高中数学导数的解题方法研究

牛云山

【摘 要】  数学作为高中阶段的一门核心学科，有利于学生思维能力和问题解决能力的培养.在现阶段的高中数学教学中，导数知识是学生学习的难点，特别是导数知识的应用难以取得良好的教学效果.因此，作为高中数学教师，应当重视导数解题教学，结合具体的例题，传授学生解题方法，提高学生解题能力.

【关键词】  高中数学；导数；解题教学

高中数学课程中导数占据着非常重要的位置，是学生的必修内容之一.其主要作用体现在促使学生对数学知识的认识从静态转为动态、从有限转变为无限，且在一定程度上促进了学生辩证思维方式的形成.结合教材内容来看，导数运算包括零点、不等式恒成立、极值等，学习难度非常高.在考试中也经常以压轴题的形式出现.这就给教师教学带来了挑战.本文围绕导数解题这一中心点展开了分析、讨论，意在帮助更多的学生提高导数解题能力.

1 解题前提——了解命题知识点

知己知彼方能百战百胜.若想真正提高学生的解题能力，教师就要全方面把握导数命题形式、内容，实施导数解题方法专题教学，帮助学生梳理导数命题思路，构建导数解题框架 [1] .结合历年高考试题、数学教材来看，导数命题所涉及的知识点主要包括：

第一，基本定义与性质.具体是指导数、函数凹凸性等知识点的定义域性质.以函数凹凸性中的凸函数为例，高中阶段常用到的性质有一阶导数与函数的关系：若函数f x 在区间I上可导，则有函数f x 在区间I上是下凸的充分必要条件是f′ x 区间I上是单调递增，反之，单调递减；二阶导数与函数的关系：若函数f x 在区间I上存在二阶导数，则在区间I内f″ x 大于零时，原函数在区间I上是下凸函数.反之，为上凸函数；凸函数与切点的关系：若函数f x 是下凸函数，在点P x0，f x0  处有切线y=kx+b，则f x ≥kx+b.反之，f x ≤kx+b.在高考试题中曾出现过考查上述性质的题目：已知函数f x =a e  2x + a－2  e x－x，讨论f x 的单调性.若f x 存在两个零点，则a的取值范围.

第二，定理与公式.主要是指洛必达法则、中值定理、泰勒公式等.考查这些定理、公式的题目一般都是作为压轴题出现，难度高、推导烦琐.在实际考试中大部分学生经常放弃这类题目.对此，教师可将相关题目整理在一起，开设专题解题教学.

第三，思想方法.主要包括极限、积分、方程等思想.以积分思想为例，主要是考查定积分性质、微积分基本定理、定积分的几何意义，涉及不等式、数列等知识点，难度系数也非常高.

2 解题关键——灵活运用数学思想

运用解题思想的优势在于能帮助学生建立解题大局观，从整体上明确题目类型、考查要点及解题思路，减少学生做“无用功”.常用于导数解题的数学思想包括数形结合思想、整体代换、分类讨论思想等 [2] .以数形结合思想为例，其实质是将数、形结合在一起，使题干中原本抽象、呆板的数据信息，以图形、数据形式呈现出来，方便学生从中找到数据信息的内在规律，从而获得解题思路、技巧.

例如   这样一道题目：不等式 x－1   2< log  ax在x∈ 0，1 上恒成立，则a的取值范围是什么？在启发学生思考时教师可先让学生观察不等式左右两边 x－1   2与 log  ax，一个是二次函数，一个是对数函数.然后询问学生：能用直接化简的方法计算吗？此时学生很容易就能得出结论：如果直接化简只能化简二次函数，对数函数很难化简.接下来，再询问学生题干给出了两个函数的共同区间x∈ 0，1 ，能不能通过函数的定义与性质，选取某种方法进行两个函数对比呢？这样经过学生的思考和讨论很容易得出结论：可利用数形结合的思想，分别画出二次函数、对数函数图形，然后在区间内对比两个函数图象的走向，就能得到最终结论.最后，教师就可以让学生自主计算、画图，令f x = x－1   2，g x = log  ax，得到如图1所示的两个函数图象，再进行分析：满足不等式 x－1   2< log  ax在x∈ 0，1 上恒成立的实数a的取值范围应该是 0，1 .在完成上述习题教学后，教师还可进行数形结合思想常用导数题型的汇总，并适当地设计专项练习题，确保学生能完全掌握数形结合思想，再遇到类似题目时能迅速想到数形结合思想.

