速，单位为m·s-1。

式中：Pp为纵波模量，单位为GPa；Ps为横波模量，单位为GPa。

1.2 岩石单轴压缩试验

岩石单轴压缩试验采用的是RMT-150C岩石力学试验系统，加载方式为位移控制模式。由于选用的部分岩样长径比不符合标准，因此需要对岩样抗压强度和静弹性模量的试验值进行尺寸效应修正，得到标准试样下的抗压强度和静弹性模量，结果如表2所示[19-20]。表2中Es为静弹性模量，σc为单轴抗压强度。

表2 岩样试验结果统计Table 2 Statistics of test results of rock specimens

2 试验结果分析

基于试验统计数据，分别进行两个钻孔的片岩单轴抗压强度σc与纵波波速vp、横波波速vs、纵波模量Pp、横波模量Ps、动弹性模量Ed以及静弹性模量Es的回归分析。

2.1 岩石单轴抗压强度的敏感度分析

本文采用非参数统计方法对岩石单轴抗压强度进行敏感性分析，引入敏感性系数。敏感性系数越大，表明参数xi对研究对象y的变化越敏感。敏感系数S的计算公式为

式中：xi为岩样某一参数取值大小，无量纲；y为岩样的单轴抗压强度取值大小，无量纲；Cov(·)表示求协方差；σxi、σy分别为xi和y的标准方差，无量纲。

利用式(3)分别计算岩样的密度、纵横波速、纵横波模量、动静弹性模量对单轴抗压强度变化的敏感性系数。岩样单轴抗压强度的敏感性分析结果如图1所示。

图1 岩样单轴抗压强度的敏感性分析结果Fig.1 Sensitivity analysis results of uniaxial compressive strength for rock specimens

从图1中可以看出，1#钻孔中各参量对单轴抗压强度变化的敏感度排序从小到大依次为：密度、纵波模量、纵波波速、静弹性模量、横波模量、横波波速、动弹性模量。2#钻孔中各参量对单轴抗压强度变化的敏感度排序从小到大依次为：密度、静弹性模量、横波波速、横波模量、纵波模量、纵波波速、动弹性模量。从敏感度排序可以看出，1#钻孔和2#钻孔中对单轴抗压强度变化最不敏感的参量是密度，对应的敏感性系数分别为0.379 和0.502；1#钻孔和2#钻孔中对单轴抗压强度变化最敏感的参量都是动弹性模量，对应的敏感系数分别为0.954和0.982。

2.2 岩石单轴抗压强度的回归分析

基于岩样单轴抗压强度的敏感性分析，选择最敏感参量——动弹性模量Ed建立单轴抗压强度σc的回归模型。首先，绘制片岩动弹性模量Ed与单轴抗压强度σc的散点图，如图2所示。两个钻孔的片岩单轴抗压强度与动弹性模量都呈递增关系，且相关性较强。除了个别岩样，两个钻孔的片岩单轴抗压强度基本都随着动弹性模量的增大而增大，即呈正相关关系。

图2 两个钻孔岩样的Ed-σc关系Fig.2 Relationship between Ed and σc for the specimens from two different boreholes

利用多种函数进行回归拟合分析，得到两个钻孔的片岩单轴抗压强度与动弹性模量的回归方程结果如表3所示。按照拟合度R2排序，针对本文中两个钻孔的片岩岩样，单轴抗压强度与动弹性模量最佳回归关系应该用多项式模型来描述。

表3 Ed-σc的回归关系拟合结果Table 3 Regression fitting results of Ed-σc relationship

此外，两个钻孔之间，各种回归模型的拟合度相差不大，即片岩岩样的空间变异性影响在单轴抗压强度与动弹性模量的回归关系中表现得并不明显。1#、2#钻孔中各参量岩样试验统计结果分别如表4、5 所示。两个钻孔中其他参数建立的单轴抗压强度回归模型的拟合度相差都较大，也再次说明动弹性模量比这些参量更适合建立单轴抗压强度的预测模型。

