正阻尼PMSG并网系统限幅间歇饱和引起的次／超同步振荡分析

张 哲，乔登科，汪云涛，薛静玮，林 毅，薛安成

（1.华北电力大学 新能源电力系统国家重点实验室，北京 102206；2.国家电网有限公司华北分部，北京 100053；3.国网福建省电力有限公司经济技术研究院，福建 福州 350012）

0 引言

相较于传统同步机，风机惯量小、控制结构复杂、非线性特性明显，故高比例风电并网会改变电力系统的动态行为并降低系统稳定性［1-2］，使系统稳定机理更加复杂［3］。其中直驱式永磁同步发电机（direct-drive permanent magnet synchronous generator，PMSG）并网所引起的次／超同步振荡现象受到了学术界的广泛关注［4］。

含风电的电力系统振荡现象按其数学表征可分为负阻尼振荡、光滑的强迫振荡、切换型振荡以及其他复杂振荡［5］。基于负阻尼振荡和光滑的强迫振荡的次／超同步分析法应用广泛［6-10］，在分析平衡点附近的小范围振荡特性方面具有强大优势。但该方法忽略了系统中限幅等非线性环节，无法反映系统大范围的振荡特性。然而，大范围切换型振荡和复杂振荡通常因大扰动以及多个非线性环节交互作用而产生［11］，如部分负阻尼发散后触及限幅引起的振荡、正阻尼下非线性环节参与的振荡等，其产生机理复杂，研究相对较少。

目前，对于非线性环节参与引起的大范围切换型振荡研究已取得了一定的成果［11-19］。对于风机非线性环节参与的大范围切换型振荡研究基本可分为如下2 类：基于时域模型的特性和机理分析；基于频域模型的切换型振荡近似分析。

在基于时域模型的特性和机理分析方面，现有研究主要分析如下2 种类型的振荡。①考虑非线性环节导致系统振荡，如文献［12］通过仿真分析表明风机控制策略切换可能会使系统因失去平衡点而失去稳定。②具有稳定平衡点的系统因限幅饱和引起的切换型振荡，如：文献［13］基于时域仿真法分析正阻尼PMSG 系统在大扰动后由限幅引起的次同步振荡的影响因素和非光滑分岔特性；文献［14］基于时域仿真法分析正阻尼双馈系统在大扰动后由限幅引起的次同步振荡的影响因素和非光滑分岔特性；文献［15］基于并网电压源变流器（voltage source converter，VSC）系统8 阶状态空间模型以及时域仿真和降阶系统，分析了电流限幅持续饱和引起的切换型振荡机理及影响振荡频率的因素。

在基于频域模型的切换型振荡近似分析方面，现有文献主要采用描述函数法分析非线性环节对振荡的影响。文献［16］提出了基于大信号阻抗的并网VSC 谐振与抑制方法，利用描述函数法推导了包含脉宽调制（pulse width modulation，PWM）饱和的系统响应特性。文献［17］利用描述函数法，建立并分析了考虑内部限幅环节的并网VSC非线性传递函数模型。文献［18］从闭环反馈原理的角度探讨了限幅引起等幅振荡的产生机理，提出了考虑限幅非线性特性和dq轴耦合效应的风电并网系统频域传递函数模型。文献［19］基于单边限幅的描述函数和广义Nyquist 判据，近似分析了不对称单边d轴电流限幅（asymmetric unilaterald-axis current limit，AU-d-CL）参与的并网VSC负阻尼切换型次同步振荡现象。

值得注意的是，在现有的PMSG 系统切换型振荡分析研究中，对正阻尼的切换型振荡仅有时域仿真分析［13］，未见频域近似分析。同时，在频域分析中，仅对限幅持续饱和的系统进行了分析，而对大扰动后可能会出现的其他类型限幅饱和情况未见报道。另一方面，并网VSC 系统可能出现负阻尼下AU-d-CL 间歇性饱和参与的次／超同步振荡［19］，也可能出现正阻尼下限幅参与的次同步振荡［15］。对于PMSG系统，是否也可能出现正阻尼下的AU-d-CL间歇性饱和参与的次／超同步振荡也未见报道。

