融通运算一致性 培养学生核心素养——以“一个数除以分数”为例

文/洪淑媛

引 言

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）指出，教师要立足学生的核心素养发展，集中体现数学课程的育人价值。核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。运算能力是小学阶段核心素养的主要表现。《课程标准》在“数与代数”领域中提出“体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和初步的推理意识”。五、六年级的“教学提示”中还指出：数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹,要进一步感悟运算的一致性，从整体上理解和掌握运算的算理和算法，认识计算方法的共性和差异。《课程标准》中所提到的“运算的一致性”是指教师要深入理解数的运算本质，使学生建立数的运算知识体系，打破零散的、点状的知识碎片，沟通整数、小数、分数在加、减、乘、除运算中的内部联系，构建系统的认知结构，感悟运算的一致性[1]。

马云鹏、吴正宪老师在《深度学习：走向核心素养》一书中提道：目前的教学中整数的四则运算是指运算体现了“一致性”，所有运算都是基于“计数单位”展开的[2]。由此可见，小学阶段整数、小数、分数的加、减、乘、除运算的本质都是相同计数单位的运算。教师在进行计算教学时，应该紧紧抓住计数单位这个核心概念，构建以计数单位为抓手的加、减、乘、除运算的整体结构，让学生在学习活动中不断感悟数的运算的一致性，加深对数的运算本质的理解。下面笔者以“一个数除以分数”一课为例展开论述。

一、研读教材，找准认知起点，寻找知识间的共性

“一个数除以分数”是人教版六年级（上册）“分数除法”单元的内容，这一课是在学生学习了“整数除法”“分数的意义”“分数乘法”与“分数除以整数”等基础上进行的，也是学生接下来学习分数乘除混合运算、比和比例的重要基础。分数除法的计算法则是“除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数”。这一计算方法很简单，但笔者在大量教学实践中发现，多数学生在学完分数除法后还会出现各种类型的计算错误，如：（只改变运算符号）；（被除数倒数）；（乘法也倒数）。究其原因，在于多数学生只记住了分数除法的计算方法，对于为什么要“乘以一个数的倒数”的算理并不理解。对此，教师可以回到教材再次研读，思考为什么分数除法的算理特别难理解，学生的认知障碍到底在哪里。教师可以从教材中的例题1 开始分析。

教材例题2 用速度模型呈现“一个数除以分数”，本课包括“整数÷分数”“分数÷分数”。其中“整数÷分数”是借助线段图呈现算理，但是大部分学生感到晦涩难懂；“分数÷分数”则没有出现算理图，这给学生理解算理带来了很大的困难。从数的意义来考虑，整数、分数、小数都是记录不同数位上计数单位的个数，加、减、乘、除法计算的本质又都是计数单位的运算，因此可以抓住计数单位这个核心概念，打通分数除法与整数、小数除法的隔断，融通运算的一致性。

二、主动迁移，抓住核心概念，领会数学整体性

教学片段（一）：复习导入，提出问题

出示口算题组：

师：大家口算得这么快，有什么计算秘诀吗？

生：8 个十除以2 个十，计数单位相同，就是8÷2=4；6 个百除以3 个百，计数单位相同，就是6÷3=2；1.6 是16 个0.1 除以2 个0.1，计数单位相同，就是16÷2=8。

师：也就是说，计数单位相同时，整数除法和小数除法都可以直接用计数单位个数相除，这样可以提高我们的计算速度。那大家思考一下，分数除法和整数、小数除法有没有关系？

以上教学片段的设计，意在让学生通过复习旧知，唤醒已有的学习经验，建立整数除法、小数除法之间的联系，为学生主动迁移到分数除法打好知识基础。

教学片段（二）：主动迁移，自主探究

生1：可以把分数转化成小数，0.32÷0.16=2。

生4：刚才整数和小数除法中，计数单位相同，我们直接把计数单位的个数相除，这道题计数单位都是，我们把分子相除就可以。

师：你们真是会思考的孩子，能学以致用。把整数、小数除法计算的道理迁移到分数除法中，可以使计算更快、更方便。现在请大家做一组题目，大家有信心接受挑战吗？

以上片段的设计，意在让学生通过主动迁移旧知，用已有的学习经验解决新问题，在主动迁移中降低学习难度。后面的题组练习，能够让学生聚焦同分母分数相除，巩固算法，体会算理。

