混合式教学模式下融入课程思政的教学研究

谢乐平　佘志强

摘 要：为了推进专业课程的课程思政，提升人才培养质量和落实立德树人的根本任务，提出了代数中求向量组的极大线性无关组的扩充法，探索了扩充法的广泛应用，并以扩充法为例，结合当前的线上线下混合式教学模式，研究了如何融入课程思政元素并更好地组织和实施教学。

关键词：扩充法；课程思政；混合式教学

2020年教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》提出：课程思政建设要全面推进，课堂教学是构建全员全程全方位育人大格局的“主渠道”，而专业课程教学是课程思政的最主要依托[1]。为此，考虑到代数是普通高等教育和继续教育所有理工农等学科各专业必修的课程，因此以代数课程中求向量組的极大线性无关组为例，对教学内容进行了研究和处理，提出了一种基础性、代表性的数学方法——扩充法，并以扩充法为例，探索了混合式教学模式下融入课程思政的教学实施。

一、代数中的扩充法

扩充的出处最早见于《孟子·公孙丑上》：“知皆扩而充之矣”。字典中扩充的意思是：扩大充实。通过查阅资料和初步调查，发现已有数系的扩充、数据的扩充，还有写作文时的扩充方法（扩写）等，但是数学及其他学科中还没有“扩充法”的概念。

（一）求极大线性无关组的扩充法

向量组中的极大线性无关组是代数中一个重要的内容。

定义1[2] 数域上有限个相同维数的向量组成一个向量组，一个向量组中如果存在个向量组成的部分向量组（简称为部分组）满足以下两个条件：

①这个向量组成的部分组线性无关；

②向量组中任意个向量都线性相关。

则称该部分组为向量组的一个极大线性无关组。

定义1中，在满足条件①的前提下，条件②等价于“向量组中任意向量都可以由该部分组线性表出”。

与极大线性无关组有关的线性组合、线性表出、线性相关性等概念及相关性质，属于《线性代数》和《高等代数》的基础内容，以下还不加证明地给出线性相关性的两个性质：

性质1 单个非零向量构成线性无关的向量组。

性质2 如果向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可以由线性表出，并且表出方式唯一。

因为含有零向量的向量组一定是线性相关的，所以在算法开始前先排除向量组中的零向量，或者先标记所有的零向量。

以下给出一种求非零向量组的一个极大线性无关组的算法的步骤：

第一步，任取该向量组中的一个非零向量，记为，并且进行标记。由性质1，部分组（）是线性无关的向量组。

第二步，选取该向量组中的一个未被标记的向量（如果存在的话），如果可以由部分组线性表出，则仅标记；否则，如果不能由向量组线性表出，由性质2的逆否命题可得：向量组也线性无关，此时记，并对线性无关部分组进行扩充，得到新的线性无关的部分组依然记为，并标记；

不断重复第二步，直到向量组中的向量都被标记，此时所得部分组就是原向量组的一个极大线性无关组。

我们称以上求极大线性无关组的方法为扩充法。

说明：第一步的部分组中，如果在第二步中扩充一次，则下标逐一增加。

扩充法的思想：为了找到向量组中最多个数的线性无关的向量，首先选取单个的非零向量，构成一个线性无关的部分组，然后一个个讨论其余的（未标记的）向量，如果该向量可以由部分组线性表出，则仅标记该向量，如果该向量不能由部分组线性表出，则将其增加到部分组（部分组进行了扩充）并标记该向量，直到讨论（标记）完向量组中的所有向量。

（二）扩充法的应用

扩充法在代数中除了应用于求向量组的一个极大线性无关组，还可以应用于求线性空间的一组基：先取线性空间中的一个非零元素构成部分组，然后一个个讨论其余的元素，将不能被部分组线性表出的元素逐个地扩充进部分组（扩充后仍称为部分组，只是下一个元素的讨论要在扩充的部分组的基础上进行），最后得到的部分组就是线性空间的一组基。

类似地，还能应用扩充法求欧式空间的一组正交基或标准正交基，例如求一组标准正交基：先取欧式空间中的一个单位向量构成部分组，然后一个个选取不能由部分组线性表出的向量，并将该向量与部分组施密特（Schmidt）正交化以后的结果再扩充进部分组，直到得到不能再扩充的部分组（此时部分组所含向量的个数等于空间的维数），就是欧式空间的一组标准正交基。

代数中求极大线性无关组除了扩充法，也可以利用矩阵的初等变换、或者行列式理论结合线性相关性的性质等更专业的方法，但扩充法更大众化、应用范围更广。

一般的，代数中的扩充法，是指在满足线性无关的条件下，一步步扩充部分组（增加满足条件的向量），从而求得向量组的一个极大线性无关组的数学方法。推广以后，扩充法指满足某个或某些条件（要求）下，按照某种法则一步步扩充（使增加），最终求得满足条件的某种结果的方法。