鉴于此，本文先展现大扰动后AU-d-CL 间歇饱和所引起的PMSG 并网系统切换型振荡现象，然后结合AU-d-CL 的描述函数和广义Nyquist 判据分析该振荡。具体地，首先给出了PMSG 并网系统13 阶简化状态空间模型，并分析其小干扰稳定性以及振荡发生的参数条件；其次发现了一种新型的切换型振荡现象，即大扰动后PMSG 并网系统因AU-d-CL间歇饱和引起的切换型振荡；再次结合PMSG 并网系统网侧变流器的频域模型以及AU-d-CL的描述函数，给出了含限幅环节的PMSG 系统近似分析模型；最后结合描述函数和广义Nyquist 判据，近似分析了不同限幅值和参数下的新型振荡频率。

1 PMSG并网系统时域模型

PMSG 并网系统包含风轮机、永磁发电机、机网侧变流器及其相关控制系统、滤波电感、锁相环等部分，主电路如附录A图A1所示。

文献［20］通过联立PMSG 机械转矩表达式和轴系运动方程、dq同步旋转坐标系下PMSG 的动态方程、全功率变流器机网侧控制方程、直流电容方程、锁相环动态方程以及主回路电流微分方程，推导出PMSG 并网系统简化13 阶模型，具体见附录A 式（A1）所示。13 个状态变量分别为Ω、ids、iqs、uds、uqs、φ、ω、ed、eq、id、iq、x、Udc。其中：Ω为发电机机械角速度；φ为锁相环输出量；ω=ωpll-ω0为锁相环输出角频率ωpll与同步角频率ω0之差；x为电压环中间变量；uds、uqs和ids、iqs分别为定子电压和电流的d、q轴分量；ed、eq和id、iq分别为网侧变流器电压和电流的d、q轴分量；Udc为直流母线电压。

2 限幅间歇饱和引起的切换型振荡现象

2.1 系统小扰动稳定性及参数影响分析

PMSG 并网系统中平衡点稳定性由对应雅可比矩阵J的特征值决定，J由附录A式（A1）在平衡点处线性化得到。J中第i行第j列元素Ji，j的表达式为：

式中：fi为状态空间方程中第i个方程；xj为第j个状态变量；xequ为平衡点处状态变量的值。在附录B 表B1 所示典型参数下，系统的平衡点和特征根如附录B 表B2 所示。系统含有EQ1—EQ4这4 个平衡点：EQ1为稳定运行的平衡点；EQ2为含有2 个正实部特征值的不稳定鞍焦点；EQ3为含有1对正实部共轭特征值的不稳定结焦点；EQ4为含有1个正实部特征值的不稳定鞍焦点。由其对应的状态变量（φ、id）的值可知：EQ1为dPout/did＞0 时的稳定平衡点，Pout为风机输出功率；EQ2为dPout/did＜0 时的不稳定平衡点；EQ3和EQ4则是因风机输出功率过大而导致的不稳定静态工作点［21］。

对稳定运行的平衡点EQ1，含有多种振荡模式，各振荡模式的频率、阻尼比和主要参与变量如附录B 表B3所示。其中振荡模式1主要由机侧变流器相关控制变量ids、iqs、uds、uqs参与，可称为机侧变流器内环振荡模式；振荡模式2 由机侧变流器相关控制变量Ω、ids、iqs、uds、uqs参与，且主要与Ω相关，故可称为轴系振荡模式；振荡模式3、4 主要由锁相环相关控制变量ω、φ和eq、iq参与，主要与ω、φ相关，可视为锁相环振荡模式；振荡模式5主要由网侧变流器d轴相关控制变量ed、id和x参与，主要与ed、id相关，视为d轴振荡模式。

进一步，分析各振荡模式随单一参数变化的变化规律（改变某一参数时维持其他参数为初始值不变）。参数对振荡模式3的稳定性影响结果如附录B表B4所示，表中数值代表振荡模式变为不稳定的参数临界值。由于振荡模式3受诸多参数的影响，将其设为PMSG 并网系统中参数改变所引起的主要振荡模式。而其他振荡模式受参数变化的影响较不明显，其余振荡模式随单一参数变化的变化规律未列出。

2.2 切换型振荡现象

运行于稳定平衡点的正阻尼系统在受到小扰动后系统轨线会逐渐收敛至平衡点；在系统受到大扰动后，可通过电流内环设置的限幅环节限制设备过流过压。电流达到限幅值后控制环节进行动态切换，形成系统的切换型振荡现象［5］。

