改进的压缩感知限幅噪声消除方案

庄 陵, 叶华双

(1.重庆邮电大学通信与信息工程学院, 重庆 400065; 2.移动通信教育部工程研究中心,重庆 400065; 3.移动通信技术重庆市重点实验室, 重庆 400065)

0 引 言

由于正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术共有高传输速率、对抗频率选择性衰落的鲁棒性、高频谱效率的特点，易于被广泛用于多种无线通信系统。但OFDM信号的较高峰均功率比(peak to average power ratio, PAPR)很大程度上限制了其使用[1-3]。

通常PAPR抑制技术被划分为3类:信号失真技术[4-5]、编码技术[6]及多信号概率类技术[7-8]。编码技术和多信号概率类技术易带来较高的系统复杂度及额外冗余。信号失真技术中的限幅技术根据信号幅值预设限幅门限,对信号直接剪切,由于其复杂度低、易操作,被广泛用于PAPR抑制。限幅虽可有效抑制OFDM信号的PAPR值,但会引入带外泄露与带内失真即限幅噪声[9]。带外泄露可在发射端通过频域滤波消除[10],但限幅噪声无法通过滤波消除,导致系统误码率(bit error rate, BER)性能显著下降。

为消除限幅噪声,文献[11-12]利用决策辅助重建方案在接收端迭代消除限幅噪声,补偿了限幅过程系统性能的下降,但迭代过程以及额外引入的快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)和逆FFT(inverse FFT, IFFT),带来较高计算复杂度。

另外,由于OFDM符号的包络在时域上服从瑞利分布,较大峰值只出现在少数的采样点,对少数的采样点限幅处理,产生噪声在时域上具有稀疏特性,这种稀疏特性使压缩感知(compressed sensing, CS)算法在消除限幅噪声中得到广泛研究[13-17]。

文献[13-14]中提出预留空子载波的CS算法,该算法预留空子载波作为CS观测向量,但会降低数据传输速率。文献[15]提出改进的CS算法,利用导频信号作为CS的观测值,但导频子载波对载波间干扰敏感,且易受信道噪声干扰,会影响CS算法的重构性能。文献[16]整体量化限幅和功率放大器产生的非线性失真,利用CS算法恢复总的非线性失真,但是从提高CS算法重构精度的角度来说,引入功率放大器产生的失真会破坏限幅噪声固有的稀疏特性。文献[17]选取受信道噪声影响小的子载波作为可靠观测值,在接收端利用CS算法对限幅噪声重构,该算法不需要预留空子载波，所以不会降低数据传输速率,但该方法无法避免信道以及多径效应对限幅噪声的干扰,仍会破坏限幅噪声在发射端固有的位置分布特点及幅度特性,影响CS观测向量选取,使CS算法重构精度降低。

通常研究者都与以上文献相同,在接收端对限幅噪声进行重构,但噪声折叠现象[18]严重影响限幅噪声的重构性能。且传统利用CS算法重构噪声,选取压缩观测值精度低,需要较多的观测值才能达到预期的BER性能,这会增加计算复杂度。基于以上考量,本文将在发送端而非接收端对限幅噪声重构。首先,对限幅噪声的统计特性进行理论推导;其次,根据推导出的统计特性,在预设的限幅比下估计出限幅噪声采样点分布位置,选取被限幅的采样点作为CS观测值的储备池,从而给出改进的CS模型;然后,结合预估计稀疏自适应匹配追踪(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法消除限幅噪声,并给出所提改进方案的复杂度分析;最后仿真验证所提方案的有效性。

1 改进的发送端系统模型

1.1 发送端限幅噪声的统计特性

N维向量表示一个OFDM符号序列,序列中每一个元素首先通过M进制的星座映射,X(k)(0≤k≤N-1)表示第k个子载波携带的频域信息,在过采样因子为L的情况下得到时间离散OFDM复信号表示为

(1)

X(k)统计独立且同分布,均值为0,方差可表示为E[|X(k)|2]=E[|x(n)|2]=2σ2,由中心极限定理可得当OFDM系统有较大子载波数目N,则x(n)包络服从瑞利分布,过采样下OFDM信号序列的PAPR表示为

(2)

在OFDM系统中常用互补累积函数(complementary cumulative distribution function, CCDF)描述信号的PAPR。因此过采样下OFDM时域信号幅度大于预设门限值z的概率定义为

CCDF(z)=1-(1-e-z2)LN

(3)

发送端对时域OFDM符号进行过采样处理,很好地避免了限幅信号经过D/A转换器峰值再生,限幅信号表示为

(4)

式中:A是限幅阈值;θ是xL(n)的限幅角度限幅比,定义为

(5)

根据限幅信号时域特性,限幅信号可以描述为原始信号与限幅噪声之和：

(6)

当OFDM系统子载波数目足够大时,xL(n)的包络服从瑞利分布,则限幅后信号平均功率可表示为

(7)

