建立学生解题的整体观

庞海燕

一、引言

现实世界存在着大量的“周而复始”的现象，三角函数是刻画周期现象的重要工具.以全国Ⅰ卷为例，三角内容一般设置2-3个考点，主要是“三角恒等变换”、“三角函数的图象和性质”、“解三角形”，题型设置基本固定，分值在15-22分之间（如下表）.

具体到三角函数象及性质而言，从基础知识的理解和应用，到运算能力，再到数形结合、转化与化归的思想方法都有涉及，高考试题的考查总体稳定，形式新颖，有一定难度.在教学中，如何让学生通过教师的解题示范教学，理解和掌握数学概念、定理和方法，逐步经历知识的激活、检索、提取与组织，使解题与数学思维发展并行，并且能够上升数学思想层面呢？

整体观引领下的数学解题教学不仅有利于教师重组教学内容，促近学生联结相对分散的事实、知识、技能或经验，整体理解学习内容、思想方法，促进情感态度等方面发生转变，而且使学生的学习变得更高效、更有深度和延展度，促进学科核心素养的发展.

“关键点法”是笔者在教学过程中摸索出的解决三角函数图象问题的一种方法，“关键点”可以是具有特殊函数值的点，也可以是给定区间的端点.抓牢“关键点”可以根据图象求解析式、图象平移、求解参数范围，从而串联起多种题型，实现多题一法，丰富学生解题经验，培育解题智慧，从而建立学生解题的整体观.

二、识图定式

例1 （2020·全国Ⅰ卷）设函数f（x）=cos（ωx+π6）在［－π，π］的图像大致如图1，则f（x）的最小正周期为（  ）.

A.10π9

B.7π6

C.4π3

D.3π2

方法提炼：在识图定式的问题中，题目给定的图象一般是正弦函数和余弦函数经过伸缩、平移变换后的图象，需要找到“关键点”以及它在正弦函数和余弦函数这两个“模特”函数的图象中的位置.具体来说，正弦函数图象中的（0，0）、（π2，1）、（π，0）、（3π2，－1）、（2π，0）五点，余弦函数图象中（0，1）、（π2，0）、（π，－1）、（3π2，0）、（2π，1）五点以及图象上一些特殊位置、特殊函数值的点，都是需要加以关注的“关键点”.

问题解析：由解析式知，函数图象由cosωx向左平移π6ω个单位得到.函数图象过点（－4π9，0），它是问题求解的“关键点”.将它代入函数f（x）可得cos（－4π9·ω+π6）=0.又（－4π9，0）是函数f（x）图象与x轴负半轴的第一个交点，对照余弦函数图象与x轴负半轴的第一个交点，所以－4π9·ω+π6=－π2，解得ω=32，所以函数f（x）的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3，选C.

例2 （2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω>0，φ<π2.若f（5π8）=2，f（11π8）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（  ）.

A.ω=23，φ=π12  B.ω=23，φ=11π12

C.ω=13，φ=11π24D.ω=13，φ=7π24

问题解析：由T=2πω>2π，得0<ω<1.（5π8，2）、（11π8，0）是具有特殊函数值的点，是我们要找的“关键点”.由正弦函数图象知，正弦函数值取到1和0的两个自变量之间应该相差T4的奇数倍，即有11π8－5π8=3π4=2k－14T，k∈N*.易知k=1，T=3π，ω=23，代入关键点（5π8，2），得ω·5π8+φ=5π12+φ=π2+2kπ，φ=π12+2kπ，k∈Z，由φ<π2，k=0，φ=π12，选A.

三、图像平移

例3 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+π3），则下面结论正确的是（  ）.

