双曲抛物面的直纹性质及其应用

王成强，赵向青，吕志伟，赵士银

（宿迁学院 文理学院，江苏 宿迁 223800）

双曲抛物面，亦称马鞍面，其形状优美、性质丰富，在工程实践、理论研究等多个领域都有广泛应用.

定义1设.若，，且，则方程在空间直角坐标系中的轨迹称为双曲抛物面，其中，.

性质1[1]对任何双曲抛物面，都存在适当的空间直角坐标系，使得双曲抛物面在该坐标系下的方程为.

定义2在空间直角坐标系中，可描述为动直线轨迹的曲面称为直纹面.

性质2[1]双曲抛物面的是直纹面.

运动而形成直纹面的直线称为（直）母线. 除双曲抛物面外，常见的直纹面还有平面、二次锥面、二次柱面、单叶双曲面.

性质3[1-2]双曲抛物面含有两族直母线，同族中的任何两条直母线异面，同族中的所有直母线平行于同一平面.

与双曲抛物面类似，单叶双曲面含有两族直母线，同族中的任何两条直母线也异面，但与前者不同的是，不存在平面，使得单叶双曲面的同族直母线平行于该平面[1-2]．与双曲抛物面、单叶双曲面都不同，平面有无穷多族直母线[3]，二次锥面的所有直母线都过定点[4]（称为锥面的顶点），二次柱面的所有直母线平行于定直线[5-6]．从这些分析可知，双曲抛物面的显著特点是，同族直母线平行于同一平面，然而，平行于同一平面、且两两异面的一族直线所形成的几何图形是否就是双曲抛物面？为此，本文通过研究得出该问题的回答.

1 主要结果及证明

定理给定相互异面的直线1L：与2L：，及平面P：．若1L与2L都与平面P相交，则与平面P平行，且分别与直线1L，2L共面的动直线L的轨迹是双曲抛物面，其方程为，其中，

证明任意选取动直线L上一点(x,y,z) ，并设直线L的参数方程为（t∈R 是参数）．“直线L与直线1L相交”等价于“存在t∈R，使得，或等价于“存在t∈R，使得，或进一步等价于：m，n，p满足下述线性方程

同理可证，“直线L与直线2L相交” 等价于：m，n，p满足下述线性方程

借助Cramer 法则，求解方程组（1）-（2），得

因直线L与平面P平行，故mA+nB+pC= 0．代入（3），（4），并整理得

借助行列式的计算性质进一步处理便发现，上式等价于

展开（5）并对展开结果进行进一步处理，便能得到动直线L的轨迹方程. 接下来进一步分析动直线L轨

因直线1L与2L异面，直线1L与2L都同平面P相交，故

再次，因直线1L与2L异面，直线1L与2L都同平面P相交，故

综上，直线L的轨迹是双曲抛物面．

2 应用举例

例1[7]在空间直角坐标系中，给定直线1L与2L．设，直线2L通过( -1,0,0)与(0,1,1)两点．动直线L分别与直线1L和2L共面，且与平面z=0 平行．（i）求动直线L形成的轨迹S的方程；（ii）判断S是什么曲面.

解（i）从定理的证明过程可发现，轨迹S的方程为

化简经整理，便得轨迹S的方程：yz-zx-y= 0.（ ii）由定理得，轨迹S是双曲抛物面.