表4 1#钻孔中各参量岩样试验结果统计Table 4 Test result statistics of various parameters of the rock specimen in 1# borehole

表5 2#钻孔中各参量岩样试验结果统计Table 5 Test result statistics of various parameters of the rock specimen in 2# borehole

基于上述分析，对比表4、5，单轴抗压强度与动弹性模量的拟合度大于其他参量，且两个钻孔的片岩岩样都满足这一规律。由式(1)可知，动弹性模量的计算公式中包含了密度、纵波波速和横波波速，因此动弹性模量比纵波波速或纵波模量更能综合体现岩石特性。从量纲平衡的角度分析，静弹性模量和纵波模量都与抗压强度的量纲一致，单位为ML-1T-2，因此文献[11-12]和文献[13]分别基于静弹性模量和纵波模量成功建立了岩石单轴抗压强度的预测模型。而动弹性模量的单位也是ML-1T-2，因此基于动弹性模量建立岩石单轴抗压强度预测模型也是可靠的。此外，基于超声波测试获取岩石动弹性模量要比基于单轴压缩试验获取岩石静弹性模量更简单、经济。因此，针对本文的片岩岩样，采用动弹性模量建立岩石单轴抗压强度预测模型更加合理、可靠。

3 片岩单轴抗压强度预测模型

在表3中，仅从拟合度R2来看，单轴抗压强度与动弹性模量的最佳回归模型是多项式模型。但线性模型、对数模型与多项式模型的拟合度实际都相差不大，1#钻孔相差0.001 5，2#钻孔相差0.005 4。因此，需要进一步对三种模型开展以下检验和分析，从而确定基于动弹性模量的片岩单轴抗压强度最佳预测模型。

3.1 岩石单轴抗压强度的回归分析

本文参照文献[12-13]，采用F检验法对三种回归模型进行回归方程的检验。统计结果如表6 所示。由表6可知，三种回归模型的F值均大于显著水平为0.05的F检验临界值。因此三种模型对应的回归方程都是显著的。

表6 三种模型的回归方程F值统计Table 6 Statistics of F value of regression equation for three models

3.2 岩石单轴抗压强度的回归分析统计结果

分析三种模型的回归系数，结果如表7所示，线性模型和对数模型的回归系数t的绝对值均大于显著水平为0.05的t检验临界值，而多项式模型的回归系数的t绝对值均小于显著水平为0.05的t检验临界值。因此，多项式模型的回归系数未通过回归系数显著性检验。

表7 三种模型的回归系数t的值统计结果Table 7 Statistics of t value of regression coefficients for three models

依据表3，两个钻孔片岩单轴抗压强度的线性模型的拟合度平均为0.936 4，对数模型的拟合度平均为0.934 4。因此，从平均拟合度来看，线性模型优于对数模型；此外，线性模型也比对数模型更简单，更便于使用。综上，本文建议采用简单的线性模型来建立基于动弹性模量的片岩单轴抗压强度预测模型，预测公式为

σc=AEd+B(4)

式中：A为回归系数；B为修正值，单位为MPa。

4 结 论

本文基于片岩的超声波试验和单轴抗压试验，开展了片岩单轴抗压强度与各参量的回归性分析，得到了以下结论：

(1) 分别得到了片岩单轴抗压强度与纵波波速、横波波速、纵波模量、横波模量、动弹性模量以及静弹性模量的最佳回归模型及回归方程；

(2) 由于受到片岩岩样的空间变异性和各向异性影响，不同钻孔中的片岩无法统一采用纵、横波波速或者纵、横波模量来建立岩石单轴抗压强度的最佳回归模型；

(3) 在片岩所有参量中，动弹性模量受岩样的空间变异性和各向异性的影响最小，可以在不同钻孔中建立统一的最佳回归模型，而且拟合度最高；

(4) 结合拟合度、包含参量、量纲平衡、测试方法以及显著性分析，基于动弹性模量建立了片岩单轴抗压强度的最佳预测模型——线性模型，并阐述了其合理性、可靠性和便捷性。