教学片段（三）：类比推理，理解算理

师：刚才大家的计算都完成得很好，现在再看看这一题，你还会计算吗?（出示：）先观察这道题目的特点，说说这道题和刚才做的题目有什么不一样，先跟同桌交流一下你的困惑。

生1：这题两个分数的分母不相同，也就是说计数单位不同，不能用刚才的办法来计算。

师：有没有办法能解决这个问题？

生2：分母不同，我们可以通分让分母变得相同。

师：是的，我们可以通分。大家试着用这位同学的办法做做看。

以上教学片段的设计，意在让学生通过观察对比发现本题两个分数的分母不同，利用原有的通分、同分母分数除法的迁移，把新问题转化成学过的问题来解决，培养学生推理能力。

教学片段（四）：观察思考，推导算法

师：观察刚才做过的几道题：

思考：观察上面的两组算式，想一想，这些算式是怎么转换的，看看能否说清楚每一步在算什么。

生1：前面的几步都看得懂，最后一步没有看明白。

生2：最后一步其实就是分数乘法导过来的。分数乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，我们反过来可以把分子乘分子，分母乘分母的算式拆开，变成两个分数相乘。

生3：这两组算式看到最后一步，我发现被除数还是一样不变，除数变成了它的倒数，再把被除数和除数的倒数相乘。

师：大家听明白了吗？想一想，最开始我们用分子相除的方法已经算出了分数除法的得数，现在怎么还要用把分数除法变换成被除数乘以除数的倒数的办法呢？

生4：分数除法有时候需要通分。如果遇到分母大一点的话，通分起来就比较麻烦，而用分数乘法比分数除法简单多了。

以上教学片段的设计，意在让学生在观察思考中沟通算理和算法的关系，算式前面是通分，用计数单位理解算理，后面则是由分数乘法的反向运算推导出分数除法的算法，有效融通算理和算法。

三、对话历史，渗透数学文化，感悟数学思想

教学片段（五）：追溯历史，渗透数学文化

师：同学们，现在老师想请你们用字母把上面分数除法的推导过程表示出来，大家动手试试。

师：其实早在我国古代《九章算术》中，就已经将分数除法概括为“经分”，魏晋时期数学家刘徽在为“经分”做注释时，将这种方法又重新命名为“散分法”。后来刘徽在注释《九章算术》的时候又提出了“颠倒法”，即用被除数乘以除数的倒数，因为“颠倒法”计算起来更为简单、快捷，因此沿用至今，而“散分法”却被淡忘。通过刚才的计算推导，我们发现，“散分法”其实是“颠倒法”的算理，“颠倒法”是“散分法”的“升级版”，它是统一计数单位后，计数单位个数的运算，更进一步融通了四则运算用计数单位运算的一致性。

以上教学片段的设计，意在向学生渗透古代数学家的数学思想，让学生感受中国古代数学文化的博大精深，同时深化学生对分数除法算理的理解。

四、沟通联系，构建认知结构，体会运算本质

教学片段（六）：打通隔断，融通算理

师：我们一起来回顾一下分数除法和整数、小数除法的计算在哪些地方是相通的？在哪些地方有区别？

生：它们的相同点是整数、小数、分数除法都是可以用计数单位的个数来计算的，可以用等分计数单位，也可以用几个计数单位包含几个计数单位，都是计数单位个数的除法计算。它们的不同是有的是整数，有的是小数，有的是分数。

以上教学片段的设计，意在让学生回顾四则运算，纵向梳理知识间的联系，让整个四则运算形成一个整体的、系统的知识网，从而理解运算本质的一致性。

结 语

综合分析，本节课深入研读教材，找准学生认知障碍，读懂学生的学习难点，整体把握数的运算本质，巧妙引导学生的知识迁移，以计数单位贯通分数除法教学，突破教学难点；抓住知识间的内在联系，构建知识网，从点状知识走向结构认知，培养学生的运算能力，并能通过运算促进学生推理能力的发展。这样的运算能力也有助于学生形成用数学思维思考问题的品质，真正落实学生数学学科核心素养的培养。