关于等价无穷小在求函数极限中的推广①

刘明术，王兰芬

（1.黄山职业技术学院，安徽 黄山 245000；2.歙县小洲中心学校，安徽 黄山 245200）

极限是高等数学、数学分析中重要内容之一，在函数连续性、导数、积分等方面都涉及极限问题．一些函数求极限比较复杂，而运用等价无穷小替换会变得简便快捷.但定理受到条件的制约，需将等价无穷小代换进行推广[1]．文中在定理1 的基础上将分子、分母推广到三个及以上的和差等价无穷小，并探索等价无穷替换的条件和方法；在定理2 的基础上，利用泰勒公式，研究函数的等价无穷小；在定理3中，将被积函数之间的等价无穷小，推广到积分上限、下限之间的等价无穷小．得出的结论通过具体的例题进行验证．

1 和差等价无穷小求极限的相关定理及推广

定理1[2-5]设f(x),f1(x),g(x),g1(x),u(x),u1(x),v(x),v1(x)是同一过程中的无穷小，若f(x)～f1(x)，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x),u(x)～u1(x),v(x)～v1(x).

（1）当m≠-1,n≠-1 时

（2）当m≠1,n≠ 1时

推广1设f(x),g(x),h(x),f1(x),g1(x),h1(x),是同一过程在中的无穷小，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x)，f(x)～f1(x),g(x)～g1(x),h(x)～h1(x)，，则lim(f(x)+g(x) +h(x))=lim(f1(x)+g1(x)+h1(x)).

证明

推广2设函数f i(x),f ii(x)(i=1,2, …,n)是同一过程中的无穷小，且f i(x)～f ii(x)(i=1,2,… ,n)，且，则.

证明

2 等价无穷小构造定理及推广

定理2[6]设在同一变换过程中有，则.

证明因为，则，即

上述定理说明无穷小与它的高阶无穷小的代数和与该无穷小等价，在求极限时可将阶数较高的无穷小舍弃，可以简化求极限[7].

推广1设

对于一些用洛必达法则和等价无穷小替换求极限[8]比较复杂或易出错时，可用上述的方法求解.

例1[5]求

推广2若函数f(t) 在t=a处n阶可导，且，,当时，有

证明

当h(x)=x,x→ 0时，有如下结论[10]

例2[5]求

解令，f(0)=f′( 0) =0,f′′(0) = 2 ≠0，由推广2，当x→ 0，

3 求变上限积分函数极限定理和推广

定理3[9]若当x→0 时，存在，,则

推广1若当x→0 时，存在，且，存在，则

证明

（1）当x→0 时，,β1(x)均为无穷小量，且β1(x)；

证明,由定理3 和推论1 可得：，再由相关定理可得

例3求

解当x→0 时，有sinx～x，,由推广2 得

4 总 结

根据对已有的利用等价无穷小求极限相关定理进行研究，得出了几个定理的推广，拓展了其应用范围和条件．善于分析和总结，可将等价无穷小替换发挥到极致，对求一些未定式极限更加简便快捷.