在图论中，求一个图的最小生成树的避圈法就是扩充法：在选取后其余的边集中，在不构成圈的条件下，再选权最小的边扩充（增加）进来，直到得到一颗生成树，即最小生成树；在带权图的最短路问题中，Dijkstra标号法也是通过不断扩充图中的边直到得到一条从起点出发的最短路，只是扩充的条件是所有路中距离最小，并且最终要通过反向追踪来得到具体的最短路；在平面图着色的五色定理的证明中，也可以借助扩充相邻面的方法讨论图的面色数，等等。

在运筹学中，求运输问题的最小元素法、闭回路法、Vogel法都是一种扩充的方法；在网络系统中求解最大流问题实际上也是一种流量扩充的方法；从运筹学的角度来看，图论中求最小生成树的破圈法就是避圈法的一种“对偶”的算法，等等。

经济学中的边际分析法也是一种扩充法；物理学中的控制变量法的本质也是扩充；体育竞赛中的淘汰赛还是一种扩充的方法，只是不断扩充的是被淘汰的参赛者集合而已。在其余学科及社会实际中，扩充法的应用举不胜举。

二、扩充法的混合式教学

“翻转课堂”于2007年左右起源于美国，最开始是老师录制播放PPT和讲课的声音，并上传到网络上给需要的学生自主学习。到2014年，我国初步建成中国大学MOOC（慕课）和国家精品课程在线学习平台。2020年，由于疫情爆发，推动我国教育的大变革，初等教育、中等教育、普通高等教育和继续教育开始大范围实施线上教学，教育部印发《关于在疫情防控期间做好普通高等学校在线教学组织与管理工作的指导意见》，依托互联网学习平台的各种在线授课资源蓬勃发展。疫情过去，线上教学模式继续延续下来，并演化成线上线下混合式教学（OMO），当前教育专家一致认为：OMO代表着教育的未来，它超越单一的线上或线下教学，将成为未来教育教学的基本模式。

（一）混合式教学的优势

经调查，当前所有普通高校已经不再是单一的传统的线下教学，不管是公共课，还是专业课，基本上都采用了线上线下混合式教学。对于继续教育，教育部规定从2023年开始必须线下授课，且线下课时不低于总课时的20%，但是线上网络教学平台和信息化教学资源仍然是继续教育学生學习的主阵地[3]。

很多专家认为，线上教学模式的优点在混合式教学模式中都得到了保留，而且混合式教学模式还避免了线上教学的诸多不足：如线上缺乏师生现场的互动和氛围，学习虽然可以有老师布置任务和要求，但只能主要靠学生的自觉来完成，从而无法有效管控学生的学习；由于没有面对面的现场教学，授课教师无法及时、全面的掌握所有学生的学习情况和效果，也就不能即时调整教学的速度和进度等等。

相对于传统教学模式，混合式教学也有诸多的优势：如突破了课时的限制，学生可以自主、自由地进行学习，主要的学习不再局限于课堂授课，学生能充分利用碎片化时间学习，对线上的分解以后的碎片化知识的学习也优于传统教学；线上和线下的教学能够良好地互补，课前，能够布置和完成线上的预习，平台能及时将预习结果反馈给教师，帮助教师更好地掌握学情，以便更有效地组织课堂教学；课堂上，网络教学平台能够参与和组织课堂的教学如签到、随机提问、练习讨论等，能为教学提供更多预先准备好的资源，优化教学时间等；课后，线上是课堂的延伸，教师通过准备学习资源能实现分层次的教学，做到更好地因材施教，让学生选读个人更感兴趣的内容，做到个性化发展，也给大部分学生提供了深入学习的空间和机会等等。

（二）扩充法融入课程思政元素

教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》的“科学设计课程思政教学体系”中明确指出：要根据不同学科专业的特色和优势，深入研究不同专业的育人目标，深度挖掘提炼专业知识体系中所蕴含的思想价值和精神内涵，科学合理拓展专业课程的广度、深度和温度，从课程所涉专业、行业、国家、国际、文化、历史等角度，增加课程的知识性、人文性，提升引领性、时代性和开放性[1]。

扩充法本身就是一种常见的科学思维方法，也是一个重要的专业原理。在一定程度上，扩充法属于方法论，而方法论体现和影响世界观，所以扩充法的教学本身就是对学生认识和改造世界的世界观的教育。

代数中的扩充法是一种典型的数学方法，能够在该方法的演绎推理过程中充分展现数学之美——严谨和准确，使学生感悟在学习、工作中要脚踏实地，认真细致，进而培养严谨客观的科学态度和勇于探索的钻研精神。扩充法还可以更具体地展现数学之美：由于迭代法与扩充法在一定程度上是一致的，而迭代法在现实生活中有很多具体的体现，如描绘雪花的形状（科克曲线）、现实生活中某些分形的图像等，这些具体的、精致的图片可以使学生感受到大自然的神奇和数学的美！

