一种采用平行接近策略的三维制导律

王亚锋，喻夏琼，范开国，徐东洋

（32021部队，北京 100094）

0 引言

导弹制导律设计一般采用两种思路：一是通过小量假设解耦俯仰、航向和滚转三通道，分别设计制导律；二是三通道整体设计。现有制导律设计方法主要包括两类：一是追踪法[1]、平行接近法、三点法[2]和比例导引法[3-8]等经典方法；二是应用最优理论[9]、变结构理论[10]、模糊理论[11]、自适应理论[12]等现代方法。有些现代方法由于充分考虑了自动驾驶仪特性[13-14]和末端约束（时间、角度、速度等）[15-16]，引起了大量学者的关注。从理论上讲，平行接近法是最优接近策略，但受限于硬件条件，实现难度很大。工程上，主要采取比例导引法，导弹法向、侧向加速度指令分别成比例于视线仰角速率和视线偏转角速率。但是，传统比例导引法所生成的弹道角并不是最优的，因为平行接近策略下，最优弹道角是由导弹和目标的相对位置关系和运动状态唯一确定的。

本文提供了1种采用平行接近策略的导弹三维制导律设计方法。该方法基于导弹和目标的相对位置关系和运动状态，计算得到最优弹道角。运用反馈线性化方法，设计期望弹道偏角速率和期望弹道倾角速率，转换得到最终的三维制导指令。通过对最优弹道角的逼近，控制导弹与目标平行接近，实现导弹对目标的打击。

1 导弹的动力学方程

弹道坐标系下，导弹的动力学方程为：

式（1）中：m为导弹质量；v为导弹速度；P为导弹发动机推力；G为导弹所受的重力；X为导弹所受的阻力；Y为导弹所受的升力；Z为导弹所受的侧向力；α为攻角；β为侧滑角；γv为速度倾斜角；ψv为弹道偏角；θ为弹道倾角。

2 相对运动模型

导弹运动学方程为：

弹目相对运动方程为：

3 平行接近策略的实现思路

则导弹最终将与目标遭遇，即R→0。

式（5）中，

为比例系数，满足k1<0,k2<0,k3<0。

不难看出，当k1=k2=k3=k时，导弹对目标的追踪策略就是平行接近法，k即待求的平行接近速率。显然，采用平行接近法时，导弹速度矢量须满足：

式（7）中，目标速度矢量vTar和弹目视线R由导弹导引头或我方其他平台的观测数据通过滤波算法得到。理想情况下，若导弹速度矢量v的两方面都是可控的，即速度大小（由v表征）和速度方向（由ψv、θ表征）可控，则可实现：t→+∞时，R→0。

但是，导弹速度v通过改变发动机推力P的大小实现，弹道偏角ψv和弹道倾角θ通过操纵导弹的舵偏实现。通常情况下，因硬件条件所限，发动机推力大小是个分段常值，开机为额定推力值，关机为0。有些导弹会在突防阶段加力，但也只能阶跃式加力，无法实现连续性大小调节。所以，在制导律设计中，可认为导弹速度是不可控的，导弹对目标的追踪只通过操纵舵偏实现。

v=vTar-kR的成立包含两个方面：大小一致和方向一致。从大小一致方面讲，由于导弹速度和目标速度不可控，只能通过平行接近速率k的设计满足；从方向一致方面讲，在设计好k以后，通过控制导弹的速度方向（弹道偏角ψv和弹道倾角θ）实现。

平行接近策略分4步实现：第1步，计算平行接近速率k，以满足大小一致；第2步，计算弹道偏角ψv和弹道倾角θ的期望值，以满足方向一致；第3 步，设计弹道偏角速率和弹道倾角速率的期望值；第4步，转换得到过载指令。

4 平行接近速率的求取

平行接近速率k通过满足大小一致条件求取：

a存在2个实数解：

k的实部为负，导弹可以击中目标；当vTar≥v、vTar∙R≥0 时，k不存在实部为负的根，导弹无法击中目标。

5 期望弹道偏角和弹道倾角的求取

6 过载指令的设计

得到弹道偏角和弹道倾角的期望值后，对比当前实际弹道偏角和弹道倾角，通过反馈线性化方法求取得到弹道偏角速率和弹道倾角速率的期望值C(θ̇ )、C(ψ̇v)：

式（16）中，nψv,max为侧向过载限幅。

7 仿真算例

以某型空空导弹为例，参数设置如下。

初始位置：

图1 弹道角度变化曲线（情况1）Fig.1 Change curve of trajectory angle in case 1

图2 过载指令（情况1）Fig.2 Overload command in case 1

图3 弹目相对运动示意图（情况1）Fig.3 Relative motion of missile and target in case 1

这种情况表示目标作匀速直线运动，速度大于导弹速度，弹道角设置为与导弹作相向运动。图4～6 显示了这种情况下，导弹依然能够按照平行接近策略击中目标，原因是导弹与目标的相向运动，使得平行接近速率k仍然存在负实数解。但是，与情况1相比，导弹在调整弹道角时需要的过载更大一些。

图4 弹道角度变化曲线（情况2）Fig.4 Change curve of trajectory angle in case 2

图5 导弹过载指令（情况2）Fig.5 Overload command in case 2

图6 弹目相对运动示意图（情况2）Fig.6 Relative motion of missile and target in case 2

这种情况表示目标中途发现导弹后，机动调整方向，加速逃离。从图7 可以看出，除了初始时刻以外，导弹在t=50 s 时刻也在调整弹道角，原因是此时目标在作机动逃离。图8显示了与其对应的过载指令。整个过程中，由于目标速度一直小于导弹速度，平行接近速率k的负实数解始终存在，所以导弹仍然能够按照平行接近策略击中目标，如图9所示。

图7 弹道角度变化曲线（情况3）Fig.7 Change curve of trajectory angle in case 3

图8 导弹过载指令（情况3）Fig.8 Overload command in case 3

图9 弹目相对运动示意图（情况3）Fig.9 Relative motion of missile and target in case 3

情况4与情况2的相同之处在于目标都是作匀速直线运动且速度大于导弹速度。不同之处：情况2 里的导弹与目标作相向运动；而情况4 的导弹与目标却是作背向运动，导致无法得到平行接近速率k的负实数解，平行接近策略失效。

通过以上4 种情况的仿真测试可知，当目标速度小于导弹速度时，不管导弹与目标的初始相对位置是何种情况，目标如何作机动，导弹均能按照平行接近策略击中目标。但是，当目标速度大于导弹速度时，导弹能否击中目标就与导弹与目标的初始相对位置以及初始相对运动关系息息相关，关键在于平行接近速率k是否存在负实数解。

8 结论

通过导弹与目标的位置关系和运动状态，计算弹目平行接近速率，以不同情况分析平行接近速率是否存在负实数解。当存在负实数解时，意味着满足采用平行接近策略的条件，导弹可击中目标。得到平行接近速率后，计算得到导弹的期望弹道偏角和期望弹道倾角。运用反馈线性化方法，设计了导弹的期望弹道偏角速率和期望弹道倾角速率，经转换得到导弹的纵向和横向过载指令。该方法无须采用小量假设解耦俯仰、航向和滚转三通道，直接设计了三维平行接近制导律，为平行接近策略的实现和现有比例导引法的改进提供了参考思路。最后，通过仿真测试，以不同情况的测试结果验证了该方法的有效性。