一道不等式证明题的多解探究

王学会

【摘 要】  不等式的证明有较强的综合性，方法灵活，对学生的思维能力有较高的要求，一直是教学难点.对不等式的证明问题进行多解探究是培养学生发散思维能力、提升数学素养的良好素材.

【关键词】  不等式;函数;换元;消元

试题呈现   已知正数a，b满足a+2b=4，求证： 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

分析   这个问题可以将不等式的左边看成一个二元函数，转化为求函数的最小值问题，也可以从不等式的角度，用“作差法”证明.

解法1      配凑，“1”值代换

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1   ，

将条件a+2b=4变形为 a+1 + 2b+1 =6，

1 a+1 + 1 2b+1

= 1 6   1 a+1 + 1 2b+1    a+1 + 2b+1

= 1 6  2+ a+1 2b+1 + 2b+1 a+1  ，

因为 a+1 2b+1 + 2b+1 a+1 ≥2    a+1 2b+1 · 2b+1 a+1

=2，

当且仅当 a+1 2b+1 = 2b+1 a+1 时取等号，

又因为a+2b=4，所以当且仅当a=2，b=1时取等号.

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 2b+1 a+1 + a+1 2b+1 + 1 a+1

+ 1 2b+1 ≥2+ 1 6 × 2+2 = 8 3 .

评析   上述方法从要证的结构出发，通过巧妙配凑，将已知条件a+2b=4和結论联系起来，转化为利用基本不等式求最值问题.

解法2 利用基本不等式

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2     2b+2  a+2   a+1  2b+1

=2    2ab+4b+2a+4 2ab+a+2b+1

=2  2ab+12 2ab+5  =2 1+ 7 2ab+5  ，

当且仅当 2b+2 a+1 = a+2 2b+1 时取等号，

又因为a+2b=4，

所以当且仅当a=2，b=1时取等号，

因为a+2b=4≥2   2ab ，

所以ab≤2，（当且仅当a=2b时，

即a=2，b=1时取等号），

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥2   1+ 7 2ab+5

≥2  1+ 7 2×2+5   = 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

评析   上述解法两次运用基本不等式求最值，要特别注意两点：一要满足不等式性质的传递性，二要使两次等号成立的条件相同.

解法3 换元法

设2b+1=x x>1 ，a+1=y y>1 ，

由条件a+2b=4，得x+y=6，

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x+1 y + y+1 x

= x y + y x + 1 y + 1 x ，

因为 x y + y x ≥2    x y · y x  =2，

当且仅当 x y = y x 即x=y时取等号，

即2b+1=a+1，即a=2，b=1时取等号.

又 1 x + 1 y = 1 6   1 x + 1 y   x+y

= 1 6  2+ x y + y x  ≥ 2 3 ，

所以 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = x y + y x + 1 x + 1 y

≥2+ 2 3 = 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

评析   上述通过换元法将复杂的式子简单化，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将问题明朗化，从而化难为易.

解法4 消元法

由条件a+2b=4得2b=4－a，

由b>0得0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32  a+1  5－a

= －2 －a 2+4a+5 +42 －a 2+4a+5

=－2+ 42 －a 2+4a+5 ，

对于－a 2+4a+5=－ a－2   2+9，

当a=2时取得最大值9，

－2+ 42 －a 2+4a+5 取得最小值 8 3 ，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 .

评析   此法通过消元将双变量函数转化为单变量函数，这是求函数最值的通法，也是学生最易掌握的方法.

解法5 作差法

由题意可得

2b=4－a，其中0

2b+2 a+1 + a+2 2b+1 = 6－a a+1 + a+2 5－a

= 2a 2－8a+32  a+1  5－a  ，

因为 2a 2－8a+32  a+1  5－a  － 8 3 = 14 a  2 -4a+4   a+1  5-a

= 14 a-2      2   a+1  5-a  ≥0，

所以 2a  2 -8a+32 -a  2 +4a+5 ≥ 8 3 成立，

即 2b+2 a+1 + a+2 2b+1 ≥ 8 3 成立.

評析   此法是从不等式的角度来考虑，利用“作差”比较法，方法非常简单易行，豁然开朗.

结语

“一题多解”是对同一个问题从不同角度、不同方位、不同层次进行思考，是培养学生思维的深度和广度、拓宽解题思路、开阔学生视野、将知识系统化的重要路径.不等式、方程、函数具有密不可分的关系，是数学的“三胞胎”，它们之间常常可以相互转化，是培养学生思维灵活性、综合性及创造能力的重要载体.

“一题一世界，一解一乾坤”，通过一题多解，“百花齐放”，另辟蹊径的解法，能培养学生的发散思维能力，将大大提高数学解题质量和复习效率，激发学生的学习热情和自信心，学生能更全面地看问题，更深入地理解问题，消除思维定式，避免机械刷题、机械化的训练，减少套路.一题多解能用尽量少的题，达到较好的训练效果，是摆脱题海战术的重要路径，实现减负增效的目标.

教师在教学中还要善于提出具有挑战性的问题，充分调动学生的积极性，鼓励学生多角度地探求问题，在比较、分析、联想、转化、讨论、反思中不断优化解题方法，提升解题能力，并引导学生沟通不同解法之间的相互联系，洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构.将零碎的知识整体化，促进知识块或问题的整体认知.探寻规律，揭示本质，深度思考问题中所蕴含的思想方法，总结通性通法，更好地发展学生的“四基”“四能”，培养学生的核心素养.