限幅信号经由时域进行LN点的傅里叶变换至频域信号,当过采样因子大于1,为消除限幅引入的带外泄露,需要对限幅后的OFDM频域序列进行滤波处理,滤波后的限幅信号表示为

(8)

式中:C(k)是限幅噪声的频域表示。为描述C(k)的统计特性,根据Bussgangs理论,限幅信号可描述为

(9)

式中:dL(n)为过采样下的限幅噪声；f为衰减因子,可表示为

(10)

结合式(8)和式(9)推导出滤波后限幅信号为

D(k)=C(k)-(f-1)X(k),0≤k

(11)

(1-e-γ2-f2)E{|X(k)2|}

(12)

(2-2f-e-λ2)E{|X(k)2|}

(13)

当L>1时,上述限幅噪声第k个子载波对应方差可以表示为

(14)

式中:SD(k)是限幅噪声每个子载波对应的功率谱,与限幅噪声的互相关函数互为傅里叶变换。限幅噪声的互相关函数及自相关函数分别表示为

(15)

(16)

1.2 改进的发送端CS模型

由限幅噪声的统计特性推导可知,无论在奈奎斯特采样还是过采样下,限幅噪声的方差、平均功率及信号衰减因子均和限幅比有关。因此,当采样点的包络超过预设阈值,对该点的幅值限幅处理,可预估计出噪声的位置,即分布于原始信号出现极大峰值的采样点附近,将这些限幅后的采样点作为压缩感知的输入,在发送端重构限幅噪声,改进CS模型如图1所示。

图1 改进CS模型

在不考虑滤波对限幅噪声分布影响的前提下,限幅噪声可描述为

(17)

由于对OFDM时域序列过采样处理,使离散信号类似于连续时间信号,故用一系列抛物脉冲描述限幅噪声,因此式(17)可以改写为

(18)

式中:fi(·)为第n个子载波处产生的第i个限幅噪声脉冲;Np为产生脉冲总数,即限幅噪声的稀疏度,其平均值描述为

(19)

2 CS重构算法

2.1 SAMP算法

发射端确定了限幅噪声的位置及限幅采样点数目,可通过选择矩阵T从限幅噪声选取部分观测向量作为CS的待估计信号为

(20)

式中:T的维度为R×LN,由LN×LN单位阵I的R行组成;Φ=TF是M×LN的传感矩阵,拥有良好的严格等距特性;A为传感矩阵;F是LN×LN傅里叶变换矩阵,记

(21)

算法1 SAMP算法输入:(1)Mmin×LN的传感矩阵A=Φ(2)Mmin×1的观测向量C^(n)=θA,该观测值选取与预估计的限幅噪声位置有关,选取范围为R={n|‖x(n)‖2>λE{x(n)}}(3)步长S输出:(1)信号稀疏表示系数(2)Mmin×1维残差rM=^c(n)-θ^MA处理过程:步骤1 初始化r0=c^,Λ0=ϕ,L=S,t=1;步骤2 计算u=abs[ATrt-1],选取u中L个最大值,将这些对应A的列序号j构成列序号集合Sk;步骤3 Zk为Λk∪Sk,At={aj},其中j∈Sk;步骤4 求解c^=θtAt的最小二乘解 θt=argminθt‖c^-θtAt‖=(ATtAt)-1ATtc^;步骤5 从θ^t中选出绝对值最大的L项记为θ^tL,对应的At中L列记为AtL,对应的A列序号记为ΛtL,令F=ΛtL;步骤6 更新残差rnew=^c-AtL(ATtLAtL)-1ATtL^c;步骤7 当残差的值为0则停止迭代进入步骤8;如果‖rnew‖2≥‖rt-1‖2,更行步长L=L+S返回至步骤2继续迭代;若前面两个条件均不满足,则令Λt=F,rt=rnew,t=t+1,如果t≤Mmin则停止迭代直接进入步骤8,反之返回至步骤2继续迭代;步骤8 重构所得θ^在ΛtMmin有非0值,其值即为最后一次迭代的θ^tMmin;步骤9 重构信号为c=θ^tMmin。

发射端恢复出限幅噪声,去噪OFDM时域限幅序列表示为

(22)

去噪OFDM时域限幅序列通过高斯信道,接收信号y(n)首先通过模数转换器(D/A),移除循环前缀,经由FFT后得到频域表达式为

Y(k)=H(k)Xnew(k)+W(k),0≤k≤N-1

(23)

式中:H(k)表示信道频域响应;W(k)为加性高斯白噪声;Xnew(k)为去噪OFDM频域限幅序列。假设信道频域响已知且精准同步,迫零均衡信道量化可得

H-1(k)Y(k)=Xnew(k)+H-1(k)W(k)

(24)

将式(23)代入式(9)和式(11)推导出X(k)最大似然估计值(maximum likelihood, ML)为

(25)

Mmin=min(Ne-γ2lnN,0.8N)

(26)

2.2 改进方案的复杂度分析

(1)基于CS限幅噪声观测值向量的选取。本文对限幅噪声的位置进行了预先估计,在选取的观测值向量包含了确定位置的噪声,其大小记为Mq,Np

(2)执行IFFT/FFT相应的计算复杂度为O(LNlog2LN);