设置PMSG 并网系统d轴电流参考值idref限幅上限值idmax为1 200 A，仿真分析系统在遭受大扰动后的动态行为。有／无限幅时网侧变流器d轴电流id的响应如图1 所示。由图可知：无限幅环节时，系统在受到大扰动后恢复稳定（d轴电流稳定值id0=1 036.04 A），表明系统为一光滑正阻尼系统，与特征值分析结果相同；加入限幅后，系统在稳定平衡点附近为一光滑系统，全局上为一非光滑系统。

图1 有／无限幅环节时id响应Fig.1 Response of id with／without limit link

在相同扰动下，系统出现振荡，d轴电流频谱分析如附录C 图C1 所示，振荡频率为136.7 Hz。idref和id波形如附录C 图C2 所示，大扰动后id波形在限幅上限值与振荡下限值间不断变化，限幅环节间歇饱和。id-idref相图如图2 所示，系统轨线形成一不光滑极限环，当限幅环节饱和时，id-idref轨线被限制在idmax=1 200 A 的边界面上并在边界面上滑动；当限幅环节未饱和时，id-idref轨线运行未受限制，在平面上滑动，在两轨线相交处出现不光滑现象（轨线切换），故该振荡为一切换型振荡现象。

图2 id -idref相图Fig.2 Phase diagram of id -idref

进一步，分析改变限幅上限对系统的振荡特性的影响。当d轴电流参考值限幅上限值idmax分别为1 150、1 175、1 200 A 时，大扰动下振荡频率分别为139.5、138.9、138.21 Hz。振荡频率随idmax的改变而变动，与文献［19］中改变限幅上限值不影响振荡频率的结论有明显区别。

2.3 振荡发生的参数条件

本节分析正阻尼PMSG 并网系统大扰动后发生限幅间歇饱和型切换型振荡参数条件。分析过程中，当改变单一参数时，保持其他参数为附录B 表B1 所示初始值不变。由仿真分析可得，原PMSG 并网系统因大扰动发生限幅间歇性饱和的切换型振荡的参数范围如表1所示。

表1 振荡发生的参数范围Table 1 Parameter ranges of oscillation occurrence

无限幅时系统在大扰动后恢复稳定，有限幅时系统出现了持续性振荡现象，可知振荡由d轴电流参考值限幅间歇饱和引起。振荡期间因限幅环节间歇饱和，直流电压环节不能忽略，不能对系统进行数学及物理降阶分析［15］。有鉴于此，需探寻限幅间歇饱和的切换型振荡分析方法。在此引入描述函数法。

3 描述函数法与频域近似模型

3.1 描述函数法简介

描述函数法是一种广泛应用于非线性系统的振荡和稳定性分析的频域近似分析方法［22］。对于一类含非线性环节的系统，其在频域内可近似为图3 所示的单位负反馈系统。图中：r（t）、c（t）分别为输入、输出信号；N（A）为非线性部分的描述函数，其表达式见式（2）。

图3 频域近似系统Fig.3 Approximation system in frequency domain

式中：A、θ分别为输出信号的基波幅值和相角；A0为输入正弦波幅值。

进而可根据广义Nyquist 判据和式（3）分析系统稳定性并计算发生稳定振荡的振荡频率。

3.2 频域近似模型

基于描述函数和Nyquist 广义判据的振荡分析方法的前提是得到线性部分和非线性部分的频域模型。因此，下文推导PMSG 并网系统的单位负反馈线性系统形式的频域近似模型和AU-d-CL 的描述函数。

为简化分析过程，系统参数使用标幺值，并假定机侧变流器输出功率恒定，可将系统简化为8 阶VSC 并网系统。经推导后可得系统以直流电压参考值扰动ΔUdcref为输入，直流电压扰动ΔUdc为输出的闭环传递函数，如式（4）所示。

式中：Hv（s）为电压环的比例积分控制器的传递函数，Hv（s）=Kp+Ki/s，Kp、Ki分别为比例、积分系数；此处N(A)表示限幅环节描述函数；G1(s)的含义与推导过程可参阅文献［19］。

分离式（4）可得图3 所示的G(s)部分。G(s)传递函数为：

对于本文所考虑的AU-d-CL 间歇饱和现象，由频谱分析可知输入量idref具有一定的直流分量，输入幅值增大时先触及限幅上限，从而形成不对称的单边限幅环节饱和输出，且振荡中心（id=1 067 A）未与稳态运行值（id0=1 036.04 A）重合。考虑上述因素后可得不对称单边限幅的描述函数为：

