利用导数法判断函数单调性的思路

陆燕

函数的导数与其单调性息息相关.在判断函数的单调性时，通常可以从函数的导数入手，讨论导数与函数单调性之间的关系，利用导数法来解题.

函数的导数与其单调性之间的关系为：

①在某个区间（a，b）内，如果函數的导数大于零，则该函数在此区间内单调递增；

②在某个区间（a，b）内，如果函数的导数小于零，则该函数在此区间内单调递减；

③如果在某个区间内，函数的导数恒等于零，则该函数为常数.

利用导数法判断函数单调性的步骤为：

第一步，对函数求导，并化简；

第二步，令导数为0，求得其零点；

第三步，用零点将函数的定义域划分为几个子区间，并在每个子区间上讨论导数的符号；

第四步，根据导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.若导数大于零，则函数单调递增，其对应的区间为函数的单调递增区间；若导数小于零，则函数单调递减，其对应的区间为函数的单减递减区间.

下面举例加以说明.

该函数式较为复杂，在对函数求导后，还需进行适当的变形，使其为几个因式的积或商，这样便于判断导数的符号.本题中导函数的零点中含有参数a ，且a 的符号可以决定导数的符号，所以需根据题意分a ≤0 、a >0 两种情况进行讨论.若导函数的零点较多，且含有参数，还需比较各个零点的大小；若无法比较，则需进一步进行分类讨论.

对于函数式较为复杂的函数单调性问题，如函数式中含有多种类型的简单函数，函数式为几个简单函数的商、积等，此时运用导数法来判断函数的单调性比较奏效.对于一次求导不能判断出函数的单调性的问题，往往需要通过二次求导、多次求导来确定各个层级函数的最值，以确定上一级导数的符号.

（作者单位：江苏省南通启东市第一中学）