我国学者管梅谷1962年提出并解决了图论中的中国邮路问题，该问题也属于组合优化的问题，是一类最短路问题，通过对管梅谷及中国邮路问题的介绍，使学生了解数学家数学史，激发追求真理、敢于创新、勇攀高峰的精神，也增强学生的人文素养和文化自信等。

前面提到扩充法有很多应用，它们也是扩充法的不同表现形式，但是，扩充法的本质思想是确定的，该本质思想不仅在认识和解决理论问题时具有重要的意义，还能够应用于实际，例如当前国际形势错综复杂、风云变幻，到底谁是我们的朋友？为什么民族团结是我们处理民族关系的一项准则？等等这些国际形势、时事问题和社会主义伟大事业都可以从扩充法的角度给出部分答案。

当然，不同的教师对同一个教学内容的课程思政是仁者见仁、智者见智的，这也是教育的独特性的体现。对于扩充法融入的思政元素，可以从形成背景，发展历程，现实应用，未来趋势，国家重大成果，制度优越，家国情怀，科学家人物事迹，学科专业原理，生活、教学、科技实践等等方面去挖掘。

（三）扩充法的混合式教学

混合式教学中，线下和线上是教学马车的双轮，奔向的目标都是立德树人，但是在教学内容、教学方法上应该是各有侧重、相互补充的。例如扩充法求极大线性无关组的教学，包括扩充过程的演绎推导、举例说明，思想方法讲解等应该是线下教学的重点，需要教师通过问题驱动、采用引导、启发式等教学方法以线下课堂讲授的形式进行；而扩充法在其他学科、社会问题等方面的应用，以及扩充法的深入继续学习研究等则采用线上形式更适宜。再者由于课时的关系，线下教学应该以专业为主，课程思政要与专业教学深度融合，并讲究精简，与专业教学同向同行，而线上则可以实施全方位的、更充分的课程思政，做到广撒网。

在扩充法的教学中，课前，以线上的形式为主，布置学生在线上教学平台复习向量组的线性相关性等概念和基本性质，预习极大线性无关组的概念和求法及例，并通过较简单的练习题检验复习和预习的效果；布置学生阅读线上资料，通过科克曲线（雪花图像）的介绍和该曲线图形、自然界存在的某些分形等使学生感受到自然的神奇和数学的美，了解专业知识的实践性并提升学生的学习兴趣。教师参考教学平台自动收集的复习和预习结果了解学生的学情，并设计或调整课堂教学。

课堂中，因为扩充法是专业基础理论知识，所以建议以线下讲授的传统教学方式为主，线上辅助线下教学，线上辅助包括诸如签到、不便于板书内容的演示或展示、课堂师生互动、练习及完成情况评估反馈、课堂小结及教学数据如效果情况分析等。

课后，我们以线上为主，也可以根据学习效果和具体需要设置线下课时，包括作业的布置、完成与批改，学生自行检测学习效果等；还包括学生对扩充法的进一步深入了解、学习或研究等，如扩充法的拓展和应用：斐波那契数列对应的兔子繁殖问题能使学生更好地认识自然和世界；五色定理（进一步到四色定理）的证明对学生是具有挑战性和吸引力的，让学生探索和追求真理、攀登科学高峰；还可以设计与扩充法有关的、开放式的案例分析题，并组织线上的讨论以锻炼学生和实施课程思政，等等。如果学生作业情况表现不理想、或者大部分学生有某些共同的疑惑，则可以通过线下课堂来复习巩固、释疑解惑。

结束语：融入课程思政的扩充法的混合式教学只是我们在代数课程教学中的一个初步的探索和实践，还有待继续推进和完善。另外，不同学科专业的不同课程的混合式教学和课程思政的实施也是值得大家研究的问题。

参考文献：

[1] 教育部关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知[DB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html.

[2] 同济大学数学系编.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 熊艳清，谢乐平. 继续教育课程思政的困难与对策研究[J].客联， 2023，24（4）：68-69.

作者简介：谢乐平（1976—），男，汉族，湖南宁乡人，副教授，硕士研究生，研究方向：基礎数学及其应用研究。佘志强（1979—），男，汉族，湖南洪江人，硕士研究生，研究方向：微分几何。

课题项目：湖南省普通高等学校教学改革研究项目（HNJG-2020-0871）；教育部产学合作协同育人项目“基于杰普公司校企共建双创课程及实践体系的数学专业双创人才培养研究与实践”（202002165055）， “基于杰普协同育人的创新型、应用型师资队伍建设研究与实践”（ 202101203009）