式中：a为限幅上限值；A1为稳态偏差值。

4 基于描述函数的近似振荡分析

图4 为G(s)与-1/N(A)的特性曲线。G(s)为角频率从0到+∞变化的Nyquist曲线。-1/N(A)为负倒特性曲线／临界线，表示输入信号幅值A从0 到+∞变化的1 条曲线，由于考虑单边限幅饱和中的输入侧非周期量的影响，-1/N(A)曲线将随着A的变化在复平面上运动，而不仅限于负半轴上。

图4 G（s）与-1/N（A）曲线Fig.4 Curves of G（s）and -1/N（A）

在保持系统参数不变的情况下，可在复平面上画出G（s）的Nyquist 曲线及-1/N(A)的负倒特性曲线。由图4 可知：随着-1/N(A)中幅值A的不断增大，负倒特性曲线（黑线）与Nyquist 曲线（蓝线）存在多个交点；且负倒特性曲线穿越至Nyquist 曲线不包围区域，这说明系统在该临界点处存在稳定的等幅振荡。

进一步计算交点处的振荡频率fs，即等同于通过Nyquist 曲线得到的交点处的振荡角频率ωs。当Kiv=50 时，由理论计算得到的系统振荡频率fs为134.85 Hz，与基于仿真频谱分析获得的系统振荡频率136.7 Hz较为接近。

不同Kiv下的Nyquist 曲线与-1/N(A)曲线的相交示意图如图5 所示。理论计算得到的系统振荡频率、基于仿真频谱分析得到的系统振荡频率以及两者之间的误差如表2所示。

表2 不同Kiv下的仿真与计算结果对比（idmax=1 200 A）Table 2 Comparison of simulative and calculative results with different Kiv values（idmax=1 200 A）

图5 不同Kiv下G（s）与-1/N（A）曲线Fig.5 Curves of G（s）and -1/N（A）with different Kiv values

进一步，在不改变系统动态行为（振荡期间限幅间歇性饱和）的前提下，改变限幅上限值，经过限幅环节前、后idref波形图如图6 所示。不同限幅值下振荡频率的仿真与计算结果对比变化如表3所示。

表3 不同idmax下的仿真与计算结果对比（Kiv=50）Table 3 Comparison of simulative and calculative results with different idmax（Kiv=50）

图6 idmax=1 100 A与idmax=1 150 A时振荡波形Fig.6 Oscillation waveforms with idmax=1 100 A and idmax=1 150 A

表2、3 表明，在不同控制参数或限幅上限下，振荡频率计算结果与仿真结果之间存在1 Hz 左右的误差。原因在于分析所用频域模型为PMSG 网侧变流器频域模型，忽略了机侧变流器以及风机、发电机等部分；idref振荡波形并非完美的正弦波形，应用描述函数法时忽略了存在的微小的谐波分量。以上均会导致计算结果存在误差。

进一步，由表2 可知：不同Kiv下振荡频率不同，这是由于改变Kiv使得Nyquist 曲线的位置发生改变（如图5 所示），与-1/N（A）曲线的交点在复平面上不断变动使振荡频率发生变化；不同idmax下振荡频率不同，这是因为idmax值的变化改变了不对称限幅的描述函数（限幅上限值a），使-1/N（A）曲线的位置发生改变，与Nyquist 曲线的交点在复平面上不断变动使振荡频率发生变化。而在限幅参与的负阻尼振荡中，改变限幅上限值将不影响振荡频率，这与本文的分析结果存在本质区别。

5 结论

本文基于简化的PMSG 并网系统状态空间模型，发现了大扰动后PMSG 并网系统AU-d-CL 间歇饱和引起的次／超同步振荡现象，并结合描述函数法和广义Nyquist 判据对振荡频率进行了近似分析。结论如下：

1）发现了一种新型的切换型振荡现象，即大扰动后的正阻尼PMSG 并网系统因AU-d-CL 间歇饱和所引起的切换型次／超同步振荡，并分析了振荡发生的参数条件；

2）结合AU-d-CL 的描述函数和广义Nyquist 判据，近似分析了不同限幅上限值和参数下的振荡频率；

3）解释了由AU-d-CL 间歇饱和引起的切换型振荡频率会随限幅上限降低而增加的现象。

特别地，描述函数法适用前提是系统的线性部分具有低通滤波特性。因此，当系统的低通特性改变时，近似准确度可能发生变化。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。