解答含参不等式恒成立问题的常用方法

安现伟

(山东省莘县一中教育集团新城高级中学)

证明不等式恒成立是高考必考问题,受到了师生们的关注.这类问题一般比较复杂,不但需要学生熟练掌握不等式的性质,而且需要学生灵活运用导数、分离参数、数形结合等方法,对学生有着较高的要求,导致学生的答题效果并不理想.因此,本文详细介绍解答含参不等式恒成立问题常用到的几种方法,以期帮助学生掌握相关知识,提高解题效率.

1 导数法

一些不等式的证明问题通常可以转化为函数最值问题,而导数则是解答最值问题最为常用、有效的方法.在实际解题中,可以对不等式两侧进行作差处理,构造出新的函数,如此便可将不等式问题转化为求函数最值问题.而后通过求导,进一步确定零点的范围,借助变形与转化,确定含零点关系式的最值,进而结合不等式恒成立的条件确定参数的取值范围.

点评在解答本题过程中,虽然可以确定零点的存在,但是并不能直接求出.因此,对其进行设而不求,仅确定其取值范围以及满足关系式后对代数式进行整体替换,从而使问题获解.

2 分离参数法

分离参数法是解答不等式问题经常用到的方法,该方法主要用于解答那些参数及变量能够进行分离的问题.在实际解题过程中,首先需要结合不等式的特点及性质将参数进行分离,即使不等式的一侧仅为参数,在此基础上,将有变量的一侧视为一个新的函数,通过求导等方法确定函数的单调性,并求出其在定义域内的最值,最后将问题进行转化,建立起新的不等式,如将f(x)≤a恒成立转化为fmax(x)≤a,将f(x)≥a恒成立转化为fmin(x)≥a,进而使问题获解.

例2已知函数f(x)＝－xlnx＋a(x＋1),若f(x)≤2a在[2,＋∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

则函数g(x)在[2,＋∞)上单调递增,即得

所以a的取值范围为(－∞,2ln2].

点评解答本题时,通过移项、变形,将a进行分离,得到a≤g(x),而后对g(x)进行求导确定其单调性,最后求出gmin(x),如此便可得到a的取值范围.

3 数形结合法

当不等式两侧的式子明显是两个函数,或是可以转化为两个函数时,便可以借助数形结合法进行解答.在实际解题中,首先需要对不等式进行变形、转化,将不等式两侧化为自身较为熟悉的函数表达式.然后在平面直角坐标系中准确画出相应的图像,这是至关重要的一步,若这一步出现问题,可能会直接导致结果错误.因此学生需要仔细作图并进行检查,最后结合图像的位置关系、图像的性质等建立不等式,从而使问题获解.

例3已知不等式(x－1)2＜logax对任意x∈(1,2)恒成立,求a的取值范围.

解析设y1＝(x－1)2,y2＝logax,当0＜a＜1时,不等式显然不成立.

当a＞1时,在平面直角坐标系中画出函数的图像,如图1所示.

图1

由图1可知,当x∈(1,2)时,y1＝(x－1)2的图像始终在y2＝logax图像的下方,即当x∈(1,2)时,y1＜y2,此时

即loga2≥1,故a的取值范围为(1,2].

点评本题中的不等式左、右两边为常见的函数,因此,只要准确地画出相应的图像,而后结合图像便可以容易解答问题.在画图过程中,需要注意图像的准确性和规范性.

4 同构法

对于一些既有指数函数又有对数函数的不等问题,常常可以运用同构法进行解题.对这类不等式进行整理、变形后,将其转化为不等式两侧具有相同形式的结构,如将F(x)≥0 等价变形为f(g(x))≥f(h(x)),利用这个结构式构造对应函数f(x),进而利用f(x)的单调性、奇偶性等性质进行解题.常见的同构形式有

例4若ex－a≥lnx＋a对一切正数x恒成立,则实数a的取值范围为( ).

解析因为ex－a≥lnx＋a,所以配凑得ex－a＋xa≥x＋lnx＝elnx＋lnx.

令函数f(x)＝ex＋x,易得f(x)在R 上为增函数,由

可知f(x－a)≥f(lnx),则有x－a≥lnx,即

设函数g(x)＝x－lnx(x＞0),求导可得

由g′(x)＝0,可得x＝1,故函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,

所以a≤gmin(x)＝1,故选B.

点评在解答本题时,通过合理配凑,同构函数f(x)＝ex＋x,而后结合其单调性将原问题转化为对应的不等式,再进行分离参数处理,进一步可以得到函数的最小值,最后结合不等式确定参数的取值范围,难点则是进行合理的配凑.

本文总结了解答含参不等式恒成立问题常用的四种方法:导数法、分离参数法、数形结合法及同构法.在实际解题时,学生需要结合题目进行合理的选择,从而达到快速解题的效果.因此,在日常学习中,学生应当积极训练,熟练掌握各种方法.

(完)