3 解题难点—合理选择解题技巧

针对导数解题而言，不同类型的习题都有与之相对应的解题技巧.教师可以进行归纳、总结，并分门别类地讲解给学生.

一般来说，导数题型包括七大类：第一类是导数单调性、极值、最值直接应用.也就是题目明确给出的条件或问题是函数在某个区间的单调性、极大或极小值，最大或最小值.

例如   f（x）=（x 2+ax+b） e  x（x∈ R ），求解：①当a=2，b=－2时，函数f x 的极值，②若x=1是函数f x 的一个极值点，求函数f x 的单调区间.

针对这类的解题技巧是对函数f x 进行求导，并结合极值的定义与性质，直接进行计算.因为这类题型没有涉及太多的公式、定理，相对来说比较简单.

第二类是交点与根的分布.主要是给出的条件或问题是函数图象与坐标轴或者其他函数图象的交点及根.一般情况下，这种题型还会涉及极值、函数单调性等知识点 [3] .

例如   已知x=3是函數f x =a ln  1+x +x 2－10x的一个极值点.①求出a及函数f x 的单调性，如果直线y=b与函数f x 的图象有三个交点，求b的取值范围.

结合题干信息可知f x =a ln  1+x +x 2－10x，那么f′ x = a 1+x +2x－10，若x=3是函数f x =a ln  1+x +x 2－10x的一个极值点，则f′ 3 = a 1+3 +2×3－10=0，则a=16.代入导数函数得f′ x = 16 1+x +2x－10= 2 x－1  x－3  x+1 ，令f′ x =0，可得x=1，x=3，根據导数函数随x的变化可知函数f x 的增区间是 －1，1 ， 3，+∞ ，减区间是 1，3 .再根据直线y=b与函数f x 的图象，观察就能够得到b的取值范围是 32 ln 2－21，16 ln －9 .

第三类是不等式的证明.主要采用差值函数法、放缩法、隔离分析最值法、换元法四种方法.

例如   这样一道题目：已知函数f x = ln x+ax 2－x，a≥0，讨论函数单调性.若函数g x =f x + e  x+ 1－a x 2－ ln x，证明x>0时，g x > 1 2 x 3+1.

做题技巧是作差：g x － 1 2 x 3－1，构造出新函数h x =g x － 1 2 x 3－1，通过研究新函数的单调性，来判断不等式是否成立.

第四类是不等式恒成立，求参数的取值范围.这类题型非常常见，解题技巧大同小异.主要是采用分离参数法、构造函数法.其中构造函数法更为常见.

第五类是函数与导函数性质的综合应用.这类题型比较基础，其主要解题技巧是充分利用函数单调性、极值等基础知识，进行分析、运算.

第六类是导数应用.即导数在生活实际问题解决中的应用.比如利润最大、效率最高等，归根究底属于函数最值问题，结合导函数基本性质即可计算.

第七类是导数与三角函数的综合应用.此类题型的解题技巧是灵活变形三角函数，并根据三角函数公式及其有界性、导数基本性质进行运算.或者是采用数形结合思想，将三角函数与坐标轴联系起来.

4 结语

总而言之，学生掌握导数解题方法的前提是充分了解导数命题所涉及的知识点，做到心中有数.在此基础上，综合利用各种解题思想、解题技巧，才能在有限的时间内，精准、快速地找到解题思路，完成推导，从而得出正确的结论.

参考文献：

[1] 刘芳英.高中数学导数解题方法及策略探微[J].试题与研究，2021（2）：1.

[2]郑玉兰.高中数学导数解题方法及策略探微[J].教育界，2020（2）：55-56.

[3]陈东进.探析高中数学导数解题方法[J].中学教学参考，2020（26）：26-27.