综上可得基于改进方案的SAMP算法复杂度可表示为O(LNlog2LN+KMqLN)。与传统的CS算法相比,所提方案选取CS观测值是来自预估计出位置的限幅采样点,缩小了可靠观测值的选取范围,在较小的Mq下,该方案拥有较低计算复杂度。

3 仿真结果与分析

为验证改进CS算法对系统性能的提升,本文采用Matlab软件分别在高斯信道下做3个方面的仿真及分析:① 不同限幅比下,信号PAPR抑制程度及限幅噪声稀疏特性;② 比较所提改进方案、传统SAMP算法以及文献[17]中OMP算法在压缩观测值数目不同时对限幅噪声的重构概率影响;③ 对比3种算法在不同限幅比下的系统BER性能。具体参数如表1所示。

表1 仿真参数

3.1 限幅比与PAPR分析

如图2所示,分析不同的限幅比对信号PAPR影响,当CCDF(PAPR>PAPR0)=0.1时,r=0.8对应的PAPR值约为4.5 dB,r=1.6对应的PAPR值约为7.5 dB,而原始信号对应PAPR值约为14.3 dB。

图2 不同限幅比下OFDM信号的PAPR性能分析

由此可见,无论是低限幅比还是高限幅比,限幅操作对信号的PAPR值都有良好抑制效果。由式(19)可知,限幅比越小则引入的非0元素越多,为保证限幅噪声在时域中具有稀疏性,满足改进CS算法对限幅噪声重构条件,也要同时满足对信号的PAPR充分抑制,因此第3.2节和第3.3节选取限幅比取值范围为 1.3≤r≤1.6进行仿真。

3.2 3种算法的限幅噪声重构概率对比

本节选取r=1.4,对比3种算法的限幅噪声重构概率。如图3所示,当压缩观测值数目为70时,所提改进方案(s=1,5,10)的重构概率分别为0.967、0.959、0.947，SAMP算法(s=1,5,10)的重构概率分别为0.873、0.864、0.795,而文献[17]所提方案的重构概率仅为0.688。由此可见,所提改进方案在步长s分别为1,5,10时,对应的限幅噪声重构概率总是好于SAMP(s=1,5,10)算法以及文献[17]所提算法。文献[17]中所提算法及SAMP算法为获得更高的重构概率,需增加CS观测值,由复杂度分析可知,该方法虽获得重构概率上的增益,但付出高计算复杂度的代价,而本文在较少的压缩观测值下,便可拥有较高的的重构概率,原因有以下两方面:① 式(20)中用于重构限幅噪声的观测值来自于被限幅的采样点,使落在该采样点下的限幅噪声作为CS的的储备池,缩小了CS观测值的选取范围;② 发送端对限幅噪声重构,避免了信道及多径效应对限幅噪声幅值和位置产生干扰。

图3 不同压缩观测值的重构概率

另外,由图3可知,当s=1时,在相同的观测值数目下,所提改进方案拥有更高的重构概率,但算法收敛速度慢;当s=10时,所提改进方案提升了算法收敛速度,却降低重构概率。为兼顾该算法的收敛速度及重构概率,后文选取参数s=5,M=80,用所提改进方案对限幅噪声重构。

3.3 不同限幅比下3种算法的系统BER对比

由第3.2节可知,在同一限幅比下,相同数目的CS观测值对限幅噪声重构,所提改进算法的重构概率最高。为进一步说明所提方案的有效性,本节对比不同限幅比下,SAMP算法、文献[17]的OMP算法以及本文所提改进方案的BER性能。如图4所示,在相同限幅比下,所提改进方案的BER性能总是优于SAMP算法及文献[17]的BER性能。信噪比为14 dB,且发送端限幅比分别为1.4、1.6时,文献[17]的BER分别为1.8×10-3、5×10-4;SAMP的BER分别为7×10-4、5.1×10-4;本文所提改进方案的BER分别为4×10-4、2×10-4。

图4 不同的限幅比下算法的BER性能

由此可见,所提方案在对限幅噪声位置预估计的改进CS算法,可以获得更优的BER性能。另外,在低限幅比下,尽管限幅操作引入更多的限幅噪声,所提改进方案依然能自适应限幅噪声的稀疏性,有效地重构限幅噪声,提升系统BER性能。

4 总 结

传统的CS算法利用压缩观测值在接收端对限幅噪声重构,但噪声折叠现象的存在,降低了限幅噪声的重构精度,为提升重构概率,需增加压缩观测值数目,但付出了较高计算复杂度的代价。

本文针对以上问题提出改进方案。首先,经过限幅噪声数理统计特性的推导,随后选取预估计出噪声位置的采样点作为CS观测值,然后发送端对限幅噪声重构。仿真结果表明所提方案既能够减少用于重构限幅噪声的压缩观测值数目,降低算法的计算复杂度,又能够有效重构限幅噪声,提升系统BER性能。