三角代数上的2-局部Lie 中心化子

周斯名

（吉林师范大学 数学与计算机学院，吉林 长春 130000）

局部映射的相关研究一直深受研究人员的关注．1990 年，文献[1]和文献[2]提出了局部导子的概念．设P是一个偏序集，R是一个带有单位元的交换环，FI(P,R)是定义在R上关于P的关联代数，文献[3]证明了FI(P,R)上的R-线性局部导子是导子．文献[4]证明了JBW-代数上的局部导子是导子．文献[5]证明了某些算子代数上的局部导子是导子．文献[6]证明了套代数的标准子代数上的线性局部左（右）中心化子是左（右）中心化子．

1997 年，文献[7]引入2 -局部导子的概念，此后研究人员得出了很多成果．设H是无限维可分离Hillbert 空间，B(H) 是H上的所有有限线性算子构成的代数，文献[7]证明了B(H) 上的所有2 -局部导子都是导子．设R是有单位元的2 -扭自由交换环，Ln(R) 是由R上所有n阶反对称矩阵构成的李代数，文献[8]证明了Ln(R) 上的每个局部导子和2 -局部导子都是导子．文献[9]证明了每个三角代数上可加的2 -局部Lie 导子都是一个可加导子与可加映射的和，且可加映射作用于换位子的值为零．受上述结论的启发，给出了2 -局部Lie 中心化子的定义，并刻画三角代数上2 -局部中心化子的表达形式．

1 预备知识

定义1.1[10]设R是环或代数．如果一个线性映射φ：R→R满足对任意A,B∈R有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B))，则称φ是左（右）中心化子；若φ既是左中心化子又是右中心化子，称φ是中心化子．

定义1.2[10]设R是环或代数．如果一个可加（线性）映射ϕ:R→R满足对任意A,B∈R有φ([A,B]) =[φ(A),B] =[A,φ(B)]，则称ϕ是Lie 中心化子．

定义1.3设R是环或代数．如果一个可加（线性）映射ϕ:R→R满足对于任意A,B∈R，存在一个Lie 中心化子ϕA,B，使得ϕ(A)=ϕA,B(A)和ϕ(B)=ϕA,B(B)成立，则称ϕ是2 -局部 Lie 中心化子．

定义1.4[5]设X和Y是实数域或复数域F 上的Banach 空间，用B(X) 表示X上所有有界线性算子的代数．设A和B分别是B(X) 和B(Y) 的单位子代数，设M是单位- (A,B) 双模，且左A-模与右B-模都是忠实的．在通常的矩阵运算下，为三角代数．

T是一个带单位元的算子代数，其中1A和1B是代数A和B的单位元．记Z(T) 是T的中心．

定义两个自然映射πA:T→A和πB:T→B，如下

那么有πA(Z(T))⊆Z(A)和πB(Z(T))⊆Z(B)．

在本文中，将使用以下符号：

P1:，和Tij=Pi TPj对于1 ≤i≤j≤ 2．代数T可以表示为T=T11⊕T12⊕T22．

下文中我们用J(A) 表示由A中的所有幂等元生成的A的子代数．

2 主要定理

定理2.1设A和B分别是B(X) 和B(Y) 的单位子代数，M是忠实的(A，B) - 模．设T=Tir(A,M,B)，

(1)A=J(A)和B=J(B)；

(2)Z(A)=πA(Z(T))和Z(B)=πB(Z(T)).

则从T到自身的每个2 -局部Lie 中心化子ϕ都是一个Lie 中心化子.

为了证明定理2.1，我们需要一些引理，由A=J(A)和B=J(B)得出Tkk中的每个Akk都可以写成元素(i=1,2,…,m)的线性组合，其中,,…,是Tkk(k=1,2)中的幂等元.

引理2.1[16]设U=Tri(A,M,B)是三角代数且πA(Z(U))=Z(A)，πB(Z(U))=Z(B).如果线性映射φ:U→U对任意的x,y∈U且xy= 0，有φ([x,y]) =[φ(x),y] =[x,φ(y)]，则存在a∈Z(U)及线性映射τ:U→Z(U)，使得对任意x∈U，有φ(x)=ax+τ(x)．其中τ作用在满足xy= 0的交换子[x,y]上为0.

引理2.2对于任意幂等元P,Q∈T和A∈T，存在R1,R2,R3,R4∈T，满足PAQR1=0、P⊥AQR2=0、、，存在中心化子φ1,φ2,φ3,φ4和线性映射τ1,τ2,τ3,τ4:T→Z(T)作用于交换子为零，则对于2-局部中心化子ϕ有，其中P⊥= 1-P和Q⊥= 1-Q.

证明由定理2.1 和引理2.1 的可知幂等元P,Q∈T和A∈T，存在中心化子R1,R2,R3,R4∈T和线性映射τ1,τ2,τ3,τ4:T→Z(T)作用于交换子为零有

.

由引理2.1 可得如下定理：

定理2.2对任意A12∈T12，2-局部Lie 中心化子ϕ满足

(1)ϕ(A12)=P1ϕ(A12)P2∈T12和ϕ(A12)=ϕ(P1)A12-A12ϕ(P1)

(2)P1ϕ(A11)P2=A11ϕ(P1)P2和P1ϕ(A12)P2=-P1ϕ(P1)A22.

证明(1)根据2-局部Lie 中心化子的定义有

将上述两边的等式乘以1P和2P，可得．可得．通过中心化子φ及Lie 中心化子ϕ的定义可知

定理2.3对于A11∈T11和A12∈T12

ϕ对于A12∈T12和A22∈T22.

证明首先由

设B11∈T11和A12∈T12. 在引理2.2 中，A=B11及Q=A12， 可以发现，可 以 写 成 换 位 子，， 则，.则有

定理2.4(1)对于A11,B11∈T11，（2）ϕ([A22,B22])=[ϕ(A22),B22]=[A22,ϕ(B22)]对于A22,A22∈T22.

证明设A11,B11∈T11.由引理2.1 可知存在一个中心映射φ：T→T和线性映射τ：T→Z(T)作用于换位子等于零.则有

由φ(Tii)⊆Tii(i=1,2)及ϕ(Tii)⊆T11⊕T22，可得ϕ([A11,B11])∈T11.

对于任意C12∈T12，我们有

定理2.1的证明 设A,B∈T，此时有A=A11+A12+A22，B=B11+B12+B22对于Ai j,Bij∈Tij，

则结论得证.

3 结 论

本文研究了三角代数上的2 -局部Lie 中心化子，证明了三角代数上的2 -局部Lie 中心化子是Lie中心化子.