同构法在高考解题过程中的应用

福建省德化第一中学(362500) 吴志鹏

同构法是指式子两边的结构相似,或是式子局部结构相同,此时可以通过换元,化繁为简,使得式子的结构特征更加清晰明了,构造出相应的新函数、新方程、新数列等,进而利用函数的单调性、最值、方程根与系数的关系、数列的递推关系等解决问题.利用同构法解题具有很强的技巧性,对学生创新思维的提升具有很好的促进作用.解题的关键在于是否能从题目所给的式子挖掘出同构式,进而构造新函数、方程、数列等,再用其性质求解,获得结论.下面让我们来欣赏几道可用同构法求解的高考试题.

一、指对融合,同构解困惑

解决含有指数与对数函数或方程问题,式子的结构特征有时并不明显,可通过指数与对数的运算或恒等变换,巧妙地实施同构变换,使得方程两边的结构相似,从而构造一个函数,再利用函数的性质进行解题.

例1(2020 年高考新课标Ⅰ卷(理科) 第12 题) 若2a+log2a=4b+2log4b,则()

A.a>2b B.a<2b C.a>b2D.a

解析因为

2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b−1,令f(x)=2x+log2x,则有f(a)=f(2b)−1,所以f(a)

评析本题通过指数与对数运算成功地将题目中的等量关系转化为一组同构式,从而构造递增函数f(x)=2x+log2x,结合函数单调性比较大小,获得结论.

例2(2022 年高考甲卷(理科) 第21 题) 已知函数f(x)=−ln x+x−a.

(1)若f(x)≥0,求a 的取值范围;

(2)证明: 若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.

解析(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).函数解析式可化为

二、三角变换,同构巧助力

对于与三角形相关的问题,如果存在式子的结构相同,我们可通过三角恒等变换或诱导公式实施同构变换,并构造相应的三角函数,利用其性质求解问题.

三、数形结合,同构来点睛

数与形是数学中两个最古老的也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下是可以互相转化的,以数解形,也能很好地启发我们探究同构式的几何意义.

四、通项递归,同构显神通

数列通项公式中的前后项实质上是一组可递推的同构式,通过寻找可递推的一组关系式获得解题思路,也具有普适性,这当中,同构思想也体现得“淋漓尽致”.

从而构造出常数列,最终求得数列{an}的通项公式.

结语 同构法应用时,要根据式子的结构特征,或是通过运算、变形等手段,挖掘同构式,并构造函数、递推数列、以及利用其几何意义进行求解,同构式使得式子变形之后更加简洁、美观,研究同构式的使用,有助于提升学生数学运算、直观想象、数学建模等核心素养,同构式也是高考命题的一种好思路.