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

方法提炼：将前后两个函数的解析式化为同名同正负同w后，抓牢前后两个解析式中ωx+φ=0的x，它们就是“关键点”，它们的移动情况是整个图象移动情况的反映.举例如下：

考虑y=sin（2x+π4）→y=sin（2x+π3）的变换，只需分别令2x+π4=0，2x+π3=0，得x=－π8，x=－π6，判断－π8→－π6的变换，只需向左平移π24个单位长度；考虑y=sin（2x+π4）→y=－sin（2x+π3）=sin（2x+4π3）的变换，只需分别令2x+π4=0，2x+4π3=0，得x=－π8，x=－2π3，判断－π8→－2π3，需向左平移13π24个单位长度；考慮y=sin（2x+π4）→y=cos（2x+π3）=sin（2x+5π6）的变换，只需分别令2x+π4=0，2x+5π6=0，得x=－π8，x=－5π12的变换，判断－π8→－5π12的变换，需向左平移7π24个单位长度.

问题解析：把横坐标缩短到原来的12倍后，考虑y=cos2x=sin（2x+π2）→y=sin（2x+π3），寻找关键点：令2x+π2=0，得x=－π4；令2x+π3=0，得x=－π6，抓牢关键点－π4→－π6，需将曲线向右平移π12个单位长度，选C.

四、确定参数

例4 已知函数f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）在区间［π2，π］内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）.

A.［23，1］ B.［23，43］ C.［1，2） D.［32，2）

方法提炼：给定单调区间，首先利用区间长度不超过半个周期，可求出ω的大致范围，再根据自变量x的取值范围，得到ωx+φ的取值区间，根据ω的范围求出区间端点的范围，在正弦或余弦函数的图象找到满足条件的区间，得到不等式组，从而求解.

问题解析：由题意，T2≥π－π2=π2，即T≥π，又T=2πω，得到0<ω≤2，又x∈［π2，π］，所以ωx+π6∈［π2ω+π6，πω+π6］.关注左端点π2ω+π6，它是“关键点”，其范围为（π6，7π6］，要使函数在［π2，π］单调递减，对应在正弦函数图像只能是［π2，3π2］这一段，所以π2≤π2ω+π6，πω+π6≤3π2，解得23≤ω≤43，即ω∈［23，43］，选B.

同理，若关注右端点，它是“关键点”，其范围为（π6，13π6］，要使函数在［π2，π］单调递减，对应在正弦函数图像只能是［π2，3π2］这一段，所以π2≤π2ω+π6，πω+π6≤3π2，解得23≤ω≤43，亦可得即ω∈［23，43］，故选B.

例5 已知函数f（x）=cos2ωx2+32sinωx－12（ω>0，x∈R），若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（  ）.

A.（0，512］B.（0，56）

C.（0，512］∪［56，1112］D.（0，512］∪（56，1112］

问题解析：f（x）=32sinωx+12cosωx=sin（ωx+π6），由f（x）在区间（π，2π）内没有零点，知2π－π=π0，2ωπ+π6≤π或ωπ+π6≥π，2ωπ+π6≤2π，或ω∈（0，512］∪［56，1112］，故选C.

例6 已知函数f（x）=sinωx－3cosωx（ω>0），若方程f（x）=－1在（0，π）上有且只有四个实数解，则实数ω的取值范围为（  ）.

A.（136，72］ B.（72，256］ C.（256，112］ D.（112，376］

问题解析：f（x）=sinωx－3cosωx=2sin（ωx－π3），由f（x）=－1，故sin（ωx－π3）=－12.由x∈（0，π），得ωx－π3∈（－π3，ωπ－π3），两个区间端点成为“关键点”，对应正弦函数图象，sinx=－12要有四个解，右端点ωπ－π3∈（19π6，23π6］，故有ω∈（72，256］，故选B.

五、教学反思

笔者在教学实践中发现，利用“关键点法”能够串联起原本独立的题目，学生不仅提高了解题能力，也对三角函数图象问题有一个更整体的认知.实际上，在解题教学中，对于数学方法，教师要深切挖掘领会该种方法的数学内涵、数学原理，使之上升到数学思维层面；对于数学思维，则又结合相关类型的数学问题，通过分析其思维共性，使之上升到数学思想的层面；对于数学思想，则通过开放课程系统，如结合友邻学科的知识、学生的生活阅历、社会生产活动等等，使之继续上升到哲学层面.最后再用理性、辩证的方法指导解题活动，通过这种循序渐进方式，使各个阶段的教学行为之间形成紧密的关联，切实培养学生的解题的整体观，促进核心素养落地.