向量柯西不等式在数学竞赛中的应用探究

施宏昌，白丽艳

（1.玉溪市第一中学，云南 玉溪653100；2.玉溪师范学院 数学与信息技术学院，云南 玉溪653100）

柯西不等式将两个数列中各项“积的和”与“和的积”巧妙地结合在一起，结构整齐，形式多样，主要有向量形式、积分形式、数学期望形式等．柯西不等式是指下面的定理．

定理[1]设a1,a2,…,an,b1,b2,… ,bn是实数，则

1 最值问题

1.1 平方和为常数

例1[2]求函数的最大值．

分析本题实际上是求函数y的最大值，则需把y看作（2）式的左边，即把看作是，或，观察到，则就可构造出向量，又，即“平方和”为常数，放在（2）式的右边，则可求最大值．

解析设，由条件可得0 ≤x2≤ 1．根据，得，当且仅当，即时，函数的最大值为．

例2[3]若实数x,y满足x2+y2=20，则xy+8x+y的最大值是_____．

分析x2+y2=20是常数，xy+8x+y可以看成是“各项积的和”的形式，则可以构造向量．

解析设，， 根据， 得·，当且仅当，即时，函数xy+8x+y的最大值42．

例3[4]若对于所有的正数x,y，均有，则实数k的最小值为______．

分析此题实际上就是求的最大值，则把它看作是．

解析设，，由，得，当且仅当，即x=y时，的最大值，实数k的最小值为．

1.2 积的和为常数

例4[2]已知x,y＞ 0，且x+2y= 2，则的最小值为_____．

分析要求的最小值，则需把看作（1）式右边的，则可以构造向量．又由于x+2y= 2，即“积的和”为常数，把x+2y看作是，则．

解析设，，由，得，即，当且仅当，，即x=1，时，的最小值为2．

2 不等式证明问题

例5[6]设x1,x2, … ,xn为正数，求证：

解析转换不等式的方向，即要证，可把x1+x2+ …+xn看作，则可构造，．

例6[7]已知：a1,a2,… ,an为互不相等的正整数．

求证：对于任意的正整数n，有不等式．

解析设，，由，得，即，又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于n，有，即．

3 范围问题

例7[7]已知a,b,c,d,e是实数，满足a+b+c+d+e= 8，a2+b2+c2+d2+e2= 16，试确定e的最大值．

分析此题实际上就是求a+b+c+d的最大值，形式太明显，直接用向量柯西不等式即可．

解析设，由，得4 ( 16 -e2)，即(8 -e)2≤4(16-e2)，得．当且仅当时，e取最大值．

例8[8]设，证明不等式．

分析看到此题，最先可能想到设，由，得，当且仅当，即，此时无解，则，但．说明此思路的证法结果被放得过大，需进行修正，观察，考虑，把看作（2）式左边的，或，从而有如下证法．

解析由题意，知，设．由，得

4 总 结

一般来说，解数学竞赛试题的难度较大，需要灵活的技巧方法进行处理，应用向量柯西不等式解题，关键是找到三个式子，，及其所对应的向量形式，，，从而构造出向量→→，，这也是利用向量柯西不等式的解题技巧和难点．应用柯西不等式解题时，尽量观察已知条件和结果，把其转化成柯西不等式的形式．

从本文可看出，在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．利用向量柯西不等式来解决相关问题具有极大的简捷性，解题过程宛若行云流水，一气呵成，给人以美的享受，值得我们细细领悟和回味．