对2023 届佛山市二模第21 题的深度探究

广东省佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

佛山市顺德区罗定邦中学(528300) 龙宇

在近几年的高考或模拟试题中,定点定值问题一直是常考的热点问题.而解决此类问题的策略主要是通过基本量法,通过点的坐标表示出所求关系式,结合韦达定理利用设而不求的思想进行求解.但该解法对应的运算量较大,笔者通过探究发现此类问题可通过调整运算顺序来降低运算量,或通过平移齐次化直接讨论斜率间的关系.在刚刚进行的2023届佛山市第二次模拟考试中,其中第21 题以双曲线为背景,通过斜率之积为定值考察双曲线的相关几何性质,其本质即是判断直线过定点.笔者在上述解法的基础上,经过反复思考,发现原问题还可通过“调和点列”的斜率性质进行论证,且由此获得斜率之积与之和的一般线性表达式.现将探究过程整理如下,以飨读者.

一、试题及分析

题目(2023 届佛山市第二次模拟第21 题)已知双曲线C:=1 (a >0,b >0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点,且∆ABD是直角三角形.

(1)求双曲线C的方程;

(2)点M、N是C右支上的两个动点,设直线AM、AN的斜率分别是k1、k2,若k1·k2=−2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.

分析第(1)问考察双曲线的定义以及简单的几何性质,答案为x2−=1,过程略.本文主要讨论第(2)问,第(2)问中的两条动直线的斜率之积为定值,其本质是发现直线MN过定点.后续问题转化为计算一个定点到过一个定点的直线的距离问题,所以本题的核心在于发现该定点.常见的解题策略包括: 构建直线MN的方程,利用点的坐标结合斜率关系计算出定点;其次则是利用平移齐次化,构建出关于斜率的二次方程,结合韦达定理求解;这两种解法较为常规,但运算量较大.经过笔者的探究,发现还可通过构造一组调和点列进行研究,并且该解法更容易进行推广.上述分析是默认“定点”存在,但学生在实际的求解过程中要需要进行探究,甚至没有这个方向感.由此可知本题的难度较大,笔者建议在设问的过程中应有所提示才好.现将证明及思考过程展示如下.

二、解法呈现

整理可得(2m2+1)y1· y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,代入韦达定理可得3(n2−1)(2m2+1)−12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2−1)=0.化简消掉所有含m的项,解得n=5 或n=−1(舍).由此可知直线MN恒过定点(5,0),此时直线MN的方程为:x=my+5.

评注本题的核心在于发现直线MN过定点,后续的解答过程仅作为完整性进行呈现.回看整个解题过程,通过结论来观察,选择以y为主变量有效地简化了运算.通常当定点位于x轴时,则以y为主变量,反之亦然.其次,对于本题的核心表达式(x1+1)(x2+1),上文是通过直线方程进行转化求解,化简难度较大,可通过“双根法”进行简化,本文不作细致介绍.

解法2(调整运算顺序,提升解题效率[1])联立直线与双曲线,通过韦达定理获得关系式,将条件代数化引用韦达定理进行求解.笔者尝试过更改运算顺序,能有效地提升运算效率.具体如下:

评注该解法从运算量而言起到了极大地简化作用,在具体求解过程中只需要计算两条直线的交点并代入双曲线方程即可,后面即可用同理的思想进行.而且在求解过程中直接求得关于m1、m2的方程,不需要进行转化,也极大地提升了解题效率.而且利用该解法,若解题者不能预知定点的位置而选择以x为主变量,其运算难度也不会增加很多,请感兴趣的读者自行验证,本文不再赘述.

解法3(平移齐次化,构建斜率方程求解[2])在上述解法2 中,构建了关于m1、m2的方程(本质就是获得关于k1、k2的方程).在一般情况下,我们可以通过平移齐次化的技巧,直接进行构建.

评注该解法直接探讨斜率的关系,运算量最小,而且便于推广.

三、命题推广与变式研究

在上述问题中,我们发现当斜率之积为定值时,对应的直线过定点.接下来,笔者将利用上述解法三将原问题拓展至一般情况.

为此,我们还可将上述命题迁移至椭圆或抛物线.其结论与证明过程均与上文相同,本文不再赘述,请感兴趣的读者自行研究.

在上述推广过程中,我们分别探讨了斜率之和、之积与倒数和(倒数和是前两种形式的组合形式).经过笔者的探究,发现题干中涉及到的斜率还可通过“调和点列”的性质进行研究.笔者猜想,原试题即可能是通过该性质命制的.接下来本文以原问题为例,利用该性质求解.

比较条件(k1+k2)·k=1 与k1·k2=−2,考虑到学生主要采用解法1 进行求解,若以前一个条件为题干,学生所面临的计算量将成倍递增.根据上述性质可知,当直线过定点时,对应的斜率之积与之和满足一个线性表达式,再命制试题时可以通过确定一部分来探究另一部分或对应的定点.

现根据上述模型将原问题推广至一般化:

命题4双曲线C:=1(a >0,b >0)的左顶点为A,过点T(t,0)的直线(其斜率为k)与双曲线C交于点M、N,设直线AM、AN的斜率分别是k1、k2,则k1、k2,k满足表达式: 2ak1k2+(t−a)k(k1+k2)=0.